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1.2.2同角三角函数的基本关系


高一数学必修 4 导学案

使用时间 2014.4.9

1.2.2 同角三角函数的基本关系
编制人:朱朝辉 审核人: 教学目标:1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系。 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

【课前预习】
一. 预习教材 P18-

P20,完成以下表格.

同角三角函数的基本关系式 平方关系 商数关系

tan ? ?

( a ? k? ?

?
2

(k ? Z ))


同一个角α 正弦,余弦的平方和等于 1,商等于(
2

注意:①注意“同角” ,至于角的形式无关重要,如 sin 4? ? cos 4? ? 1等;
2

②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,

sin ? ? tan ? 如 cos ?

a ? k? ?

?
2

(k ? Z )
.

③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用) ,

如: cos ? ? ? 1 ? sin ? , sin ? ? 1 ? cos ? ,
2

2

2

cos ? ?

sin ? tan ? 等.

【探究案】
考点一:求值问题
例 1. (1)已知 sin ? ? (2)已知 cos ? ? ?
2

12 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? 13

4 ,求 sin ? , tan ? . 5
2

解: (1)∵ sin ? ? cos ? ? 1 , 又∵ ? 是第二象限角,

∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (
2 2

12 2 5 ) ? ( )2 13 13

∴ cos? ? 0 ,即有 cos ? ? ?

5 ,从而 13

tan ? ?

sin ? 12 ?? cos ? 5
2 2

(2)∵ sin ? ? cos ? ? 1 , ∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) ? ( ) ,
2 2 2 2

4 5

3 5

1

高一数学必修 4 导学案 又∵ cos ? ? ?

使用时间 2014.4.9 ∴ ? 在第二或三象限角。

4 ?0, 5

当 ? 在第二象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ?

3 sin ? 3 , tan ? ? ?? ; 5 cos ? 4

当 ? 在第四象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ? ? 变式训练:已知 sinα =

3 sin ? 3 , tan ? ? ? . 5 cos ? 4

5 ,求 cosα ,tanα 的值。 13

总结: 1. 已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值 中,确定角的终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解 的情况不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是:①没有确定好或不去确定角的终边位置;②利用平方 关系开平方时,漏掉了负的平方根。

例 2、已知 sin ? ? 2 cos ? ,求

sin ? ? 4 cos? 5 sin ? ? 2 cos?

⑵ 2 sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? cos2 ?.

技巧:1. 分子、分母是正余弦的一次(或二次)齐次式,把分子、分母同除以 cos? ,将分 子、分母转化为 tan? 的代数式; 2.“化 1 法” :可利用平方关系 sin ? ? cos ? ? 1 ,将分子、分母都变为二次齐次式,再
2 2

利用商数关系化归为 tan? 的分式求值.

考点二: 利用sin ? ? cos ? ,sin ? cos ? 之间的关系求值

例 3:已知 sin α -cos α =-

5 3π ,π <α < ,求 tan α 的值. 5 2

2

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1.sin ? ? cos ? ,sin ?-cos ?, sin ? cos ? 三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即 “知一求二”,它们之间的关系是 ? sin ? ? cos ? ? =1 ? 2sin ? cos ?
2

2.求 sin ? ? cos ? 或 sin ?-cos ?的值时,要注意判断它们的符号

考点三:三角函数式的化简与证明
例 4:(1)化简 1 ? 2sin 40 cos 40 .(2) 求证:
? ? 2 ? 2 ?

cos x 1 ? sin x ? 1 ? sin x cos x
? ?

(1)解:原式 ? sin 40 ? cos 40 ? 2sin 40 cos 40

? (sin 40? ? cos 40? ) 2 ?| cos 40? ? sin 40? |? cos 40? ? sin 40?
(2)证法一:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 . ∴左边=

cos x(1 ? sin x) cos x(1 ? sin x) 1 ? sin x ? ? ? 右边. (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos 2 x cos x

∴原式成立. 证法二:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 . 又∵ (1 ? sin x)(1 ? sin x) ? 1 ? sin x ? cos x ? cos x ? cos x ,
2 2



cos x 1 ? sin x . ? 1 ? sin x cos x

小结:1.化简三角函数式的一般要求是: (1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最低; (2)根式内的三角函数式尽量开出来; (3)能求得数值的应计算出来,其次要注意在三角函数式变形时,常将式子中的“1”作巧 妙的变形, 2.证明恒等式的方法有: (1)从一边开始,证明它等于另一边; (2)证明左右两边同等于同一个式子; (3)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立。

【训练案】
1.已知 sinα =
5 ,求 cosα ,tanα 的值。 13

3

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2. 已知 tanα =2,求下列各式的值:
(1)
sin ? ? cos ? ; sin ? ? cos ?

(2) sin ? ? cos? ;

(3) 3sin 2 ? ? 4sin ? cos ? ? cos2 ?

3.已知 sin ? ? cos ? ?

1 ,且 0 ? ? ? ? 。 5
(2)求 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 的值。

(1)求 sin ? cos ? 、 sin ? ? cos ? 的值;

3. 化简 tan ?

1 ? 1 ,且 ? 在第二象限 sin 2 ?

5. 化简

1 ? cos? 1 ? cos? ? 1 ? cos? 1 ? cos?

(? ? ? ?

3? ) 2

4


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