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全国高中数学联赛模拟试题4


全国高中数学联赛模拟试题(四)
第一试
一、 选择题(每小题 6 分,共 36 分) :
1、函数 f ? x ? ?
a2 ? x2 是奇函数的充要条件是 x?a ?a

(A)-1≤a<0 或 0<a≤1 (B)a≤-1 或 a≥1 (C)a>0 (D)a<0 2、已知三点 A(-2,1)、B(-3,-2)、C(-1

,-3)和动直线 l:y=kx.当点 A、 B、C 到直线 l 的距离的平方和最小时,下列结论中,正确的是 (A)点 A 在直线 l 上 (B)点 B 在直线 l 上 (C)点 C 在直线 l 上 (C)点 A、B、C 均不在直线 l 上 3、如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,过顶点 A1 D1 在空间作直线 l,使 l 与直线 AC 和 BC1 所成的角 C1 都等于 60°.这样的直线 l 可以做 B1 A1 (A)4 条 (B)3 条 (C)2 条 (D)1 条 D C 4、整数的 n ? C100 两位质因数的最大值是 200 A B (A)61 (B)67 (C)83 (D)97 5、若正整数 a 使得函数 y ? f ?x? ? x ? 13 ? 2ax 的最大值也是整数,则这个 最大值等于 (A)3 (B)4 (C)7 (D)8 6、在正整数数列中,由 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色.先染 1, 再染 2 个偶数 2、4;再染 4 后面最邻近的 3 个连续奇数 5、7、9;再染 9 后面最邻近的 4 个连续偶数 10、12、14、16;再染此后最邻近的 5 个连 续奇数 17、19、21、23、25.按此规则一直染下去,得到一红色子数列 1,2,4,5,7,9,12,14,16,17,….则在这个红色子数列中,由 1 开始的第 2003 个数是 (A)3844 (B)3943 (C)3945 (D)4006

二、 填空题(每小题 9 分,共 54 分) :
1、在复平面上,Rt△ABC 的顶点 A、B、C 分别对应于复数 z+1、2z+1、(z +1)2,A 为直角顶点,且|z|=2.设集合 M={m|zm∈R,m∈N+},P={x|x 1 = m ,m∈M}.则集合 P 所有元素之和等于 . 2 2、函数 f(x)=|sinx|+sin42x+|cosx|的最大值与最小值之差等于 .

3、关于 x 的不等式

x 2 ? 2a 2 ? 2 x ? a 2 ? 4a ? 7 ?0 x 2 ? a 2 ? 4a ? 5 x ?a 2 ?4a ? 7

?

?

?

?

的解集是一些区间的并集,且这些区间的长度的和小于 4,则实数 a 的取 值范围是 . 4、 银行计划将某项资金的 40%给项目 M 投资一年, 其余的 60%给项目 N. 预 计项目 M 有可能获得 19%到 24%的年利润, N 有可能获得 29%到 34%的 年利润.年终银行必须回笼资金,同时按一定的回扣率支付给储户.为 使银行的年利润不少于给 M、N 总投资的 10%而不大于总投资的 15%, 则给储户的回扣率的最小值是 . 5、已知点(a,b)在曲线 arcsinx=arccosy 上运动,且椭圆 ax2+by2=1 在圆 x2 + y2 =
2 3

的外部(包括二者相切的情形) .那么, arcsinb 的取值范围

是 . 6、 同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为 a, 球的半径为 R.设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为?、?,则 tan(?+?)的值是 .

三、 (20 分)
△ABC 的三边长 a、b、c(a≤b≤c)同时满足下列三个条件 (i)a、b、c 均为整数; (ii)a、b、c 依次成等比数列; (iii)a 与 c 中至少有一个等于 100. 求出(a,b,c)的所有可能的解.

四、 (20 分)
在三棱锥 D-ABC 中,AD=a,BD=b,AB=CD=c,且∠DAB+∠BAC +∠DAC=180°,∠DBA+∠ABC+∠DBC=180°.求异面直线 AD 与 BC 所成的角.

五、 (20 分)
设正系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 有实根.证明: 4 (1) max{a,b,c}≥ (a+b+c); 9 1 (2) min{a,b,c}≤ (a+b+c). 4

第二试
一、 (50 分)
已知△ABC 的外角∠EAC 平分线与△ABC 的外接圆交于 D, 以 CD 为直 径的圆分别交 BC、CA 于点 P、Q. 求证:线段 PQ 平分△ABC 的周长.

二、 (50 分)
已知 x0=1,x1=3,xn+1=6xn-xn-1(n∈N+) . 求证:数列{xn}中无完全平方数.

三、 (50 分)
有 2002 名运动员,号码依次为 1,2,3,…,2002.从中选出若干名运 动员参加仪仗队,但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人 的号码数的乘积.那么被选为仪仗队的运动员至少能有多少人?给出你的选 取方案,并简述理由.

参考答案
第一试
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 1 1、 ; 7 3、[1,3];
?? ? ? ? ? ? ? 5、 ? , ? ? ? , ? ; ?6 4 ? ? 4 3?

1 C

2 D

3 B

4 A

5 C

6 B

2、 2 ; 4、10%; 6、 ?
4 3R . 3a

三 、 可 能 解 为 (100,100,100) , (100,110,121) , (100,120,144) , (100,130,169) , (100,140,196) , (100,150,225) , (100,160,256) , (49,70,100) , (64,80,100) , (81,90,100),(100,100,100). 四、 arccos

b2 ? c2 a2



4 4 五(1)证略(提示:令 a+b+c=t,分 b≥ t 和 b< t 讨论) ; 9 9 1 1 (2)证略(提示:分 a≤ t 和 a> t 讨论) ; 4 4

第二试
一、证略; 二 、 证 略 ( 提 示 : 易 由 特 征 根 法 得 xn =
1 ? 3? 2 2 ? 2 2?
1? 3? 2 2 ? 2?

?

? ? ?3 ? 2 2 ? ? ,设 ? ?
n n

yn =

?

? ? ?3 ? 2 2 ? ? ,于是 x ? ?
n n

2 n

2 ? 2 yn ? 1,原结论等价于方程 x4-2y2

=1 无整数解,由数论只是可证) . 三、43.


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