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【解析】山西大学附中2015届高三上学期期中考试数学理试题

时间:2014-12-26


【解析】山西大学附中 2015 届高三上学期期中考试数学理试题
考查内容:高中全部 【试卷综析】本分试卷是高三综合测试卷,着重于基础知识,基本技能和基本思想方法,同时也考查的逻 辑思维能力和计算能力,空间想象能力以及运用所学的数学知识和思想方法分析问题和解决问题的能力, 难度不大,以基础题为主,但又穿插有一定梯度和灵活性的题目,总体而言,此套题着重基础知识和技能 的考查

考核,通过这份试卷,能过起到查漏补缺, 薄弱环节,便于调整复习的作用,也能够让学生自己了 解掌握基本知识和基本技能的情况,做到复习心中有数. 【题文】一.选择题(5×12=60 分) 【题文】1.已知集合 A ? x log 2 x ? 0 ,集合 B ? x 0 ? x ? 1 ,则 A A. x x ? 0?

?

?

?

?

B =(
D. ?



?

B.

?x x ? 1?
?

C.

?x 0 ? x ? 1或x ? 1?
? ?

【知识点】集合的并集 A1 【答案】A【解析】解析:因为 A ? x x ? 1 ,所以可得 A ? B ? x x ? 0 ,故选择 A. 【思路点拨】先求的集合 A,再根据并集概念即可求解. 【题文】2.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? a4 ? 6 ,则 S5 等于( A.10 B.12 C.15 D.30 【知识点】等差数列的性质 D2 【答案】C【解析】 解析:由等差中项可得 a2 ? a4 ? a1 ? a5 ,所以 S5 ? )

?

5 ? a1 ? a5 ? ? 15 ,故选择 C. 2

【思路点拨】解题的关键是利用等差中项得到 a2 ? a4 ? a1 ? a5 ,再利用求和公式求得.

? 1 2 ?x , x ? 0 , 则 f [ f (?4)] ? ( 【题文】3.已知函数 f ( x) ? ? 1 ?( ) x , x ? 0 ? 2 1 A. ? 4 B. ? C. 4 D. 6 4
【知识点】分段函数 B1 【答案】 C 【解析】 解析: 因为 ?4 ? 0 , 所以 f ? ?4 ? ? ? ?
?4

)

1 ?1? 所以 f ? f ? 4 ? f 16 ? 16 ? ? 16 , ? ? ? ?2 ? 4 , ? ? ?? ?2?

故选择 C. 【思路点拨】求解时先从内函数求起,采用由内到外的顺序求得. 【题文】4.下列命题错误的是( ) A. 命题“若 x ? y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题为
2 2

“若 x, y 中至少有一个不为 0 则 x ? y ? 0 ”;
2 2
2 B. 若命题 p : ?x 0 ? R, x 0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;

2

C. ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A ? B 的充要条件; D. 若 向 量 a , b 满 足 a ? b ? 0 , 则 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 . 【知识点】命题以及命题的否定 A2 A3 【答案】D【解析】 解析:先否定原命题的题设做结论,再否定原命题的结论做题设,就得到原命题的
页 1第

? ?

?

?

逆否命题,由此知 A 正确;特称命题的否定为全称命题,可得 B 正确;由正弦定理以及三角形中的大角 对大边可得 C 正确;若向量 a , b 满足 a ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为钝角或 180 ,可得 D 错误;故选择 D.
0

? ?

?

?

【思路点拨】因为向量 a , b 满足 a ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为钝角或 180 ,可得 D 错误.
0

? ?

?

?

【题文】5.右图给出的是计算

1 1 1 1 1 的一个程序框图, ? ? ? ? ... ? 2 4 6 8 100
)

其中判断框内应填入的条件是(

A. i ? 50 B. i ? 50 【知识点】程序框图 L1

C. i ? 25

D. i ? 25

. 【答案】 B 【解析】解析:框图首先给 s, n, i 变量赋值 s ? 0, n ? 2, i ? 1 判断,条件不满足,执行

1 1 1 s ? 0 ? ,n ? 2 ? 2 ? 4,i ? 1 ? 1 ? 2; s ? ? ,n ? 4 ? 2 ? 6,i ? 2 ? 1 ? 3; 2 2 4 判断, 条件不满足, 执行 s?
判断,条件不满足,执行

1 1 1 ? ?,n 6 ? 2 4 6

2 ? , 8 ? i

3 ? 1 ?;4 ?
…由此看出,当执行

s?

1 1 1 ? ??? 2 4 100 时,执行 n ? 100 ? 2 ? 102,i ? 10 ? 1 ? 51 ,在判断时判断框中的条件应满足,所

以判断框中的条件应是 i>50? ,故选择 B.

s?
【思路点拨】 框图给出的是计算

1 1 1 1 ? ??? s ? 0? , 2 4 100 的值的一个程序框图, 2 时 首先赋值 i=1, 执行

, 同时执行了 i ? i ? 1 和式共有 50 项作和,所以执行完成
后的 i 值为 51,再判断时 i=51 应满足条件,由此可以得到正确答案. 【题文】6.已知a, b ? R ? 且a ? b, x ? A. x ? y B. x ? y

C. x ? y

a? b , y ? a ? b,则x, y的大小关系是 ( 2
D.视 a, b 的值而定
2

)

【知识点】基本不等式 E6

a 2 ? b2 ? a ? b ? a?b a? b a?b ?? ? ? a?b ? , 2 2 2 2 ? 2 ? 可得 【答案】 A 【解析】 解析: 由不等式 , 又因为 ,
页 2第

a? b ? a?b 2 所以可得 ,故选择 A.

a 2 ? b2 ? a ? b ? a?b a? b ?? ? ? , 2 2 2 ? 2 ? 可得 【思路点拨】利用不等式 ,进而可以得证.
【题文】7. 曲线 y ? A. y ? ?2 x ? 3

2

x 在点(1,-1)处的切线方程为( x?2 B. y ? ?2 x ? 3 C. y ? ?2 x ? 1
y ?=

) D. y ? 2 x ? 1

【知识点】求切线方程 B11

【答案】 C 【解析】 解析: 由题意可得:

?2 ( x ? 2) 2 , ( 1, ?1 ) 所以在点 (1, -1) 处的切线斜率为-2, 所以在点

. 处的切线方程为: y ? ?2 x ? 1 故答案为:C.

y ?=
【思路点拨】由题意求出导数:

?2 ( x ? 2) 2 ,进而根据切点坐标求出切线的斜率,即可求出切线的方程.
2

【题文】8.若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ? A.

3 2

B. 5

C.

3 5 或 2 2

y2 ? 1 的离心率是( m 3 D. 或 5 2
2

)

【知识点】等比中项 圆锥曲线的性质 D3 H5 H6

? m ? ?4, 【答案】D【解析】解析:∵ 正数 m 是 2,8 的等比中项,? m ? 2 ? 8 ? 16,

若 m ? 4 ,∴ 椭圆

x2 ?

1 3 y2 y2 e ? 1? ? x2 ? ?1 ?1 4 2 , 4 m 的方程为: ,∴ 其离心率
x2 ?

y2 ?1 4 若 m ? ?4 ,则双曲线方程为 ,离心率 e ? 1 ? 4 ? 5 ,故选择 D. 【思路点拨】正数 m 是 2,8 的等比中项,可求得 m ,从而可曲线为椭圆或双曲线,可求得其离心率.
【题文】9. 已知函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) (? ? 0) 为偶函数, 0 ? ? ? ? ,其图象与直线 y ? 2 的某两个交点 的横坐标为 x1 , x 2 ,若| x2 ? x1 |的最小值为 ? ,则( A. )

? 2 1 ? C. ? ? ,? ? 2 2 ? ? 2,? ?

B.

1 ? ? ? ,? ? 2 4 ? D. ? ? 2,? ? 4

【知识点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式

C4

【答案】A【解析】 解析: 因为函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) (? ? 0) 的最大值为 2,且图象与直线 y ? 2 的某两 个交点的横坐标| x2 ? x1 |的最小值为 ? , 即函数的周期为 ? , 所以 ? ? 2 , 因为 y ? 2sin(2 x ? ? ) (? ? 0)

??
为偶函数,所以


?
2

? k?

,又因为 0 ? ? ? ? ,所以
3第

??

?
2 ,故选择 A.

【思路点拨】由题意可得函数的最小正周期为 ? ,即可得 ? ? 2 ,根据函数为偶函数可得

??

?
2

? k?
,进

??
而得到

?
2.

【题文】10. 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示, 则这个四棱锥的体积是( A.1 B. 2 ) C.3 D. 4

【知识点】由三视图求面积、体积 G2 【答案】B【解析】解析:由题设及图知,此几何体为一个四棱锥,其底面为一个对角线长为 2 的正方形,

1 4 ? ? 1? 1 ? 2 2 故其底面积为 ,由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高,其相对的侧棱与高及底面正方形的

对角线组成一个直角三角形,由于此侧棱长为 13 ,对角线长为 2,故棱锥的高为

? 13 ?

2

? 22 ? 3



1 ? 2?3 ? 2 棱锥的体积为 3 ,故选择 B.
【思路点拨】由三视图及题设条件知,此几何体为一个四棱锥,其较长的侧棱长已知,底面是一个正方形, 对角线长度已知,故先求出底面积,再求出此四棱锥的高,由体积公式求解其体积即可
? y ≤ x ? 1? ? y ≤ ? | x | ?1? ? ? 【题文】11.已知平面区域 ? ? {( x , y ) ? y ≥ 0 ? , M ? {( x , y ) ? ?, ?y≥0 ? ? x ≤1 ? ? ?

向区域 ? 内随机投一点 P ,点 P 落在区域 M 内的概率为( 1 1 1 高 A. 4 B. 3 C. 2 【知识点】简单的线性规划的应用 几何概型 E4 K3

) 【来源:全,品?中& 2 D. 3

【答案】 C 【解析】 解析: 如下图, 阴影部分大的等腰直角三角形区域为 ? , 小的等腰直角三角形区域为 M ,



4第

p?
由面积比知

1 2 ,故选择 C.

【思路点拨】本题考查的知识点是线性规划及几何概型的意义,处理的思路为:根据已知的约束条件, 画 出满足约束条件的可行域 ? 及 M 的范围,再根据几何概型的意义,求出概率. 【题文】 12. 已知函数 f ( x) ? ln

e 2e ex )+f( )+ , 若 f( 2013 2013 e? x
D.12

+f(

2012e )=503(a ? b), 则 a 2 ? b 2 的 2013

最小值为( ) A.6 B.8 C.9 【知识点】函数的性质 基本不等式 B1 E6 【答案】B【解析】解析:因为 f ? x ? ? f ? e ? x ? ? ln ?

? e ?e ? x? ? ? ex ? ? ln e 2 ? 2 , ? ? ? ln ? ? ? ?e?x? ? e ? ?e ? x? ?

e 2 e 2 0 1 e2 2 0 1 2 f ( ) + f ( ) + + f ( ? ) = 2 = 2 0 1 2 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2, 即 a ? b ? 4 , 由 不 等 式 可 得 所 以

a ?b
2

2

? a ? b? ?
2

2

?8

,当且仅当 a ? b 时,等号成立,故选择 B.

【思路点拨】根据已知函数的特征结合所求 f(
2

e 2e )+f( )+ 2013 2013
2

201e 2 +f( ,可) 得 2013

f?x ? ? x? 2 ,即可得 a ? b ? 4 ,再利用不等式 a ? b ? ? f? e
【题文】二.填空题(5×4=20 分) 【题文】13.已知复数 z 满足 (1 ? i) ? z ? 1 ,则 z ? _____. 【知识点】复数的运算 L4 【答案】

? a ? b? ?
2

2

,即可求得.

1+i 2

【解析】解析: 化简可得 z ?

1 i 1 1? i 1? i ? ? ,故答案为 ? . 2 2 1 ? i ?1 ? i ? . ?1 ? i ? 2

【思路点拨】分式上下同时乘以 1 ? i ,化简分母即可得到. 【题文】14.已知 | a |? 2 , | b |? 3 , a , b 的夹角为 60°,则 | 2a ? b |? 【知识点】向量的数量积 F3 .



5第

【 答 案 】
2 2

13 【 解 析 】 解 析 :
2

a.b ? a b cos ? ? 2 ? 3 ?
由 题 意 可 得 ,故答案为 13 .

1 ?3 2 ,

2a ? b ? 4a ? 4a.b ? b ? 4 ? 4 ? 4 ? 3 ? 9 ? 13
a.b ? a b cos ? ? 2 ? 3 ?
【思路点拨】由已知可得

1 ?3 2 ,求向量的模采用平方再开方求得.

【题文】15. 设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P ,从直线 l 出发的两个半平面 ? , ? 截球 O 的两个截面 圆的半径分别为 1 和 3 ,二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 【知识点】二面角 球 G8 【答案】 16? 【解析】解析:设两个半平面 ?,? 截球 O 的两个截面圆的圆心分别为

? ,则球 O 的表面积为 2

.

O1,O2 ,连接

O1P,O2 P,OP, 如图所示:
由球的截面圆性质及球的切线性质得

OO1 ? ?,OO2 ? ?.OP ? l ,且 O1P ? 1 ,O2 P ? 3,

?l ? 面OO1P,l ? 面OO2 P, ?O1,, 02 O,P 四 点 共 面 , ?O1PO2 为 二 面 角 ? ? l ? ? 的 平 面 角 ,
?O1 PO2 ?

?

2 2 2 2 2 2 , 四 边 形 为 O1 02 OP 矩 形 . ?O1P ? O2 P ? OP ? R , 得 R ? 4, ∴ 球 O 的表面积

S ? 4? R2 ? 16?.
【思路点拨】设两个半平面 ?,? 截球 O 的两个截面圆的圆心分别为 的 切 线 性 质 得

O1,O2 ,根据球的截面圆性质及球

OO1 ? ?,OO2 ? ?.OP ? l , 继 而 四 边 形 O1 02 OP 为 矩 形 , 得 出

O1P2 ? O2 P2 ? OP2 ? R2, ,再计算球 O 的表面积即可.
【题文】16.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? ? n ? p ,数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 2 n ? 5 ,设

?an , an ? bn ? cn ? ? ,若在数列 {cn } 中, c8 ? cn (n ? N , n ? 8) ,则实数 p 的取值范围是 ?bn , an ? bn
【知识点】函数及其表示 数列的单调性 B1 【答案】(12,17) 【解析】解析:由题意可得 因为




D1

cn 是 an,bn 中的较小者, {an}是递减数列; {bn}是递增数列,

c8>c ( ) c c c c n n?8 ,所以 8 是 n 的最大者,则 n=1,2,3,…7,8 时, n 递增,n=8,9,10,…时, n
6第

递减,因此,n=1,2,3,…7 时, 2 11, …时,2
n ?5

n ?5

? p> 11, <? n ? p 总成立,当 n=7 时, 27?5<? 7 ? p, n=9,10,

9?5 c ?a 或 c b ? >? n ? p 总成立, 当 n=9 时,2 >? 9 ? p 成立, ∴p<25, 而 8 8 8 8 , 若 a8≤b8,

即 23≥p-8 ,所以 p≤16 ,则

a >b8 ,即 c8 ? a8 ? p ? 8, ? p ? 8>b7 ? 27?5, ? p> 12, 故 12<p ? 16, 若 8

3 c >c9 ? a9 ,即 8>p-9,∴p<17, p ? 8>28?5 ,所以 p>16,?c8 ? b8 ? 2 , 那么 8

故 16<p<17,综上,12<p<17.故答案为: (12,17) . 【思路点拨】由

cn 表达式知 cn 是 an,bn 中的较小者,易判断 {an} 是递减数列; {bn} 是递增数列,由

c8>c ( ) c c c c n n?8 ,所以 8 是 n 的最大者,则 n=1,2,3,…7,8 时, n 递增,n=8,9,10,…时, n 递减, ,
进而可知 an 与 bn 的大小关系,且

c8 ? a8或c8 ? b8 ,分两种情况讨论,当 c8 ? a8时,a8>b7 ,当

c8 ? b8时, b8 > a9,分别解出 p 的范围,再取并集即可;
【题文】三.解答题(写出必要的文字说明和解答过程,共 70 分) 【题文】17. (本小题满分 12 分) 公差不为零的等差数列 (1)求数列

{an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列。 {b }

{an } 的通项公式; ? b ,b ? 1

n ?1 n 1 (2)设 n ,求数列 n 的通项公式 【知识点】等差数列和等比数列的性质 数列求和 D2 D3 D4

a ?b

3n 2 ? 7n ? 6 【答案】 (1) an ? 3n ? 2 ; (2) bn ? . 2
【解析】解析:(1)∵ 等差数列

{an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列

2 ?a42 ? a2 ? a9,即(a1 ? 3d) ? (a1 ? d)(a1 ? 8d),

整理得:

6a1d ? 9d 2 ? 9a1d ? 8d 2,即d 2 ? 3a1d,

d ? 0, ?d ? 3a1,又a3 ? a1 ? 2d ? 7a1 ? 7, ?a1 ? 1 ,d ? 3,
则数列{an}的通项公式为; (2)

an ? 1 ? ( 3 n ?1 ) ? 3n ? 2 ;

b1 ? 1 ,an ? 3n ? 2,an ? bn?1 ? bn, ?a1 ? b2 ? b1,a2 ? b3 ? b2, ?,an?1 ? bn ? bn?1,

? a1 ? a2 ? ?? ?an?1 ? bn ? b1 ,
(n ? 1)(a1 ? an ?1 ) (n ? 1)(3n ? 4) ? ? bn ? 1 2 2 即

(n ? 1)(3n ? 4) 3n 2 ? 7n ? 6 bn ? ?1 ? 2 2 则
【思路点拨】 (1)由等差数列{an}中 a2,a4,a9 成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,再利用等
页 7第

差数列的通项公式化简,得出首项与公差的关系,根据 a3 的值,确定出首项与公差,即可得到等差数列 的通项公式; (2)分别把 n=1,2,…,n-1 代入 an=bn+1-bn,等式左右两边分别相加,左边利用等差数列. 【思路点拨】根据等差等比数列的性质可求得

a1 ? 1 ,d ? 3, 进而求得通项公式;根据已知的形式可得采用

累加的方法,对数列求和,然后化简,右边抵消合并后将 b1 的值代入,整理后即可得到数列{bn}的通项 公式. 【题文】18. (本小题满分 12 分)

3 ,乙能答对其中 5 的 5 道题.规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试,答对一题加 10 分,答错一题 (不答视为答错)减 5 分,至少得 15 分才能入选.
甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中,甲答对其中每道题的概率都是 (1)求乙得分的分布列和数学期望; (2)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率. 【知识点】概率 离散型随机变量及分布列 K6

EX ?
【答案】(1)

15 103 2 ;(2) 125

.

【解析】解析:解: (Ⅰ)设乙答题所得分数为 X ,则 X 的可能取值为 ?15, 0,15,30 .??????1 分

C3 1 P( X ? ?15) ? 35 ? C10 12 ; P( X ? 15) ?
2 C1 5 5 C5 ? 3 C10 12 ;

2 1 C5 C 5 P( X ? 0) ? 3 5 ? C10 12 ;

P( X ? 30) ?

C3 1 5 ? 3 C10 12 .

??????5 分

乙得分的分布列如下:

X P

?15
1 12

0
5 12

15
5 12

30
1 12
??????6 分

EX ?

1 5 5 1 15 ? (?15) ? ? 0 ? ? 15 ? ? 30 ? 12 12 12 12 2 .

??????7 分

(Ⅱ)由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选,记甲入选为事件 A ,乙入选为事件 B .

3 81 2 3 2 2 P( A) ? C3 ( ) ( ) ? ( )3 ? 5 5 5 125 , 则 P( B) ? 5 1 1 ? ? 12 12 2 . P ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ?
故甲乙两人至少有一人入选的概率
页 8第

??????9 分

??????11 分

44 1 103 ? ? 125 2 125 . ??12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)确定乙答题所得分数的可能取值,求出相应的概率,即可得到乙得分的分布列和数学期 望; (Ⅱ)由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选,求出甲、乙入选的概率,利用对立事件,即可求得结论. 【题文】19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC , ?ACD 与 ?ACB 是边长为 2 的等边三角形, BE ? 2 , BE 和平面 ABC 所成的角为 60? , 且点 E 在平面 ABC 上的射影落在 ?ABC 的平分线上. (Ⅰ)求证: DE // 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值.

第 19 题图 【知识点】线面平行 二面角 G4 G11 【答案】 (Ⅰ)略; (Ⅱ)

13 . 13

【解析】解析: (Ⅰ )证明:由题意知, ?ABC , ?ACD 都是边长为 2 的等边三角形,取 AC 中点 O ,连 接 BO, DO ,则 BO ? AC , DO ? AC ,……………………2 分

DO ⊥ 又∵ 平面 ACD ⊥ 平面 ABC ,∴ 平面 ABC ,作 EF ⊥ 平面 ABC ,
那么 EF // DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上,

?EBF ? 60? ,易求得 EF ? DO ? ∴

3 ,…………4 分

DE // OF ,∴ DE // 平面 ABC …………6 分 ∴ 四边形 DEFO 是平行四边形,∴
(Ⅱ )解法一:作 FG ? BC ,垂足为 G ,连接 EG ,

EF ? BC ,又 EF ? FG ? F , EF ⊥ ∵ 平面 ABC ,∴ BC ? 平面 EFG ,∴ EG ? BC ,∴ ?EGF 就是二面角 E ? BC ? A 的平面角.…9 分 ∴ Rt?EFG 中,


FG ? FB ? sin 30? ?

13 1 EG ? 2 . 2 , EF ? 3 ,
9第

cos ?EGF ?


FG 13 13 ? EG 13 .即二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 13 .………12 分

解法二:建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ,可知平面 ABC 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) 设平面 BCE 的一个法向量为 n 2 ? ( x, y, z )

? ?n2 ? BC ? 0 ? ?n ? BE ? 0 则, ? 2 可求得 n 2 ? (?3, 3 ,1) .………………9 分

cos ? n1 , n2 ??
所以

n1 ? n2 13 ? | n1 | ? | n2 | 13 ,

又由图知,所求二面角的平面角是锐角,

13 所以二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 13 .……12 分

【思路点拨】 (Ⅰ) 取 AC 中点 O , 连接 BO, DO , , 由题设条件推导出 DO ⊥ 平面 ABC , 作 EF ⊥ 平面 ABC , 由已知条件推导出 ?EBF ? 60? , 由此能证明 DE // 平面 ABC ; (Ⅱ) 法一: 作 FG ? BC , 垂足为 G ,

13 连接 EG , ?EGF 就是二面角 E ? BC ? A 的平面角,由此能求出 E ? BC ? A 的余弦值为 13 .法
二:以 OA 为 x 轴,以 OB 为 y 轴,以 OD 为 z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,利用向量法能求出 二面角 E ? BC ? A 的余弦值. 【题文】20. (本小题满分 12 分)椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,长轴端点与短轴端点间 2 a b 2

的距离为 5 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 D (0, 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于 E , F 两点,O 为坐标原点,若 ?OEF 为直角三角形,求直线 l 的斜率. 【知识点】椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系 H5 H8

x2 ? y2 ? 1 4 【答案】 (Ⅰ) ;(Ⅱ) ? 19 和 ? 5 .
页 10 第

c 3 ? , a 2 ? b2 ? 5 2 2 2 2 2 a 2 【解析】解析: (1)由已知 ,又 a ? b ? c ,解得 a ? 4, b ? 1 ,

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆 C 的方程为 4 ;??????4 分
(2) 根据题意,过点 D(0, 4) 满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? kx ? 4 ,

联立

? x2 2 ? ? y ?1 ?4 ? y ? kx ? 4 ?

2 2 ,消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 32kx ? 60 ? 0 ,

? ? (32k )2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240 ,
令 ? ? 0 ,解得
k2 ? 15 4 .

??????7 分

设 E 、 F 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ⅰ)当 ?EOF 为直角时,
x1 ? x2 ? ? 32k 60 , x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ,



因为 ?EOF 为直角,所以 OE ? OF ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
2 所以 (1 ? k ) x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 ,

15 ? (1 ? k 2 ) 32k 2 ? ?4?0 2 1 ? 4k 2 所以 1 ? 4k ,解得 k ? ? 19 .??????9 分
ⅱ)当 ?OEF 或 ?OFE 为直角时,不妨设 ?OEF 为直角,
y1 y1 ? 4 ? ? ?1 2 2 x1 此时, kOE ? k ? 1 ,所以 x1 ,即 x1 ? 4 y1 ? y1 ……① x12 ? y12 ? 1 又 4 …………②
2 将① 代入② ,消去 x1 得 3 y1 ? 4 y1 ? 4 ? 0 ,

解得

y1 ?

2 3 或 y1 ? ?2 (舍去) ,



y1 ?

y ?4 2 2 k? 1 ?? 5 x1 ? ? 5, x1 3 代入① 3 ,得 所以 ,

经检验,所求 k 值均符合题意。 综上,k 的值为 ? 19 和 ? 5 .


??????11 分 ??????12 分
11 第

c 3 ? , a 2 ? b2 ? 5 2 2 a 2 【思路点拨】 (1)由题意可得 , 即可求得 a ? 4, b ? 1 进而得到椭圆方程; (2)过点 D(0, 4)

满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? kx ? 4 ,与椭圆联立,因为 ?OEF 为直角三角形,所以分 ?EOF 为 直角和 ?OEF 或 ?OFE 为直角时,两种情况进行讨论,利用向量的数量积为零,结合韦达定理求解. 【题文】21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ln x ? (1)当 a ? b ?

1 2 ax ? bx. 2

1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; 2 1 a 1 (2)令 F ? x ? ? f ? x ? ? ax 2 ? bx ? ?0 < x ≤ 3? ,其图像上任意一点 P ? x0 , y0 ? 处切线的斜率 k ≤ 恒成 2 x 2 立,求实数 a 的取值范围; 2 (3)当 a ? 0, b ? ?1 时,方程 f ? x ? ? mx 在区间 1, e 内有唯一实数解,求实数 m 的取值范围。

? ?

【知识点】导数的应用 B12 【答案】 (1) f (x) 的单调增区间为 (0,1) ,减区间为 (1, ??) ;(2) 【解析】解析: (1)依题意,知 f (x) 的定义域为 (0, ??)

a?

1 1 2 m ? 1? 1 ? m ? 1? 2 2 ;(3) e或 e .

a?b?


1 1 1 f '(x) ? lnx ? x 2 ? x 2 时, 4 2

f '(x) ?

1 1 1 ?(x ? 2)(x ? 1) ? x? ? x 2 2 2x

令 f '(x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ?2 (舍去) 当 0 ? x ? 1 时, f '(x) ? 0 . 当 x ? 1 时, f '(x) ? 0 . 所以 f (x) 的单调增区间为 (0,1) ,减区间为 (1, ??) ;

a F (x) ? lnx ? , x ? (0,3] x (2) ,

k ? F '(x 0 ) ?
则有

x0 ? a 1 ? x0 2 2 在 (0,3] 上恒成立.

1 a ? (? x 0 2 ? x 0 ) max 2 所以 . 1 1 ? x 02 ? x 0 x ? 1 当 0 时, 2 取得最大值 2 .
页 12 第

a?
所以

1 2.

(3)当 a ? 0, b ? ?1 时, f (x) ? lnx ? x . 由 f (x) ? mx 得 ln x ? x ? mx .

又 x ? 0 ,所以

m ? 1?

ln x x

2 要使方程 f (x) ? mx 在区间 [1, e ] 上有唯一实数解.

m ? 1?
只需

ln x x 有唯一实数解. ln x 1 ? ln x (x ? 0),? g'(x) ? x x2

g (x) ? 1 ?


由 g'(x) ? 0 得 0 ? x ? e

g'(x) ? 0 ,得 x ? e .

? g (x) 在区间 [1, e] 上是增函数,在区间 [e,e2 ] 上是减函数.

g(1) ? 1, g(e2 ) ? 1 ?

ln e2 1 , g(e) ? 1 ? 2 e e,

?m ? 1?

1 2 1 ? m ? 1? 2 e或 e .

1 【思路点拨】 (1)由导函数的正负可求得函数的单调区间; (2) 其图像上任意一点处切线的斜率 k ≤ 2 恒成立,

k ? F '(x 0 ) ?
即等价于

x0 ? a 1 1 ? a ? (? x 0 2 ? x 0 ) max 2 x0 2 在 (0,3] 上恒成立,即 2 在 (0,3] 上恒成立,即可
2

求得; (3)由题意要使 ln x ? x ? mx 在在区间 [1, e ] 上有唯一实数解, 即只需

m ? 1?

ln x x 有唯一实数解,

即可求解. 选做题(在 22、23、24 三题中任选一题做答) 【题文】22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲: 如图所示,已知 PA 与⊙ O 相切, A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B, C 两点,弦 CD // AP , AD, BC 相 交于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC . (1)求证: CE ? EB ? EF ? EP ; (2)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长.
页 13 第

第 22 题图 【知识点】几何证明 N1

PA ?
【答案】(1)略;(2)

15 3 4 .
2

DE ? EF ? EC , ?DEF ? ?DEF 【解析】解析: (Ⅰ )∵

?CED ,∴ ?EDF ? ?C ……………………2 分 ?DEF ∽ ∴ CD // AP ,∴ ?P ? ?C , ∴ ?EDF ? ?P , ?DEF ? ?PEA 又∵
EA EP ? ?EDF ∽ ?EPA , ∴EF ED , ∴

EA ? ED ? EF ? EP …………4 分 ∴

EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP .……………………5 分 又∵
DE ? EF ? EC , DE ? 3, EF ? 2 (Ⅱ )∵
2

EC ?


9 CE : BE ? 3 : 2 2 ,∵

BE ? 3 ∴

由(1)可知: CE ? EB ? EF ? EP ,解得

EP ?

27 4 .……………………7 分

BP ? EP ? EB ?


15 O 的切线,∴ PA2 ? PB ? PC 4 . ∵ PA 是⊙

PA2 ?


15 3 15 27 9 PA ? ?( ? ) 4 .……………………10 分 4 4 2 ,解得

【思路点拨】 (I)由已知可得 DEF∽ CED ,得到 ?EDF ? ?C .由平行线的性质可得 ?P ? ?C ,于 是 得 到 ?EDF ? ?P , 再 利 用 对 顶 角 的 性 质 即 可 证 明

EDF∽ EPA . 于 是 得 到

EA ? ED ? EF ? EP .利用相交弦定理可得 EA ? ED ? CE ? EB, 进而证明结论; (II)利用(I)的结论

BP ?
可得

15 4 ,再利用切割线定理可得 PA2 ? PB ? PC ,即可得出 PA.

【题文】23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程: 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线 l 的参
页 14 第

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数, 0 ? ? ? ? ),曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 4 cos ? . y ? t sin ? ? (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,当 ? 变化时,求 AB 的最小值.
数方程为 ? 【知识点】极坐标 参数方程 N3 【答案】 (Ⅰ ) y ? 4x ; (Ⅱ )4.
2

【解析】解析: (Ⅰ )由 ? sin ? ? 4 cos ? ,得 ( ? sin ? ) ? 4 ? cos ?
2 2

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4 x .……………………5 分
2
2 2 (Ⅱ )将直线 l 的参数方程代入 y ? 4 x ,得 t sin ? ? 4t cos ? ? 4 ? 0 .

2

4 cos ? 4 ? 2 t t t ? t ? t t ? sin ? , 1 2 sin 2 ? , 2 设 A 、 B 两点 对应的参数分别为 1 、 2 ,则 1

16 cos 2 ? 16 4 ? ? 4 2 AB ? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) ? 4t1t 2 ? sin ? sin ? sin 2 ? , ∴
2

??


?

2 时, AB 的最小值为 4. ……………………10 分

【思路点拨】由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 化简可得曲线 C 的直角坐标方程;直线 l 与曲线 C 联立可得方程

t 2 sin 2 ? ? 4t cos ? ? 4 ? 0 ,利用两点间的距离公式结合韦达定理求得 AB 的最小值.
【题文】24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲: 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? log 2 (a ? 3a ) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

【知识点】绝对值不等式的解法 E2 【答案】 (Ⅰ ) {x | ?1 ? x ? 2} ; (Ⅱ ) ?1 ? a ? 0 或3 ? a ? 4. 【解析】解析: (Ⅰ )原不等式等价于

3 3 ? ? 1 ?x ? ?? ? x ? 或? 2 2 2 ? ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6
3 1 3 1 ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? 2 2 2. 解得: 2



1 ? ?x ? ? 2 ? ? ?? (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6

即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} . ……………………5 分 (Ⅱ )不等式 f ( x) ? log 2 (a ? 3a ) ? 2 等价于 log 2 (a ? 3a ) ? 2 ? | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | ,
2 2



15 第

因为 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) |? 4 ,所以 f ( x) 的最小值为 4,
2 ? ?a ? 3a ? 0 ? 2 2 ?a ? 3a ? 4 ? 0 log ( a ? 3 a ) ? 2 ? 4 2 于是 即? 所以 ? 1 ? a ? 0 或 3 ? a ? 4 .…10 分

【思路点拨】利用零点分段法求得每段的解析式,然后分段求得不等式的解集求并集即可,原不等式恒成 立等价于

log 2 (a 2 ? 3a) ? 2 ? f ? x ?min

,解对数不等式即可.



16 第


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