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平面向量相关题目解题技巧


平面向量相关题目解题技巧
天津工业大学 殷航 平面向量作为高中数学的重点内容,其相关题目也是高考中的难题。因此,就需要我们 掌握一些技巧。下面笔者抛砖引玉分条介绍这些技巧,希望能助同学们一臂之力。

一 、化一般为特殊
例 1△ABC 的外接圆的圆心为 O,两边上的高的交点为 H,OH=m(OA+OB+OC) ,则实数 m=_ 分析:取∠A

=90°则 A、H 重合,O 为 BC 的中点∴OB+OC=0 ∴OH=mOA= mOH∴m=1

二、 建立坐标系
例 2 已知向量 a、b、c 两两所成的角相等,并且∣a∣=1 ∣b∣=2 ∣c∣=3,求 a+b+c 的长度及与三已知向量的夹角 解:由已知 a,b,c 两两成 120°角,∴建立坐标系使 c=(0,3)a=(-31/2/2,-1/2)b=(31/2, -1) 1/2 1/2 ∴a+b+c=(3 /2,3/2)∣a+b+c∣=3 , a 与 a+b+c 所成的角为θ cosθ =(a+b+c) ?a/∣a+b+c∣?∣a∣=-31/2/2 ∴a 与 a+b+c 所成的角为 150° 同理,b 与 a+b+c 所成的角为 90° c 与 a+b+c 所成的角为 30° 推广:利用平面向量基本定理(如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那麽对这一平 面内的任一向量 a,有且仅有一对实数λ1λ2 使 a=λ1e1+λ2e2,其中 e1,e2 是一组基底) 设一组基底解题 例 3 如图所示,平行四边形 ABCD,点 M 是 AB 的中点,点 N 在 BD 上且 BN=BD/3 求证:M、N、 C 三点共线

设一组基底 i,j 分别与向量 AB,AD 同向 AB=6i AD=6j ∴MB=3i MC=MB+BC=3i+6j MN=MB+BN=1/2AB+1/3BD=1/2AB+1/3(AD-AB)=1/6AB+1/3AD=i+2j ∴MC=3MN ∴M、N、C 三点共线 三、∣xa+yb∣的处理方法 1、利用∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣ 2 2 2 2 2、平方:转化为 x a +2xya?b+y b 1/2 例 4(04 湖南)已知向量 a=(cosθ ,sinθ )向量 b=(3 ,-1)则∣2a-b∣的最大值,最 1/2 1/2 小值分别为( )A 4(2) ,0 B 4,2(2) C 16,0 D 4,0 法 1∵∣∣2a∣-∣b∣∣≤∣2a-b∣≤∣2a∣+∣b∣ ∣2a∣=∣b∣=2 ∴∣∣2a∣-∣b∣∣=0 ∣2a∣+∣b∣=4 即 0≤∣2a-b∣≤4 选 D

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法 2 ∣2a-b∣ = 4a -4a?b+b =8-4(3 cosθ -sinθ )=8-8cos(θ +π/3) ∵-1≤cos(θ +π/3)≤1 2 ∴0≤∣2a-b∣ ≤16 0≤∣2a-b∣≤4 选 D 四、利用重要结论:向量 OA、OB、OC,终点 A、B、C 共线的充要条件是存在实数λ、β 且λ+β=1 使得 OC=λOA+βOB 例 5 设 a,b 是两个不共线的非零向量 t∈R,若 OA=a,OB=tb,OC=1/3(a+b)则 t 为何值时 A、B、C 三点共线 解:若 A、B、C 三点共线,则 OC=(1-λ )OA+λ OB =(1-λ )a+λ tb ∴ 1-λ =1/3 λ t=1/3 ∴ λ =2/3 t=1/2 t=1/2 时 A、B、C 三点共线

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2

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五、利用平面几何知识解题
例 6(03 天津)O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 AB AC OP=OA+λ ∣AB∣ +∣AC∣ λ ∈[0,+∞)则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 分析:由已知 AB AC AP= λ ? ∣AB∣+∣AC∣ ∴AP 与∠BAC 的平分线共线 即 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心

六、将向量问题转化为解析几何问题
例 7 已知向量 OB=(2,0)向量 OC=(2,2)向量 CA=(2 cosβ ,2 sinβ )则向量 OA 与向量 OB 的夹角的范围为( ) A[0,π/4] B[π/4,5π/12] C[5π/12,π/2] D[π/12,5π/12] 分析: 以 O 为坐标原点建立坐标系
1/2 1/2

如图 可知,点 A 的轨迹为圆 C: (x-2) +(y-2) =2 设向量 OA 与向量 OB 的夹角为θ 圆 C 过 O 的切线方程为 y=kx,k=tanθ 2 2 ∴ (x-2) +(y-2) =2 y=kx 2 2 得(k +1)x -4(k+1)x+6=0 2 2 △=16(k+1) -4?6(k +1)=0
2 2

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解得 k=2±3 1/2 ∴tanθ 的最大值为 2+3 1/2 tanθ 的最小值为 2-3 ∴θ ∈[π/12,5π/12] 选 D

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七、投影法
例 8(06 四川)如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是( ) A P1P2?P1P3 B P1P2?P1P4 C P1P2?P1P5 D P1P2?P1P6 分析:

P1P2?P1Pi=∣P1P2∣?∣P1Pi∣cos〈P1P2,P1Pi〉 (i=3,4,5,6) 要找 P1P2?P1Pi 的最大值,即找 P1Pi 在 P1P2 方向上投影的最大值 如图 P1Pi 在 P1P2 方向上的投影分别为 P1Q1,P1P2,P1,-P1Q2,所以 P1Q1 最大 即 P1P2?P1P3 最大,选 A

八、拆分向量法
例 9(04 湖北)如图在 Rt△ABC 中已知 BC=a 若长为 2a 的线段 PQ 以 A 为中点,问 PQ 与 BC 的夹角θ 取何值时,BP?CQ 的值最大,并求出这个最大值。

解: ,BP?CQ
=(AP-AB) AQ-AC) ( ? =AP?AQ-AP?AC-AB?AQ+AB?AC 2 =-a +AP?CA-AB? -AP) ( 2 =-a +AP? CA+AB) ( 2 =-a +AP?CB 2 =-a +1/2PQ?BC 设 PQ 与 BC 的夹角为θ 2 ∴BP?CQ=-a +1/2?2a?a?cosθ 2 =a (cosθ -1) cosθ =1,θ =0 时 BP?CQ 最大为 0

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