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奥赛培训资料-天体运动


奥赛培训资料-天体运动

1.某研究性学习小组首先根据小孔成像原理估测太阳半径,再利用万有引力定律估算 太阳的密度.准备的器材有:①不透光圆筒,一端封上不透光的厚纸,其中心扎一小孔, 另一端封上透光的薄纸;②毫米刻度尺.已知地球绕太阳公转的周期为 T,万有引力常 量为 G.要求:(1)简述根据小孔成像原理估测太阳半径 R 的过程.(2)利用万有引力定律 推算太

阳密度.

2.已知某星球的半径为 R,有一距星球表面高度 h=R 处的卫星,绕该星球做匀速圆周 运动,测得其周期 T=2π

5R 。

求: (1)该星球表面的重力加速度 g (2)若在该星球表面有一如图所示的装置,其中 AB 部分为一长为 12.8m 并以 5m/s 速 度顺时针匀速转动的传送带,BCD 部分为一半径为 1.6m 竖直放置的光滑半圆形轨道, 直径 BD 恰好竖直,并与传送带相切于 B 点。现将一质量为 0.1kg 的可视为质点的小滑 块无初速地放在传送带的左端 A 点上,已知滑块与传送带间的动摩擦因数为 0.5。 试求出到达 D 点时对轨道的压力大小; (提示: 10.24 =3.2) 3.寻找地外文明与地球外的生存环境一直是科学家们不断努力的目标。如图所示是我 国的“探月工程”向月球发射一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”过程简图.月球探测计划 “嫦娥工程”预计在 2017 年送机器人上月球,实地采样送回地球,为载人登月及月球基 地选址做准备.现设想你是宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行,飞船上备有以下实 验仪器: A.计时表一只, B.弹簧秤一把, C.已知质量为 m 的物体一个, D.天平一台(附砝码一盒). 在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动, 你已测量出飞船在靠近月球 表面的圆形轨道绕行 N 圈所用的时间为 T.为了能测算出月球的半径和质量,飞船的登 月舱在月球上着陆后,你遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量. (已知万 有引力常量为 G) ,求: (1)说明你给机器人发的指令,如何让它进行第二次测量的?
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(2)试推导用上述测量的物理量表示的月球半径和质量的表达式. (3)若已知 R月 ?

1 1 R地,g 月 ? g 地 , 则可以推知近月卫星的运行速度约为近地卫星运 4 6

行速度的多少倍?
进入月球轨道

发 射

制动开始

进入奔月轨道 中 段 轨 道 修 正 误差

4.宇航员站在一星球表面上的某高处,以初速度 v0 沿水平方向抛出一个小球,经过时 间 t,球落到星球表面,小球落地时的速度大小为 v 。已知该星球的半径为 R,引力常 量为 G,求: (1)小球落地时竖直方向的速度 vy (2)该星球的质量 M (3)若该星球有一颗卫星,贴着该星球的表面做匀速圆周运动,求该卫星的周期 T 5.我国发射的“嫦娥一号”卫星进入距月球表面高为 h 的圆轨道绕月运动.设月球半 径约为地球半径的 1/4, 月球质量约为地球质量的 1/81, 不考虑月球、 地球自转的影响, 地球表面的重力加速度为 g,地球半径为 R.求: (1) 月球表面的重力加速度为多少? (2)在月球上要发射一颗环月卫星,最小发射速度 v0=? (3) “嫦娥一号”卫星在距月球表面高为 h 的圆轨道上绕月做匀速圆周运动时的速度大 小 v1=? 6 6.在某个半径为 R=2×10 m 的行星表面,对于一个质量 m0=1kg 的砝码,用弹簧称量, 其重力大小 G0=8N。则: 2 (1)证明:GM=g0R (其中,M 为该行星的质量,g0 为该行星表面的重力加速度。 ) (2)求该行星的第一宇宙速度。 (3)若一卫星绕该行星做匀速圆周运动,且测得该卫星绕行 N 圈所用时间为 t,则该 卫星离行星表面的高度是多少?(最终结果用 R、G0、m0、N、t 等字母表述,不必用具 体数字代算。 ) 今年 9 月 29 日,天宫一号成功发射,标志着我国迈向了空间站时代。天官一号沿椭圆 轨道运行,近地点离地面高度

h1 ? 200km ,远地点离地高度 h2 ? 347km 。若已知地球

半径为 R,地球表面重力加速度为 g,忽略地球自转的影响,求: (结果均用符号表示, 不作数字计算) 7.环绕地球做匀速圆周运动的卫星的最小周期; 8.天宫一号运行周期.
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9.我国自行研制的“神舟”六号载人飞船载着中国第二代两名航天员,于 2005 年 10 月 12 日 9 时在酒泉发射场由“长征二号 F”大推力运载火箭发射升空,并按预定轨道 环绕地球飞行 76 圈后,于 10 月 17 日 4 时 32 分安全返回落在内蒙古的主着陆场。 ⑴ 设“神舟”六号飞船在飞行过程中绕地球沿圆轨道运行,已知地球半径为 R,地球 表面的重力加速度为 g,飞船绕地球运行的周期为 T。试计算飞船离地面的平均高度 h。 ⑵ 已知将质量为 m 的飞船在距地球中心无限远处移到距离地球中心为 r 处的过程中, 万有引力做功为 W=

GmM ,式中 G 为万有引力恒量,M 为地球质量,那么将质量为 m r

的飞船从地面发射到距离地面高度为 h 的圆轨道上,火箭至少要对飞船做多少功?(为 简化计算,不考虑地球自转对发射的影响) 10.在火箭发射卫星的开始阶段,火箭与卫星竖直上升的运动可视为匀加速直线运动, 加速度大小为 a ? 5m / s 2 ,封闭舱内,弹簧测力计上挂着一个质量 m ? 9kg 的物体,在卫 星上升到某高度时,弹簧测力计示数为 85N,求此时卫星与地面间的距离(地球半径为

6400km, g ? 10m / s 2 )
11. )我国在 2010 年实现探月计划——“嫦娥工程” .同学们也对月球有了更多的关注. (1)若已知地球半径为 R,地球表面的重力加速度为 g,月球绕地球运动的周期为 T, 月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动,试求出月球绕地球运动的轨道半径; (2)若宇航员随登月飞船登陆月球后,在月球表面某处以速度 v0 竖直向上抛出一个小 球,经过时间 t,小球落回抛出点.已知月球半径为 r,万有引力常量为 G,试求出月球 的质量 M 月. 12 . ( 18 分 ) 利 用 水 流 和 太 阳 能 发 电 , 可 以 为 人 类 提 供 清 洁 能 源 。 水 的 密 度
3 2 ? ? 1.0 ?103 kg / m3 ,太阳光垂直照射到地面上时的辐射功率 P 0 ? 1.0 ?10 W / m ,

地球表面的重力加速度取 g=10m/s2。 (1)三峡水电站发电机输出的电压为 18kV。若采用 500kV 直流电向某地区输电 5.0×106kW,要求输电线上损耗的功率不高于输送功率的 5%,求输电线总电阻的最大 值; (2)发射一颗卫星到地球同步轨道上(轨道半径约为地球半径的 6.6 ? 2 11 )利用 太阳能发电,然后通过微波持续不断地将电力输送到地面,这样就建成了宇宙太阳能发 电站。求卫星在地球同步轨道上向心加速度的大小; (3)三峡水电站水库面积约 1.0×109m2,平均流量 Q=1.5×l04m3/s,水库水面与发 电 机所在位置的平均高度差 h=l00m ,发电站将水的势能转化为电能的总效率

?1 ? 60% 。在地球同步轨道上,太阳光垂直照射时的辐射功率为 10P0。太阳能电池板
将太阳能转化为电能的效率 ?2 =20%, 将电能输送到地面的过程要损失 50%。 若要使 (2) 中的宇宙太阳能发电站的发电能力与三峡电站相当, 卫星上太阳能电池板的面积至少为 影大? 13. (15 分)宇宙飞船在受到星球的引力作用时,宇宙飞船的引力势能大小的表达式为

Ep ? ?

GMm ,式中 R 为此星球球心到飞船的距离,M 为星球的质量,m 为宇宙飞船 R

的质量, G 为万有引力恒量。 现有一质量 m=104kg 的宇宙飞船从地球表面飞到月球, 则: (1) 写出宇宙飞船在地球表面时的引力势能表达式 (不要计算出数值, 地球质量为 M 地 、
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月球质量为 M 月 ) 。 (2)宇宙飞船在整个飞行过程中至少需做多少功? 已知月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的

1 ,地球半径 R地 =6.4×106m,月球 6

半径 R月 =1.7×106m, 月球到地球距离 R地月 =3.8×108m (提示: R地月

R地 , R地月

。 R月 )

14.如图,P、Q 为某地区水平地面上的两点,在 P 点正下方一球形区域内储藏有石油, 假定区域周围岩石均匀分布,密度为 ? ;石油密度远小于 ? ,可将上述球形区域视为 空腔。如果没有这一空腔,则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向;当存在空腔时, 该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向 (即 PO 方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常” 。为了探寻石油区 域的位置和石油储量,常利用 P 点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为 G。

(1)设球形空腔体积为 V,球心深度为 d(远小于地球半径) , PQ =x,求空腔所引起 的 Q 点处的重力加速度反常 (2)若在水平地面上半径 L 的范围内发现:重力加速度反常值在 ? 与 k ? (k>1)之间 变化,且重力加速度反常的最大值出现在半为 L 的范围的中心,如果这种反常是由于地 下存在某一球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。

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参考答案 1. (1) R ?

24?L3 dr (2) ? ? 2L GT 2 d 3
2

2. (1)g = 1.6 m/s

(2) FN ' ? 0.48N

V月 g 月R 月 1 F 3T 4 = = 3. (1)见解析(2) M ? (3) 4 4 3 V地 g地R 地 24 16? GN m
4.(1) v y =
2 v 2 - v0 ; (2) T ? 2?

Rt v ?v
2 2 0

。 (3) T ? 2?

Rt
2 v ? v0 2

5. (1) g月 =

2R 16 2 g (2) v0 ? gR (3) 81 9 9

g R ? 4h

6. (1)见解析(2) ? v ?

G0 R 2 t 2 GM ?R ? g 0 R ? 4km / s (3) h ? 3 4? 2 m0 N 2 R

T1 ? 2?
7.

R g

T2 ?
8.

? ?h1 ? h2 ? 2R ? h1 ? h2 ? 2R
R 2g
G mM 2? ? m( ) 2 ( R ? h) (2 2 T ( R ? h)
m ?M R2

9. (1)对飞船,据万有引力定律和牛顿第二定律有 分) 又地球表面附近物体 m′ 的重力近似等于万有引力

m ?g ? G

(2 分)

解得飞船离地面的高度

h?

3

gR2T 2 ?R 4? 2

(1 分)

(2) 飞船由距地球无穷远处移至距离地球表面为 h 处, 引力做功为 W1= 若将飞船由距地球无穷远处移至距离地球表面,引力做功为 W2=

GmM R?h

(1 分) (1 分)

GmM R

将飞船由地球表面发射到距离地球表面 h 高的轨道上的过程,引力做功为 W3 = W1- W2 =

Gm M Gm M Gm Mh ? ?? R?h R ( R ? h) R

(2 分)

设飞船在距离地面高为 h 的圆轨道上运动时的速度为 v,据万有引力定律和牛顿第二定律有

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G

mM v2 ? m R?h ( R ? h) 2
1 mv 2 2
或 W=

(2 分)

设将飞船送入距地面高度为 h 的圆轨道运动的过程中,火箭要对飞船所做的功为 W, 据动能定理有 W+W3= (2 分)

解得 W=

GmM R ? 2h ? R?h 2R

m gR2 R ? 2h ? R?h 2R

(2 分)

10. H ? 3200km

3

gR 2 T 2 4? 2

【答案】⑴r =

⑵M 月 =2v0r2/Gt

12. (1) r ? 2.5? (2)0.23m/s2 (3) S ? 9.0 ? 106 m 2 13. (1) E p1 ? ?

GM月m GM 地m ? R地 R地月 ? R地

(2)5.89×1011J 14. (1)如果将近地表的球形空腔填满密度为 ? 的岩石,则该地区重力加速度便回到正常 值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力 G

Mm ? m?g ??? r2

① 来 计 算 , 式 中 的 m 是 Q 点 处 某 质 点 的 质 量 ,M 是 填 充 后 球 形 区 域 的 质 量, M ? ?V ?????② 而 r 是球形空腔中心 O 至 Q 点的距离 r ?

d 2 ? x 2 ???③

?g 在数值上等于由于存在球形空腔所引起的 Q 点处重力加速度改变的大小.Q 点处重力加
速 度 改 变 的 方 向 沿 OQ 方 向 , 重 力 加 速 度 反 常 ?g ? 是 这 一 改 变 在 竖 直 方 向 上 的 投 影

?g ? ?

d ?g ?④ r

联立以上式子得

?g ? ?

G?Vd ,????⑤ (d ? x 2 ) 3 / 2
2

(2)由⑤式得,重力加速度反常 ?g ? 的最大值和最小值分别为 ??g ??max ?

G?V ??⑥ d2

??g ??min ?

G?Vd ?????⑦ (d ? L2 ) 3 / 2
2

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由提设有 ??g ??max ? k? 、 ??g ??min ? ? ??⑧ 联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为

d?

L k 2/3

L2 k? ,V ? G? (k 2 / 3 ? 1) ?1

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