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湖南省邵阳市一中2014-2015学年第一学期高一数学期中考试试题


邵阳市一中高一数学期中考试试题(2014 年 11 月)
满分 120 分 时量 120 分钟

一、选择题(将唯一正确的答案代号填入答题卡中,每题 4 分,共 32 分)
1.下列集合中表示同一集合的是 ( A. M ? C. M ? ) B. M ? ?4,5? , N ? ?5,4? D. M ? ?1,2? , N ? ?1,2?



??3,2??, N ? ?? 2,3?? ?? x, y ? | x ? y ? 1?, N ? ? y | x ? y ? 1?
B. y ? 3 ? x

?

?

2.下列函数中,在区间 (0,??) 上是增函数的是 ( A. y ? x

C. y ?

1 x

D. y ? ? x 2 ? 4

3. 当 0 ? a ? 1 时,在同一坐标系中, 函数 y ? a ? x与y ? loga x 的图象是 ( y y y y



1 o A

x 1

1 o B ( ) 1 x

1 o C 1 x

1 o 1 D

x

4.已知 f (10 x ) ? x ,则 f (5) ? A. 10
5

B. 5

10

C. lg10 )

D. lg 5

5. 函数 y ? lg x ? A.

? 6, 7 ?

9 的零点所在的大致区间是 ( x
B.

? 7,8?

C.

?8,9?

D.

?9,10?

6.若定义在区间(-1,0)内的函数 f ( x) ? log2a ( x ? 1) 满足 f ( x) ? 0 , 则 a 的取值范围为 ( A. (0, ) C. ( ) C.

1 ) B. (0,1) 2 7. 设 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,则 log5 12 等于 ( 2a ? b 2a ? b A. B. 1? a 1? a
8. 已知 log a

1 ,+∞) 2

D. (0,+∞)

a ? 2b 1? a


D.

a ? 2b 1? a

1 1 ? log b ? 0 ,则 a 、 b 之间的大小关系是 ( 3 3
B. 1 ? a ? b C. 0 ? a ? b ? 1

A. 1 ? b ? a

D. 0 ? b ? a ? 1

二、填空题(每题 4 分,共 28 分)
9.若幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点(9, 10.函数 f ? x ? ? a
x?2

1 ), 则 f (25) 的值是_______ 3

? 5 ? a ? 1? 的图像必过一定点,该点的坐标是

11.已知函数 f ( x) ? ?

?log2 x ( x ? 0) 1 ,则 f [ f ( )] 的值是 x ( x ? 0) 4 ?3

2 12. 函数 y ? log 3 ax ? 2 x ? 1 的定义域为 R ,则 a 的取值范围是

?

?

13.用二分法求函数 f ( x) ? 3 x ? x ? 4 的一个零点,其参考数据如下:

f (1.600) ? 0.200 f (1.5625 ) ? 0.003

f (1.5875 ) ? 0.133 f (1.5562 ) ? ?0.029

f (1.5750 ) ? 0.067 f (1.5500 ) ? ?0.060

x 据此数据, 可得方程 3 ? x ? 4 ? 0 的一个近似解(精确到 0.01)为

x 2 14.方程 ( ) ? x ? 2 的解的个数是

1 2

个.

15.三个函数① y ? 的是

1 ; ② y ? 2? x ; ③ y ? ? x3 中,在其定义域内既是奇函数又是减函数 x
(写出所有正确命题的序号)

三、解答题(每题 10 分,共 60 分)
16.已知函数 f(x)=

a x ? a?x (a>0,a≠1,a 为常数,x∈R) 2

(Ⅰ)若 f(m)=6,求 f(-m)的值; (Ⅱ)若 f(1)=3,求 f(2)的值.

17. 计算: 2

1 1? log2 5 2

+ lg 5 ? lg 2 lg 50
2

18.设集合 A ? ?x | y ? log2 ( x ? 1)?, B ? y | y ? ? x 2 ? 2 x ? 2, x ? R (Ⅰ)求集合 A, B

?

?

(Ⅱ)若集合 C ? {x | 2 x ? a ? 0} ,且满足 B ? C ? C ,求实数 a 的取值范围。

19. 已知函数 f ( x ) 是定义在 [?1, 1] 上的奇函数,且 f ( x ) 在定义域上是减函数, (Ⅰ)求函数 y ? f ( x ? 1) 定义域; (Ⅱ)若 f ( x ? 2) ? f ( x ?1) ? 0 ,求 x 的取值范围.

20.某旅游景点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据 经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每提高1 元,租不出去的自行车就增加3辆. 规定:每辆自行车的日租金不超过 20 元,每辆自行车的日租金 x 元只取整数,并要求 出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用,用 y 表示出租所有自行车的日净 收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得) . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式及定义域; (Ⅱ)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最多为 多少元?

21.已知函数 f ( x ) 定义在 ? ?1,1? 上,对于任意的 x, y ? (?1,1) , 有 f ( x) ? f ( y ) ? f (

x? y ) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 。 1 ? xy
1? x 是否满足这些条件; 1? x

(Ⅰ)验证函数 f ( x ) ? ln

(Ⅱ)判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性,并加以证明; (Ⅲ)若 f ( ? ) ? 1 ,求函数 y ? f ( x) ?

1 2

1 的零点。 2

高一数学期中考试参考答案 一、BACD DCBD
二、9.

1 5

10. (?2,6)

11.

1 9

12.

a ?1

13. 1.56

14.2

15.③

三、16.解: (Ⅰ)∵ f(-x)= (Ⅱ)∵f(1)=3 ∴ ∴a+

a ?x ? a x =f(x) ∴ f(x)为偶函数∴ f(-m)=f(m)=6. …5 分 2

1 =6 a 1 1 (a ? ) 2 ? a 2 ? 2 ? 2 =36 a a
1 log2 5 2

2 ∴a ?

1 =34∴ f(2)=34/2=17 ……10 分 a2

17. 解:原式= 2 ? 2

? lg 2 5 ? lg 2(1 ? lg 5) …………………………………4 分
……………………………………8 分

= 2 5 ? lg 5(lg 2 ? lg 5) ? lg 2 = 2 5 ?1 18.解: (Ⅰ) A ? ?1, ? ?? (Ⅱ) C ? ? ??, ?

…………………………………………………………10 分 ………2 分

B ? ? ??, ?1?

………5 分

? ?

a? ? ………………………………………………………6 分 2?
? B?C
……………………………………8 分

B ?C ? C

? ?

19. 解: (Ⅰ)依题意得: ?1 ? x ? 1 ? 1 ,解得 0 ? x ? 2 函数 y ? f ( x ? 1) 定义域为 {x | 0 ? x ? 2} ………………………………4 分 (Ⅱ) f ( x) 是奇函数,且 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? 0 ∴ 得 f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 1) ? f (1 ? x) …………………………………6 分

a ? ?1 2

? a?2

…………………………………………… 10 分

f ( x) 在 [?1, 1] 上是单调递减函数,则

? ?1 ? x ? 3 ? 解得 ?0 ? x ? 2 ? 3 ?x ? ? 2 ……………………………………9 分 3 3 即 ? x ? 2 ∴ x 的取值范围 {x | ? x ? 2} 2 2 ……………………………10 分 50 x ? 115 ? 0 ,解得 x ? 2.3 . 20.解: (Ⅰ)当 x ≤6 时, y ? 50 x ? 115 ,令 ∵ x ?N,∴ x ≥3,∴ 3 ≤ x ≤6,且 x ?N.…………………………………………2 分

? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? ? ?1 ? x ? 1 ? 1 ?x ? 2 ? 1? x ?

当 6 ? x ≤20 时, y ? [50 ? 3( x ? 6)] x ? 115 ? ?3x 2 ? 68x ? 115 .…………………4 分

(3 ? x ? 6, x ? N), ?50x ? 115, 综上可知 y ? ? ……………………………5 分 2 (6 ? x ? 20, x ? N). ?? 3x ? 68x ? 115, (Ⅱ)当 3 ≤ x ≤6,且 x ?N 时,∵ y ? 50 x ? 115 是增函数, ∴当 x ? 6 时, y max ? 185 元.……………………………………………………7 分
当 6 ? x ≤20, x ?N 时, y ? ?3x 2 ? 68x ? 115 ? ?3( x ?

∴当 ? 11时, ymax ? 270 元.…………………………………………………………9 分 综上所述,当每辆自行车日租金定在 11 元时才能使日净收入最多,为 270 元.……10 分 21.解: (Ⅰ)由

34 2 811 , ) ? 3 3

1? x ? 0 可得 ?1 ? x ? 1 ,即其定义域为 ? ?1,1? 1? x

又 f ( x) ? f ( y) ? ln

1? x 1? y 1? x 1? y ? ln ? ln( ? ) 1? x 1? y 1? x 1? y
1?

x? y 1 ? x ? y ? xy x? y 1 ? xy ? ln ? ln ? f( ) x ? y 1 ? x ? y ? xy 1 ? xy 1? 1 ? xy
又当 x ? 0 时, 1 ? x ? 1 ? x ? 0, ? 故 f ( x ) ? ln (Ⅱ)

1? x 1? x ?0 ? 1 ? ln 1? x 1? x

1? x 满足这些条件。………………………………………………3 分 1? x

f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0

? f (? x) ? f ( x) ? f (0) ? 0 ? f (? x) ? ? f ( x)

? f ( x) 在 ? ?1,1? 上是奇函数。…………………………………………………5 分

x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( x) ? f ( ? y ) ? f ( ) 1 ? xy
当 ?1 ? x ? y ? 1 时,

x? y x? y ? 0 ,由条件知 f ( ) ? 0 ,即 f ( x) ? f ( y) ? 0 1 ? xy 1 ? xy

? f ( x) 在 ? ?1,1? 上是减函数。……………………………………………………7 分
(Ⅲ)

1 1 f (? ) ? 1? f ( ) ? ?1 2 2 1 2x 1 )? f( ) 方程 f ( x) ? ? 0 即为 2 f ( x) ? ?1 ? f ( x) ? f ( x) ? f ( 2 2 1? x 2 2x 1 ? ? x2 ? 4 x ? 1 ? 0 ? x ? 2 ? 3 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是减函数? 1 ? x2 2 又 x ? (?1,1) ? x ? 2 ? 3 ………………………………………………………10 分


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