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高考数学总复习经典测试题解析版5.1 平面向量的概念及线性运算


5.1 平面向量的概念及线性运算
一、选择题 1. 已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a ? b|,则下面结论正确的是( A.a∥b C.{0,1,3} B. a⊥b D.a+b=a ? b )

答案 B 2 .对于非零向量 a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 解析 若 a+b=0,则 a=-b.∴a

∥b; 若 a∥b,则 a=λ b,a+b=0 不一定成立. 答案 A 3.设 P 是△ABC 所在平面内的一点,→ BC+→ BA=2→ BP,则( A.→ PA+→ PB=0 C.→ PB+→ PC=0 解析 B.→ PC+→ PA=0 D.→ PA+→ PB+→ PC=0 ). ).

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

如图,根据向量加法的几何意义,→ BC+→ BA=2→ BP?P 是 AC 的中点,[来

源:Zxxk.Com]

∴→ PA+→ PC=0. 答案 B 4. 已知向量 a=(x,2), b=(3, -1), 若(a+b)∥(a-2b), 则实数 x 的值为( A.-3 B.2 C.4 D.-6 解析 因为(a+b)∥(a-2b),a+b=(x+3,1),a-2b=(x-6,4), ∴4(x+3)-(x-6)=0,x=-6. 答案 D )

→ → → 5.在四边形 ABCD 中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形 ABCD 的形状是( A.矩形 C.梯形 ). B.平行四边形 D.以上都不对

解析 由已知→ AD=→ AB+→ BC+→ CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2→ BC.[来源:学#科#网] ∴→ AD∥→ BC,又→ AB与→ CD不平行,∴四边形 ABCD 是梯形. 答案 C → → → → → → 6. 已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0, 若存在实数 m, 使得AB+AC=mAM成立, 则 m=( A.2 ). B.3 C.4 D.5

解析 ∵→ MA+→ MB+→ MC=0,∴点 M 是△ABC 的重心,∴→ AB+→ AC=3→ AM,∴ m=3. 答案 B 7.已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心,且 OA + OB + CO =0,则△ABC 的内角 A 等于( A.30° ) B.60° C.90° D.120°

解析:由 OA + OB + CO =0 得 OA + OB = OC ,由 O 为△ABC 外接圆的圆心, 结合向量加法的几何意义知四边形 OACB 为菱形,且∠CAO=60°. 答案:A 二、填空题 | AB | 8.已知平面上不共线的四点 O,A,B,C,若 OA -3 OB +2 OC =0,则 = | BC | ________. 解析 :由 OA -3 OB +2 OC =0,得 OA - OB =2( OB - OC ), 即 BA =2 CB ,于是 答案:2 9.给出下列命题: ①向量→ AB的长度与向量→ BA的长度相等; | AB | =2. | BC |

②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同 或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ④两个有公共终点的向量,一定是共线向量; ⑤向量→ AB与向量→ CD是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条直线上. 其中不正确的个数为________. 解析 ①中,∵向量→ AB与→ BA为相反向量,∴它们的长度相等,此 命题正确. ②中若 a 或 b 为零向量, 则满足 a 与 b 平行, 但 a 与 b 的方向不一定相同或相反, ∴此命题错误. ③由相等向量的定义知,若两向量为相等向量, 且起点相同,则其终点也必定 相同,∴该命题正确. ④由共线向量知,若两个向量仅有相同的终点,则 不一定共线,∴该命题错误. ⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量,∴若→ AB与→ CD是共线向量,则 A,B,C,

D 四点不一定在一条直线上,∴该命题错误.
答案 3 10.已知向量 a, b 夹角为 45? ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____ . 解析 答案 3 2 3 1 11.若 M 为△ABC 内一点,且满足→ AM= → AB+ → AC,则△ABM 与△ABC 的面积之比 4 4 为________. 解析 由题知 B、M、C 三点共线,设→ BM=λ → BC,则:→ AM-→ AB=λ (→ AC-→ AB), 1 S△ABM 1 ∴→ AM=(1-λ )→ AB+λ → AC,∴λ = ,∴ = . 4 S△ABC 4 1 答案 4 12.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|→ OB-→ OC|=|→ OB+→ OC-2→ OA|,则 △ABC 的形状为________. 解析 (等价转化法)→ OB+→ OC -2→ OA=→ OB-→ OA+→ OC-→ OA=→ AB+→ AC, → OB-→ OC=→ CB=→ AB-→ AC,

→ → → → ∴|AB+AC|=|AB-AC|. 故 A,B,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 答案 直角三角形 【点评】 本题采用的是等价转化法,将△ABC 的三个顶点转化到相应矩形中, 从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论. 三、解答题 2 13.如图所示,△ABC 中,→ AD= → AB,DE∥BC 交 AC 于 E,AM 是 BC 边上的中线, 3 交 DE 于 N.设→ AB=a,→ AC=b,用 a,b 分别表示向量→ AE,→ BC,→ DE,→ DN,→ AM,→ AN.

2 2 1 解析 → AE= b,→ BC=b-a,→ DE= (b-a),→ DN= (b-a), 3 3 3 1 1 → AM= (a+b),→ AN= (a+b). 2 3 14.设 a,b 是两个不共线的非零向量,若 a 与 b 起点相同,t∈R,t 为何值时,

a,tb, (a+b)三向量的终点在一条直线上?
1 ? 解析 设 a-tb=λ ?a- 3 ?

1 3

a+b ?(λ ∈R),

? ?

1 ? ?2 ? ? 化简整理得? λ -1?a+?t- λ ?b=0, 3 ? ?3 ? ? ∵a 与 b 不共线,∴由平面向量基本定理有 2 ? ?3λ -1=0, ? λ ? ?t- 3 =0, 3 ? λ = , ? 2 ∴? 1 t= . ? ? 2

1 1 故 t= 时,a,tb, (a+b)的终点在一条直线上 . 2 3 15.如图所示,在△ABC 中,D、F 分别是 BC、AC 的中点, AE

2 = AD , AB =a, AC =b. 3 (1)用 a,b 表示向量 AD 、 AE 、 AF 、 BE 、 BF ; (2)求证 :B、E、F 三点共线. 1 解析:(1)延长 AD 到 G,使 AD = AG , 2 连结 BG、CG,得到?ABGC, 1 1 2 1 所以 AG =a+b, AD = AG = (a+b), AE = AD = (a+b), 2 2 3 3 1 1 AF = AC = b, 2 2 1 1 BE = AE - AB = (a+b)-a= (b-2a), 3 3 1 1 BF = AF - AB = b-a= (b-2a). 2 2 2 (2)证明:由(1)可知 BE = BF ,所以 B、E、F 三点共线. 3 →+nOB →,(m,n∈R). 16.已知 O,A,B 三点不共线,且→ OP=mOA (1)若 m+n=1,求证:A,P,B 三点共线; (2)若 A,P,B 三点共线,求证:m+n=1. 证明 (1)m,n∈R,且 m+n=1, →+nOB →=mOA →+(1-m)→ ∴→ OP=mOA OB,即→ OP-→ OB=m(→ OA-→ OB). →,而→ ∴→ BP=mBA BA≠0,且 m∈R.故→ BP与→ BA共线,又→ BP,→ BA有公共点 B. ∴A,P,B 三点共线. (2)若 A,P,B 三点共线,则→ BP与→ BA共线,故存在实数 λ ,使→ BP=λ → BA,∴→ OP- → OB=λ (→ OA-→ OB).即→ OP=λ → OA+(1-λ )→ OB. →+nOB →.故 mOA →+nOB →=λ → 由→ OP=mOA OA+(1-λ )→ OB. ?m=λ , 又 O,A,B 不共线,∴→ OA,→ OB不共线.由平面向量基本定理得? ?n=1-λ . ∴m+n=1.


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