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湖北省巴东一中高二数学教案 选修1-1:1.1 变化率问题 1.2 导数的概念


§3.1.1 变化率问题 §3.1.2 导数的概念
【学情分析】 :
本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次: 1、借助气球膨胀率问题,了解变化率的含义;借助高台跳水问题,明确瞬时速度的含义. 2、以速度模型为出发点,结合其他实例抽象出导数概念,使学生认识到导数就是瞬时变 化率,了解导数内涵. 学生对导数概念的理解会有些困难,所以要对课本上的两

个问题进行深入的探讨,以便 顺利地使学生形成导数的概念。

【教学目标】 :
知道了物体的运动规律,用极限来定义物体的瞬时速度,学会求物体的瞬时速度掌握导 数的定义.

【教学重点】 :
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.

【教学难点】 :
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.

【教学过程设计】 :
教学环节 教学活动 设计意图 1.瞬时速度定义: 运动物体经过某一时刻(某一位置)的速 度,叫做瞬时速度. 2. 确定物体在某一点 A 处的瞬时速度的方法: 要确定物体在某一点 A 处的瞬时速度,从 A 点起取一小 段位移 AA1,求出物体在这段位移上的平均速度,这个平均 速度可以近似地表示物体经过 A 点的瞬时速度. 当位移足够小时,物体在这段时间内运动可认为是匀速 为导数概 的,所得的平均速度就等于物体经过 A 点的瞬时速度了. 念的引入 我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识,现在已经知 做铺垫 道物体做直线运动时,它的运动规律用函数表示为 s=s(t),也 叫做物体的运动方程或位移公式,现在有两个时刻 t0,0+Δ t, 现在问从 t0 到 t0+Δ t 这段时间内,物体的位移、平均速度各 是: 位移为Δ s=s(t0+Δ t)-s(t0)(Δ t 称时间增量)

(1)引入变化率和瞬时速 度

平均速度 v ?

?s s ? t0 ? t ? ? s ? t0 ? ? t t

根据对瞬时速度的直观描述,当位移足够小,现在位移 由时间 t 来表示,也就是说时间足够短时,平均速度就等于 瞬时速度. 现在是从 t0 到 t0+Δ t,这段时间是Δ t. 时间Δ t 足够短, 就是Δ t 无限趋近于 0. 当Δ t→0 时,平均速度就越接近于瞬 时速度,用极限表示瞬时速度

-1-

瞬时速度 v ? lim v ? lim
t ?0

s ? t0 ? t ? ? s ? t0 ? t ?0 t
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所以当Δ t→0 时,平均速度的极限就是瞬时速度

例 1、物体自由落体的运动方程 s=s(t)=

1 2 gt ,其中位移单 2 1 g(3+ 2
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位 m,时间单位 s,g=9.8 m/s2. 求 t=3 这一时段的速度. 解:取一小段时间[ 3,3+Δ t] ,位置改变量 Δ s=

Δ t)2-

?s 1 1 g ? g(6+Δ t) g·32= (6+Δ t)Δ t,平均速度 v ? 2 ?t 2 2

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瞬时速度为:

(2)例题讲解

1 v ? lim v ? lim g (t ? ?t ) ? 3g ? 29.4 m/s ?t ?0 ?t ?0 2
由匀变速直线运动的速度公式得 v=v0+at=gt=g· 3=3g=29.4 m/s 例 2、已知质点 M 按规律 s=2t2+3 做直线运动(位移单位: cm,时间单位:s), (1)当 t=2,Δ t=0.01 时,求

让学生进 一步认识 瞬时速 度,为引 入导数的 概念做好 铺垫.

?s . ?t ?s . ?t

(2)当 t=2,Δ t=0.001 时,求

(3)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度.

分析:Δ s 即位移的改变量,Δ t 即时间的改变量,

?s 即 ?t

平均速度,当Δ t 越小,求出的 解:∵

?s 越接近某时刻的速度. ?t

?s s(t ? ?t ) ? s(t ) 2(t ? ?t )2 ? 3 ? (2t 2 ? 3) =4t+2 ? ? ?t ?t ?t
Δt

-2-

∴(1)当 t=2,Δ t=0.01 时,

?s =4×2+2×0.01=8.02 cm/s ?t

(2)当 t=2,Δ t=0.001 时,

?s =4×2+2×0.001=8.002 cm/s ?t
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(3)v= lim

?t ?0

?s ? lim (4t+2Δ t)=4t=4×2=8 cm/s ?t ?t ?0

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设函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处附近有定义,当自变量在

x ? x0 处 有 增 量 ? x 时 , 则 函 数 y ? f ( x ) 相 应 地 有 增 量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,如果 ?x ? 0 时, ?y 与 ?x 的比
?y ?y (也叫函数的平均变化率)有极限即 无限趋近于某个 ?x ?x
常数,我们把这个极限值叫做函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导 (3) 导数的概念 数,记作 y
/ x ? x0

,即

f / ( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
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要让学生 理解导数 概念

注意:(1)函数应在点 x0 的附近有定义,否则导数不存在

(2)在定义导数的极限式中, ?x 趋近于 0 可正、可负、 但不为 0,而 ?y 可能为 0 (3) 均变化率. 例 3、求 y=x2 在点 x=1 处的导数. 分析:根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤,先 求Δ y,再求
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?y 是函数 y ? f ( x) 对自变量 x 在 ?x 范围内的平 ?x

?y ?y ,最后求 lim . ?x?0 ? x ?x
y=(1+ Δ x)2 - 12=2 Δ x+( Δ x)2 ,

解 : Δ

?y 2?x ? (?x) 2 =2+Δ x ? ?x ?x
∴ lim
?x?0

?y = lim (2+Δ x)=2. ∴y′|x=1=2. ? x ?x?0

-3-

注意:(Δ x)2 括号别忘了写. 学生自学教材 P75 例 1

(1)理解函数的概念。 (2)求函数 y ? f ( x) 的导数的一般方法: ①求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) . (4)课堂小结

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? . ?x ?x ?y ③取极限,得导数 y / = f ?( x) ? lim . ?x ?0 ?x
②求平均变化率

补充题目: 1. 一直线运动的物体,从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的位移为 ?s ,那么 lim ?s 为 ?t ? 0 ? t ( ) A.从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的平均速度; B.在 t 时刻时该物体的瞬时速度; C.当时间为 ?t 时物体的速度; D.从时间 t 到 t ? ?t 时物体的平均速度 2.一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是 s=s(t)=t2(位移单位:m,时间单位:s),求小球在 t=5 时的瞬时速度
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解:瞬时速度 v= lim

s(5 ? ?t ) ? s(5) (5 ? ?t )2 ? 52 ? lim ?t ?0 ?t ?0 ?t ?t

? lim (10+Δ t)=10 m/s.
?t ? 0

∴瞬时速度 v=2t=2×5=10 m/s. 3.质点 M 按规律 s=2t2+3 做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),求质点 M 在 t=2 时的瞬 时速度. 解:瞬时速度 v= lim
?t ? 0

s(2 ? ?t ) ? s(2) 2(2 ? ?t )2 ? 3 ? (2 ? 22 ? 3) ? lim ?t ?0 ?t ?0 ?t ?t

= lim (8+2Δ t)=8 cm/s.

-4-


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