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第十二讲:2013高考解析几何命题热点研讨(5)


第十二讲:2013 高考解析几何命题热点研讨(5)

解析几何, 又叫做平面解析几何.到大学的时候我们还要学习空间解析几何.可以说, 解析几 何很好的链接了代数和几何.这种链接, 也决定了解析几何在数学中的地位.高考对于解析几 何的考察,是很复杂的.主要考察图像、性质、标准方程、知识网络综合.下面孟老师就对 2013 年解析几何的走势,做一个简单的预测.

/>
第四部分:考题走势

孟老师走势预测 1 椭圆

走势预测 1 考定义(2012·福州质检) x2 y2 已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点.在△AF1B 中, 16 9 若有两边之和是 10,则第三边的长度为 A.6 B.5 C.4 D.3

解析:根据椭圆定义,知△AF1B 的周长为 4a=16,故所求的第三边的长度为 16-10=6. 答案:A

走势预测 2 考椭圆的标准方程 求中心在原点,一个焦点为 (0,5 2 ) 且被直线 y ? 3x ? 2 截得的弦中点横坐标为 程. 解: 设椭圆方程

1 的椭圆方 2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , a2 b2

因为弦 AB 中点 M ( ,? ) ,所以 x1 ? x2 ? 1, y1 ? y2 ? ?1

1 2

1 2

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1



? y12 x12 ? 2 ? 2 ?1 ?a b 2 2 2 2 2 2 得 a ( x1 ? x2 ) ? b ( y1 ? y2 ) ? 0 ,(点差法) ? 2 2 ? y2 ? x2 ? 1 ? a 2 b2 ?
2 y 2 ? y2 ( y ? y2 ) ( y1 ? y2 ) ( y1 ? y2 ) a2 ? ? 12 ?? 1 ? ?3 2 2 b x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) ( x1 ? x2 ) ( x1 ? x2 )

所以

? a 2 ? 3b 2

又 a ? b ? 50
2 2

?

y2 x2 ? ?1 75 10

走势预测 3 考椭圆的离心率 已知 F1 为椭圆的左焦点,A、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,P 为椭圆上的点,当 PF1⊥ F1A,PO∥AB(O 为椭圆中心)时,求椭圆的离心率. 分析:求椭圆的离心率,即求

c ,只需求 a、c 的值或 a、c 用同一个量表示.本题没有具体 a

数值,因此只需把 a、c 用同一量表示,由 PF1⊥F1A,PO∥AB 易得 b=c,a= 2 b.

y
P B

F1

o

F2 A

x

解:设椭圆方程为

x2 y2 + =1(a>b>0) 1(-c,0) 2=a2-b2, ,F ,c a2 b2
c2 b ? b2 b2 ) ,即 P(-c, ).∵AB∥PO,∴kAB=kOP,即- = .∴b=c. ac a a a2

则 P(-c,b 1 ?

2

又∵a= b 2 ? c 2 = 2 b,∴e=

2 c b = = . a 2b 2

点评:由题意准确画出图形,利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.

走势预测 4 考与椭圆的综合题型(2008 年四川延考卷) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 的中心和抛物线 C2 的顶点都在坐标原点 O ,C1 和 C2 有公共焦点 F , F 在 x 点 轴正半轴上,且 C1 的长轴长、短轴长及点 F 到 C1 右准线的距离成等比数列. (Ⅰ)当 C2 的准线与 C1 右准线间的距离为 15 时,求 C1 及 C2 的方程; (Ⅱ)设过点 F 且斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P ,Q 两点,交 C2 于 M , N 两点.当 | PQ |? 时,求 | MN | 的值.

36 7

x2 y 2 2 解: (Ⅰ)设 C1 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其半焦距为 c (c ? 0) .则 C2 : y ? 4cx . a b
由条件知 (2b) ? 2a(
2

a2 ? c) ,得 a ? 2c . c

C1 的右准线方程为 x ?

a2 ,即 x ? 4c . C2 的准线方程为 x ? ?c . c

由条件知 5c ? 15 , 所以 c ? 3 ,故 a ? 6 , b ? 3 3 .

x2 y 2 ? ?1, 从而 C1 : 36 27

C2 : y 2 ? 12 x .

(Ⅱ)由题设知 l : y ? x ? c ,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , P( x3 , y3 ) , Q( x4 , y4 ) . 由(Ⅰ)知 C1 :

x2 y2 ? 2 ? 1 ,即 3x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 4c 2 3c
, 知 x3 , x4 满足
2 2

由?

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 ?y ? x ?c

7 x2 ? 8cx ? 8c2 ? 0 ,

从而 PQ ? ( x3 ? x4 ) ? ( y3 ? y4 ) ? 由条件 PQ ?

2 x3 ? x4 ?

24 c 7

36 3 2 ,得 c ? , 故 C2 : y ? 6 x . 7 2
3

? y2 ? 6x ? 由? 3 ?y ? x ? ? 2

得 x2 ? 9 x ?

9 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 9 4

于是 MN ? MF ? FN ? x1 ? x 2 ?2c ? 12

椭圆走势预测(附加题)

1(2011 年北京卷) 已知椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1 .过点(m,0)作圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线 I 交椭圆 G 于 A,B 两点. 4

(I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值. 解: (Ⅰ)由已知得 a ? 2, b ? 1, 所以 c ?

a 2 ? b 2 ? 3.

所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3,0), ( 3,0) 离心率为 e ? (Ⅱ)由题意知, | m |? 1 .

c 3 ? . a 2

当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1,点 A、B 的坐标分别为 (1, 此时 | AB |?

3 3 ), (1,? ), 2 2

3 当 m=-1 时,同理可得 | AB |? 3

当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m),

? y ? k ( x ? m), ? 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 mx ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 由 ? x2 2 ? ? y ? 1. ?4
设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 )( x 2 , y 2 ) ,则

4k 2 m 2 ? 4 x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

8k 2 m

4

又由 l 与圆 x ? y ? 1相切, 得
2 2

| km| k ?1
2

? 1, 即m 2 k 2 ? k 2 ? 1.

所以 | AB |?
2

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

64 k 4 m ? 4 ( 4 k 2 m 2 ? 4) ? 4 3 | m | . ? (1 ? k )[ ? ] m2 ? 3 (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2
由于当 m ? ?3 时, | AB |? 所以 | AB |?

3,

4 3|m| , m ? (??,?1] ? [1,??) . m2 ? 3

因为 | AB |?

4 3|m| ? m2 ? 3

4 3 3 |m|? |m|

? 2,

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2.

2(2011 年全国高考) 已知 O 为坐标原点, 为椭圆 C : x ? F
2

y2 过 ? 1 在 y 轴正半轴上的焦点, F 且斜率为 - 2 的 2

直线 l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 OA ? OB ? OP ? 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上. 解: (I)F(0,1) l 的方程为 y ? ? 2 x ? 1 , , 代入 x ?
2

??? ??? ??? ? ? ?

y2 ? 1并化简得 4 x 2 ? 2 2 x ? 1 ? 0. 2
2? 6 2? 6 , x2 ? , 4 4

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x3 , y3 ), 则 x1 ?

x1 ? x2 ?

2 , y1 ? y2 ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? 1, 2

5

由题意得 x3 ? ?( x1 ? x2 ) ? ?

2 , y3 ? ?( y1 ? y2 ) ? ?1. 2

所以点 P 的坐标为 ( ?

2 2 , ?1) 满足方程 , ?1). 经验证,点 P 的坐标为 ( ? 2 2

x2 ?

y2 ? 1, 故点 P 在椭圆 C 上. 2
2 2 ,1) , ?1) 和题设知, Q( 2 2 2 x. 2


(II)由 P(?

PQ 的垂直平分线 l1 的方程为 y ? ?

设 AB 的中点为 M,则 M (

2 1 2 1 x? . , ) ,AB 的垂直平分线为 l 2 的方程为 y ? 2 4 4 2 2 1 , ). 8 8



由①、②得 l1 , l2 的交点为 N (?

| NP |? (?

2 2 2 1 3 11 ? ) ? ( ?1 ? ) 2 ? , 2 8 8 8 3 2 , 2

| AB |? 1 ? (? 2) 2 ? | x2 ? x1 |? | AM |? 3 2 , 4

| MN |? (

2 2 2 1 1 2 3 3 ? ) ?( ? ) ? , 4 8 2 8 8 3 11 , 8

| NA |? | AM |2 ? | MN |2 ?

故|NP|=|NA|.又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|,所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|, 由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心,NA 为半径的圆上

3(2012 年浙江卷)(本小题满分 15 分) 如图,椭圆 C:
1 x2 y 2 + ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10 .不 a 2 b2 2

过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分.

6

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.

【解析】 (Ⅰ)由题: e ?
c 1 ? ; (1) a 2

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? (2 ? c) 2 ? 12 ? 10 . (2) 由(1) (2)可解得: a2 ? 4,b2 ? 3,c2 ? 1 . ∴所求椭圆 C 的方程为:
x2 y 2 + ?1. 4 3

1 1 (Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0. 2 2

∵A,B 在椭圆上,
? xA2 y A2 + ?1 ? ? ∴ ? 42 32 ? xB + yB ? 1 ? 4 3 ? y A ? yB 3 xA ? xB 3 2 x0 3 ?? ?? ?? . xA ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2

? k AB ?

3 设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ x ? m (m≠0), 2

7

? x2 y2 ?1 ? + ? 代入椭圆: ? 4 3 ? y=- 3 x ? m ? ? 2

?

3 x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 .

显然 ? ? (3m)2 ? 4 ? 3(m2 ? 3) ? 3(12 ? m2 ) ? 0 . ∴﹣ 12 <m< 12 且 m≠0. 由上又有: xA ? xB =m, yA ? yB = ∴|AB|= 1 ? k AB | xA ? xB |= 1 ? k AB ∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: d ?
m2 ? 3 . 3
( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB = 1 ? k AB

4?

m2 . 3

?3 ? 1 ? m 1 ? k AB

?

m? 2 1 ? k AB



m2 1 1 ∴S ? ABP= d|AB|= |m+2| 4 ? , 3 2 2

当|m+2|= 4 ?

m2 ,即 m=﹣3 3

1 or m=0(舍去)时,(S ? ABP)max= . 2

3 1 此时直线 l 的方程 y=﹣ x ? . 2 2

【答案】 (Ⅰ)

3 1 x2 y 2 + ? 1 ;(Ⅱ) y=﹣ x ? . 4 3 2 2

4(2011 年天津) (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, P(a, b) (a ? b ? 0) 为动点,F1 , F2 分别为椭圆 点 左右焦点.已知△ F1 PF2 为等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆的离心率 e ; (Ⅱ)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, M 是直线 PF2 上的点,满足 AM ? BM ? ?2 , 求点 M 的轨迹方程. 本题主要考查椭圆标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识,考查用代数方 法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力.满分 13 分. (I)解:设 F1 (?c, 0), F2 (c, 0)(c ? 0)

x2 y 2 ? ? 1的 a 2 b2

???? ???? ? ?

8

2 2 由题意,可得 | PF2 |?| F1 F2 |, 即 (a ? c) ? b ? 2c.

整理得 2( ) 2 ?

c a

c c c 1 1 ,或 ? . 所以 e ? . ? 1 ? 0, 得 ? ?1 (舍) a a a 2 2

(II)解:由(I)知 a ? 2c, b ? 3c, 可得椭圆方程为 3x ? 4 y ? 12c ,
2 2 2

直线 PF2 方程为 y ? 3( x ? c).

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 , ? A,B 两点的坐标满足方程组 ? ? y ? 3( x ? c ). ?
消去 y 并整理,得 5 x ? 8cx ? 0. 解得 x 1 ? 0, x2 ?
2

8 c. 5

8 ? x2 ? c, ? ? x1 ? 0, 5 ? ? 得方程组的解 ? ? 3 3 ? y1 ? ? 3c, ? ? y2 ? c. ? 5 ?
不妨设 A( c,

8 5

3 3 c), B(0, ? 3c) 5 ???? ? 8 5 ? 3 3 ???? c), BM ? ( x, y ? 3c) , 5

设点 M 的坐标为 ( x, y ), 则 AM ? ( x ? c, y ?

由 y ? 3( x ? c), 得c ? x ?

???? ? 8 3 3 3 8 3 3 y. 于是 AM ? ( y ? x, y ? x), 3 15 5 5 5

???? ? ???? ???? ? ? BM ? ( x, 3x). 由 AM ? BM ? ?2,
即(

8 3 3 8 3 3 y ? x) ? x ? ( y ? x) ? 3x ? ?2 ,化简得 18 x 2 ? 16 3xy ? 15 ? 0. 15 5 5 5
18 x 2 ? 15 3 10 x 2 ? 5 代入c ? x ? y, 得c ? ? 0. 所以 x ? 0. 3 16 x 16 3 x
2

将y?

因此,点 M 的轨迹方程是 18 x ? 16 3xy ? 15 ? 0( x ? 0).

孟老师走势预测 2 抛物线
9

走势预测 1 抛物线的定义 如下图所示,直线 l1 , l 2 相交于点 M, l1 ? l 2 ,点 N ? l1 ,以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一 点到 l 2 的距离与到点 N 的距离相等 若 ?AMN 为锐角三角形
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AM ? 17 , AN ? 3, BN ? 6 ,建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程

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y L2 A

B

M

O

N

L1 x

分析:由题意所求曲线段是抛物线的一部分,求曲线方程需建立适当的直角坐标系,设出抛 物线方程,由条件求出待定系数即可,求出曲线方程后要标注 x、y 的取值范围 解: 以 MN 中点为原点,MN 所在直线方程为 x 轴建立直角坐标系,设曲线方程为
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y 2 ? 2 px ( p ? 0, x A ? x ? x B , y ? 0) 由 AM ? 17 , AN ? 3 得:

p 2 ? 2 ?( x A ? 2 ) ? y A ? 17 4 ? , xA ? ? p ?( x ? P ) 2 ? y 2 ? 9 A ? A 2 ?
又 AN ? x A ?

4 p p ? 3 , ? ? ? 3 ,解得 p ? 2,4 p 2 2

2 ? ?17 ? 9 ? p 2 由 ?AMN 锐角为三角形, ? ? 2 , 8 ? p ? 26 , ? p ? 4 ? p ? 9 ? 17 ?

10

又 BN ? x B ?

p ? 6,? x B ? 4 2
2

故所求曲线方程为: y ? 8 x (1 ? x ? 4, y ? 0)

点评:本题体现了坐标法的基本思路,考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤,综合 考查了学生分析问题、解决问题的能力
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走势预测 2 抛物线的方程 过点 P(1,-3)的抛物线的标准方程是 1 1 A.x2= y 或 x2=- y 3 3 1 C.y2=-9x 或 x2= y 3 1 B.x2= y 3 1 D.x2=- y 或 y2=9x 3

解析:∵点 P(1,-3)落在第四象限,故抛物线的标准形式为 y2=2px(p>0)或 x2=2py(p<0), 1 把 P(1,-3)代入上式得 9=2p 或- =2p, 3 1 ∴其标准形式为 y2=9x 或 x2=- y.答案:D 3

走势预测 3 抛物线的几何性质 已知抛物线 C: y ? 2 px
2

( p ? 0) , 点 M 是抛物线上任意一点,点 F 是抛物线上任意一点,

点 F 是抛物线的焦点, MN ? 准线NG ,(G 为准线与 x 轴的交点) (1)求证:等腰三角形 MNF 底边上的高所在直线 MK 是抛物线的切线; (2)求证:光线 FM 在点 M 的反射光线 MB 必平行 x 轴
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11

y N K G O F M B A x

证明: (1)设 M ( x0 , y 0 ), 则 N (?

y p p , y0 ) ? k FN ? 0 ? kMK ? 2 ?p y0




又 2 y ? y x ? 2 p ? k切 ?

?

p y0

由①②知,直线 MK 是抛物线在点 M 的切线

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(2)令 MA 为法线,则 ?FMA ? ?BMA, ?AMK ? 90

?

? ?AMF ? ?FMK ? ?KMN + ?BMA , ? ?NMB 为平角 所以反射光线 MB 平行 x 轴
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走势预测 4 考察抛物线的综合题目(2012·浙江省六校 2 月联考) 1 已知抛物线 C:y= x2 与直线 l:y=x-1 没有公共点,设点 P 为直线 l 上的动点,过 P 作 2 抛物线 C 的两条切线,A、B 为切点. (1)证明:直线 AB 恒过定点 Q; |PM| |QM| (2)若点 P 与(1)中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M、N 两点,证明: = . |PN| |QN|
12

1 1 2 证明:(1)设 A(x1,y1),则 y1= x1.由 y= x2 得 y′=x,所以 y′|x=x =x1.于是抛物线 C 在 A 2 2 1 点处的切线方程为 y-y1=x1(x-x1),即 y=x1x-y1. 设 P(x0,x0-1),则有 x0-1=x0x1-y1, 设 B(x2,y2),同理有 x0-1=x0x2-y2. 所以 AB 的方程为 x0-1=x0x-y,即 x0(x-1)-(y-1)=0, 所以直线 AB 恒过定点 Q(1,1). x0-2 (2)PQ 的方程为 y= (x-1)+1, x0-1 1 与抛物线方程 y= x2 联立,消去 y, 2 2x0-4 2 得 x2- x- =0.设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 x0-1 x0-1 2x0-4 2 x3+x4= 、x3x4=- x0-1 x0-1 |PM| |QM| x3-x0 1-x3 要证 = ,只需证明 = . |PN| |QN| x4-x0 x4-1 即 2x3x4-(1+x0)(x3+x4)+2x0=0 -4 2x0-4 由①知,②式左边= -(1+x0) +2x0 x0-1 x0-1 -4-? = 1+x0? ? 2x0-4? x0-1 +2x0? x0-1? =0 ② ①

故②式成立,从而结论成立.

抛物线走势预测(附加)

如图,ABCD 是一块边长为 4km 的正方形地域,地域内有一条河流 MD,其经过路线是以 AB 中

13

点 M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不记),某集团公司准备投巨资建一个大型矩 形游乐园 PQCN 问如何施工才能使游乐园面积最大?并求出最大面积
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y A P M x B D N

Q

C

解: 以 M 为原点 BA 所在直线为 y 轴,如图建系
2 设抛物线方程为 y ? 2 px ( p ? 0) ,

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由点 D(4, 2)在抛物线上, 4 ? 2 p ? 4,? p ?
2 故物线方程为 y ? x (0 ? x ? 4)

1 2

2 设 P ( y , y ) (0 ? y ? 2) 是曲线 MD 上任意一点

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则 PQ ? 2 ? y, PN ? 4 ? y , 矩形游乐园面积
2

S ? (2 ? y)( 4 ? y 2 ) ? ? y 3 ? 2 y 2 ? 4 y ? 8
令 S? ? 0 得 y ?

? S ? ? ?3 y 2 ? 4 y ? 4 ,

2 2 , y ? ?2 ? 0 ? y ? 2,? y ? 3 3 2 2 当 y ? (0, ) 时 S ? ? 0 ; 当 y ? ( ,2) 时, S ? ? 0 3 3 2 8 32 256 ? y ? 时,S 有极大值, 此时, PQ ? ; PN ? ; S ? 3 3 9 27 256 又 y ? 0 时, S ? 8 ? 27
14

所以当游乐园长 PN=

32 8 256 km , 宽 PQ= k m 时,其面积最大为 (km) 2 9 3 27

孟老师走势预测 3 双曲线

走势预测 1 双曲线的定义(2011·安徽卷) 双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是 A.2 B.2 2 C.4 D.4 2

x2 y2 解析:原式可化为: - =1,∴a2=4,∴a=2,2a=4.答案:C 4 8

走势预测 2 双曲线的标准方程 已知?∈[0,π], 设讨论随?值的变化,方程 x2sin?+y2cos?=1 表示的曲线形状 解:(1)?=0 时,两直线 y=1 和 y= ─1; (2)?=π/2 时,两直线 x=1 和 x=─1; (3)0<?<π/2 时,焦点在 x 轴上的椭圆; (4)?=π/4 时,半径为 4 2 的圆; (5)π/4<?<π/2 时,焦点在 y 轴上的椭圆; (6)π/2<?<π 时,焦点在 x 轴上的椭圆
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点评:本题主要考查椭圆双曲线方程的形式和分类讨论思想

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走势预测 3 双曲线的离心率(2011·邹城一中 2 月模拟) x y 设 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点 P,使 a b → → → (OP+OF2)·F2P=0(O 为坐标原点),且|PF1|= 3|PF2|,则双曲线的离心率为 A. 2+1 2 B. 2+1 C. 3+1 2 D. 3+1
2 2

15

→ → → 解析:∵(OP+OF2)·F2P=0, ∴OB⊥PF2 且 B 为 PF2 的中点,又 O 是 F1F2 的中点∴OB∥PF1,∴PF1⊥PF2.

?|PF |-|PF |=2a ? 则?|PF | +|PF | =4c ?|PF |= 3|PF | ?
1 2 12 1 22 2

2

整理,可得(

c 3-1)c=2a,∴e= = a

3+1.答案:D

走势预测 4 双曲线的渐近线 x2 y2 已知双曲线 - =1(b>0)的左、 右焦点分别为 F1、 2, F 其一条渐近线方程为 y=x, P( 点 2 b2 → → y0)在该双曲线上,则PF1·PF2=__________. 解析:∵渐近线方程为 y=x,∴b2=2. 又 P(
2 3,y0)在双曲线上,∴y0=1.

3,

又∵F1(-2,0),F2(2,0), → → ∴PF1·PF2=(-2- 3,-y0)·(2-
2 3,-y0)=3-4+y0=0.答案:0

16

走势预测 5 对双曲线的综合考察 已知双曲线的方程为

x2 ? y 2 ? 1 , 直线 l 通过其右焦点 F2,且与双曲线的右支交于 A、B 4
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两点,将 A、B 与双曲线的左焦点 F1 连结起来,求|F1A|·|F1B|的最小值 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2), A 到双曲线的左准线 x= ─

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a2 4 4 4 =─ 的距离 d=|x1+ |=x1+ , c 5 5 5

由双曲线的定义,

| AF1 | 5 =e= , 2 d

∴|AF1|=

5 5 4 (x1+ )= x1+2, 2 2 5 5 x2+2, 2 5 5 5 x1+2)( x2+2)= x1x2+ 5 (x1+x2)+4 2 2 4
(1)

同理,|BF1|=

∴|F1A|·|F1B|=(

双曲线的右焦点为 F2( 5 ,0), (1)当直线的斜率存在时设直线 AB 的方程为:y=k(x─ 5 ),

? y ? k(x ? 5) ? 由 ? x2 消去 y 得 (1─4k2)x2+8 5 k2x─20k2─4=0, 2 ? ? y ?1 ?4
∴x1+x2=

20 k 2 ? 4 8 5k 2 , x1x2= ─ , 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

代入(1)整理得

40 k 2 25k 2 ? 5 65k 2 ? 5 ? |F1A|·|F1B|= +4= +4 4 k 2 ? 1 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

17

1 85 65(k 2 ? ) ? 85 4 4 +4= 81 + = 2 4 4( 4k 2 ? 1) 4k ? 1
∴|F1A|·|F1B|>

81 ; 4

(2)当直线 AB 垂直于 x 轴时,容易算出|AF2|=|BF2|= ∴|AF1|=|BF1|=2a+

1 , 2

1 9 81 = (双曲线的第一定义), ∴|F1A|·|F1B|= 2 2 4 81 由(1), (2)得:当直线 AB 垂直于 x 轴时|F1A|·|F1B| 取最大值 4

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双曲线走势预测(附加题)

某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑,挖出的土只能沿道路 AP、BP 运到 P 处(如图 所示) 已知 PA=100 m,PB=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土最省工
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y
M A

o
P

B

x

分析:首先抽象为数学问题,半圆中的点可分为三类: (1)沿 AP 到 P 较近; (2)沿 BP 到 P 较近; (3)沿 AP、BP 到 P 同样远
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显然,第三类点是第一、二类的分界点,设 M 是分界线上的任意一点 则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|
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于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50

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从而发现第三类点 M 满足性质:点 M 到点 A 与点 B 的距离之差等于常数 50,由双曲线定 义知,点 M 在以 A、B 为焦点的双曲线的右支上,故问题转化为求此双曲线的方程
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解:以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系 xOy,设 M(x,y)是 沿 AP、BP 运土同样远的点,则 |MA|+|PA|=|MB|+|PB|, ∴|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50 在△PAB 中,由余弦定理得 |AB| 2=|PA| 2+|PB| 2-2|PA||PB|cos60°=17500, 且 50<|AB|
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由双曲线定义知 M 点在以 A、B 为焦点的双曲线右支上, 设此双曲线方程为

y2 x2 - 2 =1(a>0,b>0) a2 b

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∵2a=50,4c2=17500,c2=a2+b2, 解之得 a2=625,b2=3750 ∴M 点轨迹是
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y2 x2 - =1(x≥25)在半圆内的一段双曲线弧 625 3750

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于是运土时将双曲线左侧的土沿 AP 运到 P 处,右侧的土沿 BP 运到 P 处最省工

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点评: (1)本题是不等量与等量关系问题,涉及到分类思想,通过建立直角坐标系,利用点 的集合性质,构造圆锥曲线模型(即分界线)从而确定出最优化区域
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(2)应用分类思想解题的一般步骤:①确定分类的对象;②进行合理的分类;③逐类逐级 讨论;④归纳各类结果
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