nbhkdz.com冰点文库

2教师版。导数及其应用(二轮)


高三二轮导学案 班级:

学科 数学 编号 1.5-2 编写人 小组: 姓名:

邓赞武 审核人 小组评价:

使用时间 教师评价:

第5 讲

导数及其应用之二

【高考考情】 对导数在函数单调性应用中的考查,以求解函数的单调区间为主。函数的极值和最值问题是

高考对 导数应用考查的重点,其 中根据极值或最值求解参数的取值范围是高考的热点,最值与不等式的证明以 及不等式恒成立问题相结合的试题,难度往往较大。 【使用说明及学法指导】①要求学生课前必须完成知识梳理和基础自测题; ②探究案要规范书写,完 成探究案后要写好解题心得. 预习案 一、知识梳理:略 二、基础自测 考点 5. 用导数研究函数的图象以及函数零点问题 1.函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?( x) 在 (a, b) 内的图象如图 所示,则函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点 个
b a O x y y ? f ?( x )

1.解: 先由导函数取值的正负确定函数的单调性, 然后列表可判断函数极小 值点的有 1 个数。 2、函数 f ( x) ? (1 ? x)2 ? ln(1 ? x)2 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? x 2 ? x ? a 在区间 [0,2]上恰好有两个相异的实 根,求实数 a 的取值范围。 2【解】方程 f ( x) ? x2 ? x ? a ,即 x ? a ? 1 ? ln(1 ? x)2 ? 0 记 g ( x) ? x ? a ? 1 ? ln(1 ? x)2 , x ?[0,2] ,则 g '( x) ? 1 ?
2 x ?1 . ? 1? x x ?1

由 g '( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 1 ,由 g '( x ) ?0 得 ?1 ? x ? 1 ∴ g ( x) 在 [0,1]上递减,在 [1,2]递增…… 11 分,为 使 f ( x) ? x 2 ? x ? a 在 [0,2] 上恰好有两个相异的实根,只须 g ( x) ? 0 在 [0,1) 和 (1,2] 上各有一个实根,
g ( 0) ? 于是有 ? ? 0

? g (1) ? 0 ? g ( 2) ? 0 ?

解得 2 ? ln 2 ? a ? 3 ? 2ln3

考点 6.利用导数处理与不等式有关的问题以及含参范围问题。 3. f ( x) ? ax ? 3x ? 1 对于 x ? ? ?1,1? 总有 f ( x) ? 0 成立,则 a =
3

3. 解:要使 f ( x) ? 0 恒成立,只要 f ( x) min ? 0 在 x ? ? ?1,1? 上恒成立。答案:4 1 2 4 求证:当 x>1 时, x2+ln x< x3. 2 3 ?x-1??2x2+x+1? 2 3 1 2 1 4【证明】 设 F(x)= x -( x +ln x),故 F′(x)=2x2-x- .∴F′(x)= . 3 2 x x 1 ∵x>1,∴F′(x)>0.∴F(x)在(1,+∞)上为增函数.又 F(x)在(1,+∞)上连续,F(1)= >0, 6 1 1 2 2 3 ∴F(x)> 在(1,+∞)上恒成立∴F(x)>0∴当 x>1 时, x +ln x< x . 6 2 3 一、合作探究 应用三 利用导数解决与方程的根、不等式有关的问题
1

例 3、已知函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x ? x 在点 x ? 0 处取得极值。 (1)求实数 a 的值;
2

(2)若关于 x 的方程 f ( x) ? ? 5 x ? b 在区间[0,2]上有两个不等实根,求 b 的取值范围; (3)证明: 2 对于任意的正整数 n ,不等式 ln 解析: (Ⅰ) f ? ? x ? ?

n ?1 n ?1 ? 2 。 n n
由题意,

1? 2x ? x ? a ? ? ? x ? a ? x?a
? ?

f ? ? 0? ? 0

解得 a ? 1 … 2 分

(Ⅱ)构造函数 h( x) ? ln ? x ? 1? ? x 2 ? x ? ? ? 5 x ? b ? ? x ? ? 0, 2?? ,则
2 ? ?
?4 x 2 ? x ? 5 4x2 ? x ? 5 ?? 2 ? x ? 1? 2 ? x ? 1?

h?( x) ?

?

? 4 x ? 5 ?? x ? 1? 令 h?( x) ? 0 2 ? x ? 1?



5 x ? ? 或x ? ?1或x ? 1, 4

又 知 x ? ?0 , 2 ? ∴ 当 0 ? x ? 1 时 , 函 数 h( x ) 单 调 递 增 , 当 1 ? x ? 2 函 数 h( x ) 单 调 递 减 , 方 程

5 2 ? 上有两个不同的实根,等价于函数 h( x) 在 ? 0, 2 ? 上有两个不同的零点,则 f ( x) ? ? x ? b 在区间 ? 0, 2
只需
? g ? 0 ? ? ?b ? 0 ? 即 3 ? ? g ?1? ? ln 2 ? 1 ? ? b ? 0 2 ? ? g 2 ? ln 3 ? 4 ? 3?b ? 0 ? ? ?

?b ? 0 ? 1 ? ?b ? ln 2 ? 2 ? b ? ln 3 ? 1 ? ?

∴ 所求实数 b 的取值范围是 ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ?

1 2

…………………6 分

(Ⅲ)构造函数 g ( x) ? ln ? x ? 1? ? x 2 ? x ? x ? 0 ? ,则
g ?( x) ? ? x ? 2 x ? 3? x ?1



g? ? x? ? 0

解得

x ? 0或x ? ?

3 …… 8 分,当 2

?1 ? x ? 0



g ? ? x ? ? 0 , g ( x) 是增函数 当
∴ 得

x ? 0 时 g ? ? x ? ? 0 , g ( x) 是减函数………10 分
当 x ? 0 时,有 l n? x ? 1 ? ? x2 ? x ? 0
ln n ? 1 n ? 1 .……… 14 分 ? n n2

?? ? g ( x)?m a x? g? 0
2

0 ∴

取 l n? x ? 1 ? ? x2 ? x ? 0

x?

1, n

1 即 ?1 ? ?1 ? l n? ? 1 ?0 ?? ? ? ? n ?n ? ?n ?

[解题心得]:

例 4、 (海珠区 2014 届高三上学期综合测试(二) )设 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? ax .(Ⅰ)若 a ? 2 ,

P ?1, ?2 ? 求曲线 y ? f ( x) 在 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ( x) 无零点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 f ( x)
有两个相异零点

x1 , x2

,求证:

x1 ? x2 ? e2

.

2

解:在区间 ? 0, ?? ? 上, f ?( x) ?

1 1 ? ax . ?a ? x x

…………………1 分 …………2 分 …………3 分 …………4 分 …………5 分

(1)当 a ? 2 时, f ?(1) ? 1 ? 2 ? ?1 , 则切线方程为 y ? (?2) ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 1 ? 0 (2)①若 a ? 0 , f ( x) ? ln x 有唯一零点 x ? 1 . ②若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 是区间 ? 0, ?? ? 上的增函数,

Q f (1) ? ?a ? 0 , f (ea ) ? a ? aea ? a(1 ? ea ) ? 0 ,

? f (1) ? f (ea ) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 ? 0, ?? ? 有唯一零点.
③若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 得: x ?

…………6 分

1 . a

在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是增函数; 在区间 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是减函数; 故在区间 ? 0, ?? ? 上, f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ln 由 f ( ) ? 0, 即 ? ln a ?1 ? 0 ,解得: a ? 故所求实数 a 的取值范围是 ( , ?? ) .

1 a

1 a

…………7 分

1 a

1 ? 1 ? ? ln a ? 1 .………8 分 a

1 a

1 . e
…………9 分

1 e

(3) 设 x1 ? x2 ? 0, Q f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0, ? ln x1 ? ax1 ? 0, ln x2 ? ax2 ? 0

? ln x1 ? ln x2 ? a( x1 ? x2 ) , ln x1 ? ln x2 ? a( x1 ? x2 )
原不等式 x1 ? x2 ? e ? ln x1 ? ln x2 ? 2
2

…………10 分

? a( x1 ? x2 ) ? 2 ?


ln x1 ? ln x2 x 2( x1 ? x2 ) 2 ? ? ln 1 ? x1 ? x2 x1 ? x2 x2 x1 ? x2

…………11 分

x1 x 2( x1 ? x2 ) 2(t ? 1) . ? t ,则 t ? 1,于是 ln 1 ? ? ln t ? x2 x2 x1 ? x2 t ?1

…………12 分

1 4 (t ? 1) 2 2(t ? 1) ? g ( t ) ? ? ? ?0 设函数 g (t ) ? ln t ? (t ? 1) ,求导得: t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2 t ?1
故函数 g (t ) 是 ?1, ?? ? 上的增函数, …………13 分

? g (t ) ? g (1) ? 0 ,即不等式 ln t ?
故所证不等式 x1 ? x2 ? e 成立.
2

2(t ? 1) 成立, t ?1
……………………14 分

[解题心得]:
3

训练案
一、课中训练与检测 1. (广州 2013 高三调研理)若直线 y ? 2 x ? m 是曲线 y ? x ln x 的切线,则实数 m 的值为 【解析】设切点为 ( x0 , x0 ln x0 ) ,由 y? ? ( x ln x)? ? ln x ? x? ? ln x ? 1 得 k ? ln x0 ? 1 , 故切线方程为 y ? x0 ln x0 ? (ln x0 ? 1)( x ? x0 ) ,整理得 y ? (ln x0 ? 1) x ? x0 , 与 y ? 2 x ? m 比较得 ? .

1 x

?ln x0 ? 1 ? 2 ,解得 x0 ? e ,故 m ? ?e ? ? x0 ? m

1 2.已知函数 f(x)= mx2+ln x-2x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为________. 2 1 1 2 1 2 1 【解析】 f′(x)=mx+ -2≥0 对一切 x>0 恒成立,m≥-( )2+ ,令 g(x)=-( )2+ ,则当 =1 x x x x x x 时,函数 g(x)取最大值 1,故 m≥1.【答案】 [1,+∞) 1 3. 已知函数 f(x)=x- ,g(x)=x2-2ax+4,若任意 x1∈[0,1],存在 x2∈[1,2],使 f(x1)≥g(x2),则实 x+1 数 a 的取值范围是__________. 9 1 ? 【解】答案 ? ?4,+∞?,由于 f′(x)=1+?x+1?2>0,因此函数 f(x)在[0,1]上单调递增,所以 x∈[0,1]时, x f(x)min=f(0)=-1.根据题意可知存在 x∈[1,2],使得 g(x)=x2-2ax+4≤-1,即 x2-2ax+5≤0,即 a≥ 2 5 x 5 x 5 + 能成立,令 h(x)= + ,则要使 a≥h(x)在 x∈[1,2]能成立,只需使 a≥h(x)min,又函数 h(x)= + 2x 2 2x 2 2x 9 9 在 x∈[1,2]上单调递减,所以 h(x)min=h(2)= ,故只需 a≥ . 4 4 1 x 1 4. 已知函数 f(x) (x∈R)满足 f(1)=1,且 f(x)的导函数 f′(x)< ,则 f(x)< + 的解集为__________. 2 2 2 x 1 1 1 1 【解】φ(x)=f(x)- - ,则 φ′(x)=f′(x)- <0,∴φ(x)在 R 上是减函数.φ(1)=f(1)- - =1-1=0, 2 2 2 2 2 x 1 ∴φ(x)=f(x)- - <0 的解集为{x|x>1}. 2 2 二、课后巩固促提升 1 、 已 知 f ( x) ? x ln x . ( 1 ) 求 函 数 f ( x) 在 区 间 [t , t ? 2](t ? 0) 上 的 最 小 值 ; (2)对一切实数 (3)对一切 x ? (0, ??) ,证明 ln x ? x ? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围;
1 e 1 e

1 e
x

?

2 . ex

解:⑴ f '( x) ? ln x ? 1 ,当 x ? (0, ) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,当 x ? ( , ??) , f '( x) ? 0 ,
f ( x) 单调递增.① 0 ? t ? t ? 2 ?
1 1 1 1 1 , t 无解;② 0 ? t ? ? t ? 2 , 即 0 ? t ? 时,f ( x)min ? f ( ) ? ? ; e e e e e
4



1 1 ? t ? t ? 2 , 即 t ? 时 , f ( x) 在 [t , t ? 2] 上 单 调 递 增 , f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ; 所 以 e e

1 ? 1 ? , 0?t? ? ? e e . f ( x ) m i n? ? 1 ?t ln t,t ? ? e ?

⑵ 2 x ln x ? ? x2 ? ax ? 3 ,则 a ? 2 ln x ? x ? 则 h '( x) ?
( x ? 3)( x ? 1) x2

3 3 ,设 h( x) ? 2 ln x ? x ? ( x ? 0) x x

, x ? (0,1) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增, x ? (1, ??) , h '( x) ? 0 , 所以 h( x)mi n ? h(1)? 4,因为对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以
xl n x? (x

h( x) 单调递减, a ? h( x)min ? 4 ;

⑶ 由 ⑴ 可 知 f ( x)?
m( x) ? x

的最 小值是 ? ? ( 0 ?, ))

1 1 , 当 且 仅 当 x? 时 取 到 , 设 e e

2 1? x 1 ,易得 m( x)max ? m(1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到,从而 ? ( x ? (0, ??)) ,则 m '( x) ? x e e e e 1 2 对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? ? 成立. x ex e
x

a 2.已知函数 f(x)=ln x+x,g(x)= -x-1(a>0).(1)求函数 F(x)=f(x)+g(x)在(0,e]上的最小值; x (2)对于正实数 m,方程 2mf(x)=x2 有唯一实数根,求 m 的值. 解 a a 1 (1)函数 F(x)=f(x)+g(x)= -1+ln x 的定义域为{x|x>0},因为 F′(x)=- 2+ , x x x

a 1 a a>0 时,解 F′(x)>0,即- 2+ >0,得 x>a,所以在(a,+∞)上 F(x)单调递增,解 F′(x)<0,即- 2+ x x x 1 <0,得 0<x<a,所以在(0,a)上,F(x)单调递减,因此:当 a<e 时,函数在 x=a 处取得最小值 F(a)=ln x a a 当 a>e 时,函数在 x=e 处取得最小值 F(e)= ,综上:当 0<a≤e 时,函数 F(x)在区间(0,e]上最小值 e a 为 ln a;当 a>e 时,函数 F(x)在区间(0,e]上最小值为 . e (2)方法一 因为方程 2mf(x)=x2 有唯一实数根,所以 x2-2mln x-2mx=0 有唯一实数根. 2x2-2m-2mx 设 g(x)=x -2mln x-2mx,则 g′(x)= .令 g′(x)=0,x2-mx-m=0. x
2

m- m2+4m m+ m2+4m 因为 m>0,x>0,所以 x1= <0(舍去),x2= , 2 2 当 x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)上单调递减,当 x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)
2 ? ? ?g?x2?=0, ?x2-2mln x2-2mx2=0, 上单调递增, 当 x=x2 时, g′(x2)=0, g(x)取最小值 g(x2). 则? , 即? 2 ?g′?x2?=0, ? ? ?x2-mx2-m=0.

所以 2mln x2+mx2-m=0,因为 m>0,所以 2ln x2+x2-1=0(*)设函数 h(x)=2ln x+x-1,因为当 x>0 时,h(x)是增函数,所以 h(x)=0 至多有一解.因为 h(1)=0,所以方程(*)的解为 x2=1, 即 m+ m2+4m 1 =1,解得 m= . 2 2
5

方法二 ∵方程 2mf(x)=x2 有唯一实数根,又 f(x)=ln x+x 且 m>0.∴

1 f?x? ln x+x = = 有唯一实数根. 2m x2 x2

ln x+x 1-2ln x-x 2 令 h(x)= 2 (x>0).∴h′(x)= (x>0),再令 φ(x)=1-2ln x-x,则 φ′(x)=- -1<0, x x3 x ∴φ(x)在(0, +∞)上为减函数. 又 φ(1)=0.∴当 x∈(0,1)时, φ(x)>0, 即 h′(x)>0.当 x∈(1, +∞)时, φ(x)<0, 即 h′(x)<0.从而 h(x)在(0,1)上单调递增, 且 x→0 时, h(x)→-∞.在(0, +∞)上单调递减,且 x→+∞时, 1 1 h(x)→0.故要使方程有唯一实数根,只需 =h(1),∴m= . 2m 2

6


2教师版。导数及其应用(二轮)

高三二轮导学案 班级: 学科 数学 编号 1.5-2 编写人 小组: 姓名: 邓赞武 审核人 小组评价: 使用时间 教师评价: 第5 讲 导数及其应用之二 【高考考情】 对...

二轮复习之导数及其应用教师版

二轮复习之导数及其应用教师版_数学_高中教育_教育专区。知识点一:导数的几何意义和运算例 1:已知函数 f ( x) ? ax2 ? b ln x 的图像在点 P(1,1) 处...

教师版。导数及其应用(二轮)

教师版导数及其应用(二轮) 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高三二轮导学...5. 四个易误导数公式及两个常用的运算法则(1)(sin x)′=cos x. (2)(...

1教师版。导数及其应用(二轮)

教师导数及其应用1 5页 2下载券1​教​师​版​。​导​数​...高三二轮导学案 班级: 学科 数学 编号 1.5-1 编写人 小组: 姓名: 邓赞武 ...

高三数学二轮复习(7)导数的综合应用教师版

高三数学二轮复习(7)导数的综合应用教师版_数学_高中教育_教育专区。第六讲 ...(2)证明:令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方...

导数及其应用教师版

教师版:专题11导数及其应... 45页 2财富值 函数与导数应用教师版 6页 免费 第二轮专题复习导数的综合... 13页 5财富值 导数及其应用新编教师版06... 43...

导数的应用(二)(教师版)

导数的应用(二)(教师版)_数学_高中教育_教育专区。导数的应用(二) 考向 1 利用导数研究恒成立问题及参数求解 [例 1] 已知函数 f(x)=x2ln x-a(x2-1)...

导数及其应用2(教师用)

导数的应用教师版 暂无评价 9页 免费 数学选修2-2导数及其应用测... 暂无评价 7页 5财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建...

教师用导数及其应用2

导数的应用教师版 暂无评价 9页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...