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【原创】(北师大版必修1)+2.3+函数的单调性课件


安徽省泗县第一中学

鲍金凤

图示是某市一天24小时内的气温变化图。气温θ 是关 于时间 t 的函数,记为θ = f (t) ,观察这个气温变化 图,说说气温在哪些时间段内是逐渐上升或下降的?

y

y

y ? x ?1
?1
1
O

/>
y ? ?2x ? 2
x y
O

2
1
x

y

y ? ? x 2 ? 2x
O

1 y? x
O

1

2

x
x

同学们能用数学语言把上面函数图象上升或下降的特征 描述出来吗?

实例:分析二次函数的图象
y

y?x

2

O

x

实例:分析二次函数的图象
y

y?x

2

f (x1 )

x1

O

x

实例:分析二次函数的图象
y

y?x

2

f (x1 )

x1 O

x

实例:分析二次函数的图象
y

y?x

2

f (x1 )

x1 O

x

实例:分析二次函数的图象
y

y?x

2

f ( x1 )

x 1O

x

实例:分析二次函数的图象
y

y?x

2

f (x1 ) O x1

x

实例:分析二次函数的图象
y

y?x

2

f (x1 )

O

x1

x

实例:分析二次函数的图象
y

y?x

2

f (x1 )

O

x1

x

实例:分析二次函数的图象
y

y?x

2

f (x1 )

O

x1

x

实例:分析二次函数的图象
y

y?x

2

f (x1 )

O

x1

x

函数单调性的定义
如何用x与 f(x)来描述上升的图象?
y

如果对于定义域I内某个区间D

y ? f ( x)
f (x1 )
f (x 2 )
x2
x

上的任意两个自变量x1 , x2 , 当x1 ? x2时,都有f(x1) ? f(x2)
那么就说 函数f (x)在区间D上 是增加的或是递增的。

O

x1

如何用x与 f(x)来描述下降的图象?
y

y ? f (x)
f (x1 )

如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量x1 , x2 ,
那么就说 函数f (x)在区间D上 是减少的或是递减的。

O

f (x 2 ) x1 x 2

当x1 ? x2时,都有f(x1)>f(x2)
x

在区间D内
y=f(x)
y f(x2)

在区间D内
y=f(x)
y f(x1) f(x2) x2 x 0 x1

图象
f(x1) 0

·
x1

·

·

·
x2 x

图象 特征

从左至右,图象上升

从左至右,图象下降

数量 特征

y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 当x <x 时, f(x1) > 当x1<x2时, f(x1) < f(x2)或 f(x 1) 2 2 者f(x1) - f(x2)<0 或者f(x1) - f(x2) > 0 (自变量大,函数值也大) (自变量大,函数值反而小)

概念的应用:
例1.f(x)在R上是增函数,试比较下列函数值的大 小:f(1)与f(2);f(-1)与f(-2)。

练习:f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a+1)<f(2-a), 求a的范围。
定义中包含的三部分:① 任意取x1<x2∈D;② f(x1) < f(x2)(或者f(x1) > f(x2) );③ f(x)在D上是 增加的(或者是减少的)。

知道其中两个结论就可得出另一个结论:
如:①② ③; ③② ①; ①③ ②

(1)如果函数 y =f(x)在区间D是增加的或是减少的,那 么就称区间D为单调区间。
(2)函数单调性是针对某个区间而言的,是一个局部

性质;
(3) x 1, x 2 取值具有任意性 判断:定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1), 则函数 f (x)在R上是增函数; y
f(2) f(1) O

1

2

x

(4)函数在定义域内的两个区间A,B上都是 增(或减)函数,一般不能认为函数在 A∪B上是增加的(或减少的)。

(5)如果函数y =f(x)在定义域的某个子集上是
增加的或是减少的,那么就称函数y =f(x)在这个 子集上具有单调性。 如果函数 y =f(x)在整个定义域内是增加的或 是减少的,我们分别称这个函数为增函数或减函 数,统称为单调函数。

增区间 [-2,1]

[3,5]

减区间 [-5,-2) [1,3)

说出函数f(x)=1/x 的单调区间,并 指明在该区间的单调性?
y o x

解: (-∞,0)和 (0,+∞) 都是函数f(x)的单调区间,

在各个区间上都是递减 的

注意: 不能说成(-∞,0) (0,+∞) 是减函数

2 问题1:你能判断函数y ? x ? ( x ? 2 ) x 的单调性吗?
说明: 要了解函数在某一区间上是否具有 单调性,可以通过图象法直接从图上进行观察, 它是一种常用而又粗略的方法,但当函数的图 象很难画出来时这种方法是不行的。这个时候, 我们可以根据定义去证明函数的单调性。

利用定义判定(证明)函数的增减性
我们回顾定义 a、任取定义域内某区间上的两变 量x1,x2,设x1<x2; b、判断f(x1) – f(x2)的正、负情况; c、得出结论

问题2:如何从定义的角度证明函数 f(x)=3x+2在R上是增函数?
证明:设x1,x2是R上的任意两个实数,且x1<x2,则 取值
f(x1)-f(x2)=(3 x1 +2)-(3 x2+2)

作差 变形 定号

=3( x1- x2)
由x1<x2 ,得 x1- x2 <0

于是 f(x1)-f(x2)<0
即 f(x1)<f(x2)

所以,函数f(x)=3x+2在R上是增函数。

判断

归纳: 证明函数单调性的步骤
第一步:取值.即任取区间内的两个值,且x1<x2 第二步:作差变形.将f(x1)-f(x2)通过因式分解、 配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的 方向变形。 第三步:定号.确定差的符号,适当的时候需要进 行讨论。 第四步:下结论.根据定义作出结论。

取值

作差

变形

定号

下结论

课堂练习:

2 你能判断函数的单调性吗?y ? x ? ( x ? 2 ) x
2.函数f(x)在定义域为(a,b),对其内任意实数 x1,x2,均有 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ,则 f(x)在 (a,b) 是________(填“增函数”或“减函数 ”)

1.用上述方法解决下面问题。

若二次函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4 在区间 ? ??,1? 上 单调递增,求a的取值范围。
2
y y

o1

x

o 1

x

a 解:二次函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4的对称轴为 x ? ? , 2 a 由图象可知只要 x ? ? ? 1 ,即 a ? ?2即可. 2
2

(1)函数单调性的概念; (2)判断函数单调区间的常用方法 方法一:分析函数的图象。 方法二:通过定义去判断。

(3)单调性的理论证明

数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数无形时少直觉, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔离分家万事休; 切莫忘,几何代数统一体, 永远联系莫分离.

——华罗庚


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