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河北省保定市2016届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理(扫描版)

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河北省保定市 2016 届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理 (扫描 版)

1

2

3

4

理科数学答案 一、选择题:A 卷:CCADD 二、填空题:13、135 三、解答题: 17、 (Ⅰ)解:? 2 sin C ? 3 sin A sin B
2<

br />
ABAAC 14、 ?

BB; 15. 16 16、3n ? 9n ? 6 (n ? N ? )
2

?? ? ? , ? ?6 3?

3 ? sin 2 C ? sin A sin B 2 3 ---------------------------------------3 分 ? c 2 ? ab 2

? a ? b ? 3c

? a 2 ? b 2 ? 2ab ? 3c 2
a2 ? b2 ? c2 2ab

根据余弦定理得: cos C ?

2c 2 ? 2ab ab 1 ? ? ? cosC ? 2ab 2ab 2

? ?C ?
(Ⅱ)

?
3

----------------------7 分

? S ?ABC ? 3 ,? S ?ABC ?

? ?C ?
分 又c ?
2

?
3

1 ab sin C , 2

,? ab ? 4 , -----------------------------------------------------10

3 ab , 2

?c?

6

----------------------------------------12 分

18、解:(1)设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为 x、y、z

? x(1 ? y )(1 ? z ) ? 0.08 ? 由题意知 ? xy(1 ? z ) ? 0.12 ?1 ? (1 ? x)(1 ? y )(1 ? z ) ? 0.88 ? ? x ? 0 .4 ? 解之得 ? y ? 0.6 ? z ? 0 .5 ?
( 2 ) 依

---------------------4 分

---------------------6 分 题 意 知

? ? 0, 2 -------------------------------------------------------------7 分

? P(? ? 0) ? xyz ? (1 ? x)(1 ? y)(1 ? z) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? (1 ? 0.4)(1 ? 0.5)(1 ? 0.6) ? 0.24 --------------------9 分
5

所以 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? 0.76 【或:仅仅选甲的概率为 0.08,仅仅选乙概率为 0.18,仅仅选丙的概率为 0.12,合计 为 0.38 , 同 样 仅 仅 不 选 甲 、 仅 仅 不 选 乙 、 仅 仅 不 选 丙 的 概 率 和 也 为 0.38 , 故 -----------9 分】 P(? ? 2 ) ? 0 . 3 8 ? 0.3 ?8 0 .76 则 ? 的分布列为

?
P

0

2

0.24 0.76 ∴ ? 的数学期望为 E? ? 0 ? 0.24 ? 2 ? 0.76 ? 1.52 ---------------------12 分
19、解: (Ⅰ)取 CD 中点 E,连接 AE,PE

? 三棱锥 A-BCD 各棱长均为 2 3

? AE ? CD , PE ? CD , BE ? AE ? PE ? 3 ? ?AEP 为二面角 A-CD-P 的平面角. ---------------------2
又∵ cos ?AEB ?

分 A P

AE 2 ? BE 2 ? AB 2 1 ? 2 BE ? AE 3

, AP // 平面BCD

? AP ∥ BE ? ?PAE ? ?AEB -----------------------------------------4 分
∴ cos ?PAE ? cos ?AEB ?

1 3
2

B

∴ cos ?AEP ? cos(? ? 2?PAE ) ? ? cos 2?PAE ? 1 ? 2 cos ?PAE ? 所 以 二 面 角 A-CD-P 的 余 弦

7 9
值 为

O C

D E

7 9

--------------------------------------------------6 分 (Ⅱ) 过 A 作 AO ? 平面BCD ,连接 OP,由 AP // 平面BCD 得 AP∥BE, 因为 BO=BE-EO=3-3 cos ?AEB ? 2

AP ? AE 2 ? PE 2 ? 2 AE ? PE cos ?AEP ? 2
所以 AP=BO ?四边形 ABOP 为平行四边形,?AB∥OP ? ?OPE 为 直 线 AB 与 平 面 ---------------------------------------------9 分

PCD









? OP=AB= 2 3 ,PE=3,OE=1

?

cos ?OPE ?

OP 2 ? PE 2 ? OE 2 5 3 ? 2OP ? PE 9

----------------------------------------------10 分

? sin ?OPE ?

6 9

6

?

直 线 AB 与 平 面 PCD 所 成 的 角 的 正 弦 值 为

6 . 9

-------------

-------------------------12 分 空间向量法 解: (Ⅰ)如图过 A 作平面 BCD 的垂线,垂足为 O,过 O 作 CD 的平行线 MN 以 O 为原点,以直线 MN 为 x 轴,直线 OB 为 y 轴,直线 OA 为 z 轴,建立空间直角坐标系.

?







A-BCD









2 3





A 0,0,2 2 , C 3,1,0 , D ? 3,1, 0 , P 0, 2, 2 2 ---------------3 分
设平面 ACD 的法向量 m ? ?x1 , y1 , z1 ?

?

? ?

? ?

? ?

?

AC ?

? 3,1,?2 2 ?, AD ? ?? ? ? ?

3,1,?2 2

?
z A P

? AC ? m ? 0 ?? ? ? ? AD ? m ? 0

? 3x1 ? y1 ? 2 2 z1 ? 0 ?? ? ? ?? 3x1 ? y1 ? 2 2 z1 ? 0

令 z1 ? 2 ,则 m ? 0,4, 2

--------- -------------------------5 分

设平面 PCD 的法向量 n ? ?x2 , y 2 , z 2 ?

PC ? 3,?1,?2 2 , PD ? ? 3,?1,?2 2 ??? ? ? ? 3x 2 ? y 2 ? 2 2 z 2 ? 0 ? ? PC ? n ? 0 ? ????? ? ?? ? ? ? ? PD ? n ? 0 ?? 3 x 2 ? y 2 ? 2 2 z 2 ? 0
令 z 2 ? 2 ,则 n ? 0,?4, 2

?

?

?

B

O x C

D E

y

?

?

------------------ --------------7 分

cos m, n ?

m?n m?n

??

7 9
7 . ----------------------------------------8 分 9

由图可知二面角 A-CD-P 为锐二面角 所以 二面角 A-CD-P 的余弦值为

(Ⅱ) B?0,?2,0? , AB ? 0,?2,?2 2

?

?

又因为平面 PCD 的法向量 n ? 0,?4, 2 令直线 AB 与平面 PCD 所成的角为 ?

?

?

? sin ? ? cos AB ? n

?

6 9

7

?直线

AB 与 平 面 PCD 所 成 的 角 的 正 弦 值 为

6 . 9

-------------------------

-------------------------12 分 20、解: (Ⅰ) 由题意可知: b ? 1 ,

c 6 ? a 3
程 为 :







x2 ? y2 ?1 3

--------------------------4 分 (Ⅱ)法 1 : (1) 当 P 点横坐标为 ?

3 时, PM 斜率不存在, PN 斜率为 0 ,

PM ? PN ----------5 分
(2) 当 P 点横坐标不为 ?
2 2 3 时,设 P ( x0 , y0 ) , 则 x0 ? y0 ? 4 ,设 kPM ? k

? y ? y 0 ? k ( x ? x0 ) ? PM 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,联立方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?3
2 2 消去 y 得: (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k ( y0 ? kx0 ) x ? 3k 2 x0 ? 6kx0 y0 ? 3 y0 ?3 ? 0

------6

分 依题意: ? ? 0 即
2 2 ? ? 36k 2 ( y0 ? kx0 ) 2 ? 4 1 ? 3k 2 3k 2 x0 ? 6kx0 y0 ? 3 y0 ?3 ? 0

?

??

?

-------------------8 分
2 2 化简得: (3 ? x0 )k 2 ? 2x0 y0 k ? 1 ? y0 ?0
2 2 2 1 ? y0 1 ? (4 ? x0 ) x0 ?3 ? ? ? ?1 2 2 2 3 ? x0 3 ? x0 3 ? x0

又 kPM , kPN 为方程的两根

? kPM ? kPN ?

? PM ? PN
法 2: (1) 当 P 点横坐标为 ? 分

-------------------------12 分 PM 斜率不存在, PN 斜率为 0,PM ? PN ----------5 3 时,

(2) 当 P 点 横 坐 标 不 为 ?

3 时 , 设 P (2 cos? ,2 sin ? ) ,

切线方程为

y ? 2 sin ? ? k ( x ? 2 cos? )

? y ? 2 sin ? ? k ( x ? 2 cos? ) ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?3

8

联 立 得 : (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12k (sin? ? k cos? ) x ? 12( s ? i? nk c o? ) s2 ? 3 ? 0 ------6 分 令? ? 0 即

? ? 144k 2 (sin? ? k cos? ) 2 ? 4 1 ? 3k 2 12(sin? ? k cos? ) 2 ? 3 ? 0

?

??

?

-------------------8 分 化简得: (3 ? 4cos2 ? )k 2 ? 4sin 2? ? k ? 1 ? 4sin 2 ? ? 0

k PM ? k PN

1 ? 4sin 2 ? (4 ? 4sin 2 ? ) ? 3 ? ? ? ?1 3 ? 4 cos 2 ? 3 ? 4 cos 2 ?
-------------------------12 分

? PM ? PN
21、解: (1) f ' ( x) ? x ? 2 ? 设 g ( x) ? x 2 ? 2 x ? a 2

a 2 x 2 ? 2x ? a 2 ? x x

? y ? f ( x) 在 ① a ? 1 时,? ? 4 ? 4a ? 0 , f '( x) ? 0 , y ? f ( x) 在定义域内单调递增,
2

?1 ? x ? ? ,1? ?2 ?











----------------------------2 分 ② 0 ? a ? 1 时,令 f ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 ? 1 ? a 2 , x 2 ? 1 ? 1 ? a 2

0 ? x ? x1 , f ' ( x) ? 0 ,

x1 ? x ? x2 ,

f ' ( x) ? 0

-----------------------4 分

x1 为极大值点,当 1 ? 1 ? a 2 ?
解之得:

1 时,函数 y ? f ( x) 有最大值. 2

3 ? a ?1 2
-----------------------------5

?

3 ? a ? 1 时函数 y ? f ( x) 有最大值 . 2


( Ⅱ ) 证 明 : ① 因 为 n ? N 且n ? 2. a ?
*

6 ,? f '(x ) ? x? 2 ?

a2 x 2 ? 2 x? a2 ? ? 0 x x

------7 分

? f ( x) ? 1 x 2 ? 2 x ? a 2 ln x 在 ?0,??? 单调递增.
2

9

? f (1) ? ?

3 ? 0 , a ? 6,? f (2) ? ?2 ? a2 ln 2 ? 0 2 7 f (1) ? f (2) ? a 2 ln 2 ? ? 0 所以 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? ? ? f (n) ? 0(n ? 2) 2
n

? ? f ( xi ) ? 0;
i ?1

-----------------------------9 分

② f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? ? ? f (n)

1 2 (1 ? 22 ? 32 ? ? ? ? ? n 2 ) ? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n) ? a 2 (ln1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ? ? ln n) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) ? n(n ? 1) ? a 2 ln n ! = 12 n(n ? 1)(2n ? 11) ? a 2 ln n ! ? 0 = 12 ? n(n ? 1)(2n ? 11) ? ?a 2 ln n ! ? a 2 ln 1 12 n! n(n ? 1)(2n ? 11) 1 ? ? a 2 ln (n ? 2) 12 n!
= -------------------------12 分 22 、 证 明 ( Ⅰ )

? AC ? BD,? ?ABC ? ?BCD
C? ? EA B C , ? ?ACE ? ?BCD

-----------------------2 分 又 ? EC 为 圆 的 切 线 , ? ?A --------------------------5 分 (Ⅱ)? EC 为圆的切线,? ?CDB ? ?BCE , 由 ( Ⅰ ) 可 -------------------------7 分



?ABC ? ?BCD
,

? ?BEC



?CBD

?

CD BC ? BC BE
(1)

BC ? 3

------------------------10 分 23 解: (Ⅰ)求直线 l 的普通方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 -----------------------1 分 将 x ? ? cos? , y ? ? sin ? 代入(1)得 ? cos? ? 3? sin ? ? 2 ? 0 化简得直线 l 的方程为 ? cos(? ? ---------------------3 分 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 ----------------------5 分

?
3

) ?1

10

?? ? 2 2? ? (Ⅱ) ? 解之得:A(2,0) , B(2, ) ?? ? 3 ? cos ? ? ? 1 ? ? ? 3? ? ?
----------------------6 分

? ?AOB ?

2? 1 1 2? 4? 2 ?4? ,? S 扇形AOB ? ? ? ? r ? ? 3 2 2 3 3

----------------------8 分

1 OA ? OB ? sin ? ? 3 2 4? ? S ? S扇形AOB ? S ?AOB ? ? 3 3 S ?AOB ?
----------------------10 分 24.解: (Ⅰ) (1)当 x ?

1 时,原不等式可化为 1 ? 2 x ? 1 ? x ? 3x ? 4 2 1 解之得: x ? ? 3 1 1 ?? ? x ? 3 2

---------------------1 分 (2)当

1 ? x ? 1 时,原不等式可化为 2 x ? 1 ? 1 ? x ? 3x ? 4 2 解之得: x ? ?2

?
---------------------2 分 (3)当 x ? 1 时,原不等式可化为 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 3x ? 4 不等式恒成立

1 ? x ?1 2

?
---------------------3 分 综上: 不等式的解集为 ? x x ? ? ?

x ?1

? ?

1? 3?

---------------------5

分 (Ⅱ)解:当 x ? 0 时, 2 ? 0 恒成立, m ? R 分 当 x ? 0 时,原不等式可化为

---------------------6

2x ? 1 ? 1 ? x x ?

? m 2 ? 3m ? 3

?
---------------------8 分

2x ? 1 ? 1 ? x x

2x ? 1 ? 1 ? x x

?1

? m 2 ? 3m ? 3 ? 1
11

1? m ? 2 解之得:


---------------------10

12


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