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高中数学《三角函数、平面向量、解三角形》练习题1 必修4

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湖南省桃江四中高二数学《三角函数、平面向量、解三角形》练习题 1
时间:120 分钟 满分:150 分 姓名 班级 学号 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.化简 cos15 ? cos 45 ? ? cos 75 ?sin 45 ? 的值为( ) A. ?

1 2

B.

3 2
<

br />C.

1 2

D. ?

3 2

2.设向量 a , b 满足: | a |? 1 , | b |? 2 , a ? (a ? b) ? 0 , 则 a 与 b 的夹角是( A. 30? B. 60? C. 90? D. 120?



3.已知角 ? 的终边经过点 P(?8m,?6 cos600 ) ,且 cos ? ? ?

4 ,则 m 的值为( 5



A

1 2

B
2

?

1 2

C

?

3 2

D

3 2


4.设函数 f ( x) ? cos ( x ?

?

? ? 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数 2 2 ? ? ? ? ? ? 5.已知平面向量 a ? (1,2) , b ? (?2, m) ,且 a // b ,则 2a ? 3b =( )
C.最小正周期为 A. (?5, ?10) 6.已知 cos ? ? ? A. ? B. (?4, ?8) C. (?3, ?6) ) D. (?2, ?4)

A.最小正周期为 ? 的奇函数

) ? sin 2 ( x ? ), x ? R ,则函数 f ( x) 是( 4 4

?

B.最小正周期为 ? 的偶函数

1 7

4 ? ? ,且 ? ? ( , ? ) ,则 tan( ? ? ) 等于( 5 2 4 1 B. ?7 C. D. 7 7

x 2 的最小正周期为( 7.函数 y ? x tan 2 ?1 2 tan
A. ? B. 2?



C. 4?

D.

? 2
???? ???? ?

8. 在 ?ABC 中 , M 是 BC 的 中 点 , AM ? 1 , 点 P 在 AM 上 且 满 足 AP ? 2 PM , 则

??? ??? ??? ? ? ? PA ? (PB ? PC) 等于

(A) ?

4 9

(B) ?

4 3

(C)

4 3

(D)

4 ( 9

) )

9.要得到函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象沿 x 轴( A.向右平移

? 个单位 4

B.向左平移

? 个单位 4

用心 爱心 专心

-1-

C.向右平移

? 个单位 2

D.向左平移

? 个单位 2


10.已知 ? 为锐角,且 cos(? ?

?
6

)?

4 , 则 cos? 的值为. ( 5
C.

A.

4?3 3 10

B.

4?3 3 10

4 3 ?3 10

D.

4 3 ?3 10

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线, AB ? (2,4), AC ? (1,3), 则BD ? ( ?3, ?5) 12.设 a ? (2, 4), b ? (1,1) ,若 b ? (a ? m ? b) ,则实数 m =

??? ?

??? ?

??? ?

?

?

?

?

?

?3

??? ? 13.已知点 A( 3, ?1), B(cos? ,sin? ) ,其中 ? ? ?0, ? ? ,则 AB 的最大值为________.3

14.若函数 f ( x) ? 3sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 为奇函数,则 ? ? ________ 15.在斜三角形 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若

? 6

tan C tan C ? ? 1, tan A tan B



a2 ? b2 ? c2

.3

三、解答题(共 75 分) 16.化简: 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? (

5? 3? ?? ? ) 4 2

x x ? x x? 17. 已知函数 f ( x ) ? 2 3 sin cos ? ? cos 2 ? sin 2 ? . 2 2 ? 2 2?

(1)求函数 f (x) 的最大值并求出此时 x 的值; (2)若 f ( x) ? 0 ,求
sin x ? cos( ? ? x ) 的值. ? sin x ? sin( ? x ) 2

解: (1) f ( x) ? 2 3 sin

x x x x π cos ? (cos 2 ? sin 2 ) ? 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ? ) 2 2 2 2 6
…………2 分

当x?

π π 2π ? 2kπ+ , k ? Z ,即 x ? 2kπ+ , k ? Z 时, f ( x) 取得最大值为 2 . 6 2 3
…………6 分

(2)令 f ( x) ? 0 时,得 tan x ?

3 . 3
用心 爱心 专心

…………8 分

-2-

sin x ? cos(? ? x) sin x ? sin( ? x) 2

?

?

sin x ? cos x tan x ? 1 ? ? 3 ? 2. sin x ? cos x tan x ? 1

…………12 分

18. 如图2,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12海里, 渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行, 若渔船 甲同时从 B 处出发沿北偏东 ? 的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin ? 的值.
? 解: (1)依题意, ?BAC ? 120 , AB ? 12 , AC ? 10 ? 2 ? 20 ,

?

?BCA ? ? .………………………2分 在△ ABC 中,由余弦定理,得

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos ?BAC ……………………4分 ? 122 ? 202 ? 2 ?12 ? 20 ? cos120? ? 784 .
解得 BC ? 28 . ………………………………………………………6分

BC ? 14 海里/小时. 2 答:渔船甲的速度为 14 海里/小时.…………………………………7分
所以渔船甲的速度为
? (2)方法1:在△ ABC 中,因为 AB ? 12 , ?BAC ? 120 , BC ? 28 ,

?BCA ? ? ,
由正弦定理,得

AB BC ? .………………………………………………………9分 sin ? sin120?
?

即 sin ? ?

AB sin120 ? BC

12 ?

3 2 ?3 3. 28 14

答: sin ? 的值为

3 3 .……………………………………………………………………… 14

12 分 方法2:在△ ABC 中,因为 AB ? 12 , AC ? 20 , BC ? 28 , ?BCA ? ? , 由 余 弦 定 理 ,



c ??

A

2

2 2 ? ?C B C A B o s .…………………………………………………………9分 2A ? C B C

即 cos ? ?

202 ? 282 ? 122 13 ? . 2 ? 20 ? 28 14

用心 爱心 专心

-3-

3 3 ? 13 ? 因为 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? . 14 ? 14 ?
2

2

答:sin ? 的值为 12 分

3 3 . ………………………………………………………………………… 14

? ? ? ? ? 1 19.已知向量 a ? (sin x, ?1), b ? ( 3 cos x, ? ) ,函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 . 2
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边, 其中 A 为锐角, a ? 2 3, c ? 4 , 且 f ( A) ? 1,求 A, b 和 ?ABC 的面积 S 解: (Ⅰ) f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 ? a ? a ? b ? 2

? ? ?

?2

? ?

? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ?

1 ? 2 …………………………………………2 分 2

?

? 1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) …………………4 分 6 2 2 2 2 2
2? ? ? …………………………………………6 分 2

因为 ? ? 2 ,所以 T ?

(Ⅱ) f ( A) ? sin(2 A ? 因为 A ? (0,

?

?
2

), 2 A ?

?
6

6

) ?1

? (?

? 5?
6 , 6

) ,所以 2 A ?
2

?
6

?

?
2

,A?

?
3

……………8 分

2 2 2 则 a ? b ? c ? 2bc cos A ,所以 12 ? b ? 16 ? 2 ? 4b ?

1 2 ,即 b ? 4b ? 4 ? 0 2

则 b ? 2 …………………………………………10 分 从而 S ?

1 1 bc sin A ? ? 2 ? 4 ? sin 60? ? 2 3 ………………………12 分 2 2

20.已知函数 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x ? 3 (1)当 x ? (0,

) 时,求函数 f (x) 的值域; 2 28 ? 5? ? ) ,求 sin(4 x ? ) 的值. (2)若 f ( x ) ? ,且 x ? ( , 5 6 12 3

?

2 解: (1)由已知 f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2 cos x ? 3 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 4 ? 2 sin( 2 x ? ) ? 4. …2 分

当 x ? (0,

?
2

) 时, 2 x ?

?

? 7? ? 1 ? ( , ),sin(2 x ? ) ? ( ? ,1] 6 6 6 6 2
用心 爱心 专心

? 6

……………………4 分

-4-

故函数 f (x) 的值域是(3,6] ………………………………………………………6 分 (2)由 f ( x ) ?

28 ? 28 ? 4 ,得 2 sin( 2 x ? ) ? 4 ? ,即 sin( 2 x ? ) ? ………………8 分 5 6 5 6 5 ? 5? ? 3 因为 x ? ( , ) ,所以 cos( 2 x ? ) ? ? ………………………………………10 分 6 12 6 5 ? ? ? 24 故 sin(4 x ? ) ? 2sin(2 x ? ) cos(2 x ? ) ? ? ……………………………………12 3 6 6 25

分 21. 在 ? ABC 中, (Ⅰ)求角 B ;

sin A ? sin B 2 sin A ? sin C ? . sin( A ? B ) sin A ? sin B

?
4
2 3 ,求 cos C 的值. ? 10 5

(Ⅱ)若 sin A ?

用心 爱心 专心

-5-


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