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广东省梅县东山中学2014届高三上学期期中考试数学文试题


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东山中学 2013-2014 学年度 第一学期高三文科数学中段试题
一、选择题(5×10=50 分)
1.已知集合 M ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? {x | ?2 ? x ? 4} ,则 M ? N ? ( ) A. {x | ?1 ? x

? 3} B. {x | ?1 ? x ? 4} C. {?3,1} D. {?1,3} 2.若复数 z ? ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为( A. ?1 B.0 C.1 ) D. ) D. (0,1) ?(1, ??) ) D. ?1 或 1

3.已知点 A(1, 3), B(?1,3 3) ,则直线 AB 的倾斜角是( A.

? 3
1 2x ?1

B.

? 6

C.

2? 3

5? 6

4. 函数 f ( x) ? A. (0, ??)

? ln( x ?1) 的定义域是(
B. (1, ??)

C. (0,1)

5.设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n // ? , 则m // n ③若 ? ? ? ? n, m / / n, 则m / /? , 且m / / ? 其中正确的命题是( ) A.① B.② ② m ? ? , n ? ? , m ? n, 则? ? ? ④若 m ? ? , m ? ? , 则? // ?

C.③④

D.②④ )

6.数列 ? an ? 是等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? ?24 , a19 ? 26 , 则数列 ? an ? 前 20 项和等于( A. 160 B. 180 C. 200 D. 220

7.在△ABC 中, A, B, C 所对的边长分别是 a, b, c ,且 A ? A.1 B.2 C. 3-1

?
3

, a ? 3, b ? 1, 则 c=(



D. 3 )

? ? ? ? ? ? 8. 平面向量 a 与 b 的夹角为 600 , a ? 2 , b ? 1 ,则 a ? b ? (
A. 3 B. 7 C. 3 D. 7

?2 x ? y ? 0 ? 9.已知变量 x, y满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则z ? 2 x ? y 的最大值为( ?x ? 0 ?
A.0 B.



3 2

C.4

D.5 中
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10.如图 1,正四棱锥 (底面是正方形,顶点在底面的射影是底面的
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心) P ? ABCD 的底面边长为 6cm,侧棱长为 5cm,则它的正视图的面积等于( A. 3 7 B. 6 7 C.12 D.24



二、填空题(5×4=20 分)
(一)必做题(11~13 题) 11.已知f ( x) ? ?

x?0 ?sin ? x, 5 , 则f ( ) ? _______ 。 6 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0

12.设等比数列 ? an ? 的公比为 q=2,前 n 项和为 S n ,则

S4 = a2
1 2



13.已知关于 x 的不等式 ? ax ? 1?? x ? 1? <0 的解集是 (??, ?1) ? (? , ??) ,则 a ?



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两道题都做的,只计 14 题的分) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 以 坐 标 原 点 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 则 直 线

? x ? ?2 ? t 2 (t为参数) 截圆 ? ? 2 ? cos ? ? 3 ? 0 所得的弦长等于 ? ? y ? 1? t
15. (几何证明选讲选做题)



如图 2, ?ABC 中,D、E 分别在边 AB、AC 上,CD 平分∠ACB,DE∥BC,如果 AC=10,AE=4,那 么 BC= 。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.)
16. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? 2sin ? ? x ? (1)求 f ?

? ?

??

? ( ? ? 0 , x ? R ),且以 ? 为最小正周期。 3?

?? ? ? 的值; ?2? ?? ? ? ? ? 10 ? ? ? ? (2)已知 f ? ? ? ? , ? ? ? ? , 0 ? ,求 sin ? ? ? ? 的值。 4? ? 2 12 ? 13 ? 2 ? ?

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17. (本小题满分 13 分) 设向量 OA ? 3, ? 3 , OB ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? (1)若 AB ? 13 ,求 tan ? 的值; (2)在(1)条件下求△ AOB 的面积。

??? ?

?

?

??? ?

?
2



??? ?

18. (本小题满分 13 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx(a, b为常数,且a ? 0) ,满足条件 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且方 程 f ( x) ? x 有两个相等实根。 (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 f ( x) 在区间 [m, m ? 1] 上是单调函数,求 m 的取值范围。

19. (本小题满分 14 分) 如图所示,四棱锥P ? ABCD中,底面ABCD为正方形,PD ? 平面ABCD, PD ? AB ? 2, P E, F , G, H 分别是PC、PD、BC、AD的中点 。 (1)求证: PA // 平面EFG ; (2)求证:平面 PDA ? 平面 EFG; (3)求三棱锥 P—EFG 的体积。 20. (本小题满分 14 分) F

P

E

E

C

G

B

B A 设 S n 为数列 an ? 的前 n 项和,对任意的 n ? N ,都有 S n ? ? m ? 1? ? man (m 为常数,且

?

F D

*

C

H

G

m ? 0) 。
(1)求证:数列 an ? 是等比数列;

D

A

?

d

* (2) 设数列 an ? 的公比 q ? f ?m? , 数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ? f ? bn ?1 ? (n ? 2 ,n ?N ) ,

?

求数列 ?bn ? 的通项公式;

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(3)在满足(2)的条件下,求数列 ?

? 2n ?1 ? ? 的前 n 项和 Tn 。 bn ? ?

21. (本小题满分 14 分) 已知 a ?R ,函数 f ? x ? ? x
2

? x ? a? 。
2? 3?

(1)若函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 内是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上的最小值 h ? a ? ; (3)对(2)中的 h ? a ? ,若关于 a 的方程 h ? a ? ? m ? a ? 数 m 的取值范围。

? ?

? ?

1? ? 有两个不相等的实数解,求实 2?

东山中学 2013-2014 学年度 第一学期高三文科数学中段试题答卷
班级 姓名 座号 成绩

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1 2 3 4 5 6 7

8

9 0

1

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
(一)必做题 11 (二)选做题 12 13

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14

15

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 16(12 分)

17(13 分)

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18(13 分)

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19(14 分)

P E

F

P

E

C

G

B

F D D d

C

H

G

A

B

A

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班级

姓名

座号

20(14 分)

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21(14 分)

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东山中学 2013-2014 学年度第一学期高三文科数学中段试题答案
一.选择题: 1 D 2 A
1 2

3 C

4 B 15 12. 2
2? ?? ,

5 D

6 B
13.-2

7 B
14.4

8 B

9 0 C
15.15

1 A

二.填空题: 11. 三、解答题

16. (12 分)解: (1)∵ T ?
∴f?

?? ? ?? ? ? ? ? …………5 分 ? ? 2sin ? 2 ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 3 2 3? 3? 3 ?2? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 10 ?? ? ? ? (2)∵ f ? ? ? ? 2sin ? 2 ? ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ? 2? 13 ? 2 12 ? ? ? ? 2 12 ? 3 ?
∴ cos ? ? ∴ sin(? ?

? ??

∴? ? 2 ,

∴ f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
3

) ………3 分

5 , 13

∵ ? ? (?

?
2

, 0)

∴ sin ? ? ? 1 ? ?

12 ?5? …………9 分 ? ?? 13 ? 13 ?

2

12 2 5 2 17 2 ……12 分 ? ? ? ?? 4 4 4 13 2 13 2 26 ??? ??? ??? ? ? ? 17. (13 分)解: (1)依题意得, AB ? OB ? OA ? cos ? ? 3,sin ? ? 3 ,…………2 分

?

) ? sin ? cos

?

? cos ? sin

?

??

?

?

??? 2 ? 2 ? AB ? ? cos ? ? 3? ? sin ? ? 3

?

?

2

? 13 ? 6cos ? ? 2 3 sin ? ? 13 ,…………4 分 ? tan ? ? 3 . ……………………6 分

? 3 sin ? ? 3cos ? .
(2)由 0 ? ? ?

?c o ? ? , s 0


?

? S?AOB

2 3 6 2 3 ??? ??? ? ? 1 1 ? ? OA OB sin ?AOB ? ? 2 3 ?1? sin ? 3 , …………………11 分 2 2 2

,得 ? ?

?

??AOB ?

?

?

?

?

?

……………………8 分

?△ AOB 的面积为 3 .
18. (13 分)解: (1)∵f(1+x)=f(1?x),
∴f(x)的图象关于直线 x=1 对称。∴f(x)的对称轴 x ? ? 又 f(x)=x,即 ax2+(b?1)x=0 有等根

…………………12 分

b =1. 2a
2

① -----------3 分

∴ ? ? (b ? 1) ? 0

②-----------6 分

1 由①,②解得: a ? ? , b ? 1 2
(2)∵ f ( x) ? ?

∴ f ( x) ? ?

1 2 x ?x 2

-----------8 分

1 2 1 1 x ? x ? ? ( x ? 1)2 ? , 且 f ( x) 在区间 [m, m ? 1] 上是单调函数 2 2 2

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∴ m ? 1 ? 1或m ? 1

即 m ? 0或m ? 1

∴ m的取值范围为? -?,0? ? ?1, ?? ? -----13 分 P

19. (14 分) (1)证明:连接 GH,FH ?E,F 分别为 PC,PD 的中点, ? EF / /CD . ?G,H 分别为 BC,AD 的中点, ?G H / / C D
? EF / /GH ,?E,F,H,G 四点共面。

F

P

E

E

C

G

B

F D

C

H

G

A

B

?F,H 分别为 DP,DA 的中点, ? PA / / FH D ? PA ? 平面 EFG, FH ? 平面 EFG, ? PA / / 平面 EFG …………4 分
(2)证明:? PD ? 平面 ABCD , DC ? 平面 ABCD

A

? P D? D C ,

d

又 AD ? DC,且 AD ? PD ? D ? DC ? 平面 PDA ? EF // CD ? EF ? 平面 PDA ?E,F 分别为 PC,PD 的中点 又 EF ? 平面 EFG, …………8 分 ?平面 PDA ? 平面 EFG。 (3)解:? PD ? 平面 ABCD, GC ? 平面 ABCD,

?G C? P . D

?ABCD 为正方形,?GC ? CD.
? PF ?

平面 ? P D? C D ,D G C ? ? ? PCD,

1 1 1 1 PD ? 1, EF ? CD ? 1 , ? S?PEF ? EF ? PF ? 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? GC ? BC ? 1 ?VP ? EFG ? VG ? PEF ? S?PEF ? GC ? ? ?1 ? 2 3 3 2 6 1 ? 三棱锥P-EFG的体积为 6

……14 分

20. (14 分) (1)证明:当 n ? 1时, a1 ? S1 ? ? m ? 1? ? ma1 ,解得 a1 ? 1 .…………1 分
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? man ?1 ? man .即 ?1 ? m ? an ? man ?1 ∵ m 为常数,且 m ? 0 , ∴数列 an ? 是首项为 1,公比为 ∴ ………2 分

an m ? ? n ? 2? . an ?1 1 ? m

……………3 分

?

m 的等比数列. 1? m m , b1 ? 2a1 ? 2 . 1? m

……………4 分

(2)解:由(1)得, q ? f ?m? ? ∵ bn ? f ? bn ?1 ? ?

………………5 分

bn ?1 1 1 1 1 ? ? 1 ,即 ? ? 1 ? n ? 2 ? .………………7 分 , ∴ 1 ? bn ?1 bn bn ?1 bn bn ?1

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∴?

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列. 2 ? bn ?

……………8 分



1 1 2n ? 1 2 ,即 bn ? ( n ?N* ) . ? ? ? n ? 1? ?1 ? bn 2 2 2n ? 1
2n ?1 2 ? 2n ? 2n ? 1? . ,则 bn 2n ? 1

……………9 分

(3)解:由(2)知 bn ?

……………10 分

2 2 23 2 4 2n 2n ?1 ? ? ??? ? 所以 Tn ? , b1 b2 b3 bn ?1 bn
即 Tn ? 1? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? ? 2n ? 3? ? 2
1 2 3 n ?1

? ? 2n ? 1? ? 2n ,



则 2Tn ?

1 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? ? 2n ? 5 ? ? 2n -1 ? ? 2n ? 3? ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2n ?1 ② ………12 分
3 4 n ?1

②-①得 -Tn ? 2+2 +2 + ? +2

? ? 2n ? 1? ? 2 n ?1 =2+

23 (1 ? 2n ?1 ) ? ? 2n ? 1? ? 2 n ?1 , 1? 2
…………13 分 …………14 分

? 2 ? 2n ? 2 ? 23 ? ? 2n ? 1? ? 2n ?1 ? (3 ? 2n) ? 2n ?1 ? 6 ?Tn ? ? 2n ? 3? 2n ?1 ? 6 .

3 2 2 21. (14 分) (1)解:∵ f ? x ? ? x ? ax ,∴ f ' ? x ? ? 3 x ? 2ax . …………………1 分

∵函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 内是减函数, ∴ f ' ? x ? ? 3x ? 2ax ? 0 , 即 a ?
2

? ?

2? 3?

3x ? 2 ? 在 ? 0, ? 上恒成立,………3 分 2 ? 3?
…………………4 分

?

3x 3 2 ? ? ? 1, 2 2 3

∴ a ? 1 .即实数 a 的取值范围为 ?1, ?? ? .

(2)解:∵ f ' ? x ? ? 3x ? x ? ①若

? ?

2 ? 2 a ? ,令 f ' ? x ? ? 0 得 x ? 0或 a .………………………5 分 3 ? 3

2 a ? 0 ,即 a ? 0 ,则当 1 ? x ? 2 时, f ' ? x ? ? 0 ,∴ f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数, 3

∴ h ? a ? ? f ?1? ? 1 ? a .………………………………………6 分 ②若 0 ?

2 3 则当 1 ? x ? 2 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数, ∴ a ? 1 ,即 0 ? a ? , 3 2

∴ h ? a ? ? f ?1? ? 1 ? a .…………………………7 分
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③ 若 1?

2 3 2 2 a ? 2 , 即 ? a ? 3 , 则 当 1 ? x ? a 时 , f '? x? ? 0 ; 当 a ? x ? 2 时 , 3 2 3 3
∴ f ? x ? 在区间 ?1,

f '? x? ? 0 .
∴ h ?a? ? f ? ④若

? 2 ? ?2 ? a ? 上是减函数,在区间 ? a, 2 ? 上是增函数. ? 3 ? ?3 ?

4 ?2 ? a ? ? ? a 3 .………………………8 分 27 ?3 ?

2 a ? 2 ,即 a ? 3 ,则当 1 ? x ? 2 时, f ' ? x ? ? 0 ,∴ f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上是减函数. 3

∴ h ? a ? ? f ? 2 ? ? 8 ? 4a .………………………9 分 综 上 , 函 数

y

f ? x ? 在 区 间 ?1 , ? 2的 最 小 值

? ? 1 ? a, ? ? 4 h ? a ? ? ?? a 3 , ? 27 ? 8 ? 4a, ? ?

3 a? , 2 3 ? a ? 3, …………10 分 2 a ? 3.
? ?

? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ?
O

O

a

k ? ?1
1? ? 有两个不相等的实数解, 2? ? ?

(3)解:由题意 h ? a ? ? m ? a ?

k ? ?4

即(2)中函数 h ? a ? 的图像与直线 y ? m ? a ?

1? ? 有两个不同的交点.………11 分 2?

而直线 y ? m ? a ?

? ?

1? ? 1 ? ? 恒过定点 ? ? , 0 ? ,由右图知实数 m 的取值范围是 ? ?4, ?1? .…14 分 2? ? 2 ?

? 1 ?? ?
O

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