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2017优化方案高考总复习·数学理(新课标)选修4-1第1讲知能训练轻松闯关


1.如图,AB∥EM∥DC,AE=ED,EF∥BC,EF=12 cm,求 BC 的长. ? AB∥EM∥DC? ??E 为 AD 的中点,M 为 BC 的中点. ? AE=ED ? 又 EF∥BC?EF=MC=12 cm, 所以 BC=2MC=24 cm. 2. 解: 在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 AB 上,且 AE∶EB=1∶2,DE 与 AC 交于点 F,若

△AEF 的面积为 6 cm2,求△ABC 的面积. 解:在平行四边形 ABCD 中,AB CD. 因为 AE∶EB=1∶2,所以 AE∶DC=1∶3, 所以△AEF 与△CDF 对应边 AE 与 DC 上的高的比为 1∶3, 所以△AEF 与△ABC,AE 与 AB 边上的高的比为 1∶4. 因为 AE∶AB=1∶3, 所以 S△AEF∶S△ABC=1∶12, 所以 S△ABC=6×12=72(cm2). 3. 如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BC 延长线上一点,过 A 作 AH∥BE.连接 ED 并延长,交 AB 于 F,交 AH 于 H.若 AB=4AF,EH=8,求 DF 的长. 解:因为 AH∥BE, HF AF 所以 = . HE AB 因为 AB=4AF, HF 1 所以 = . HE 4 因为 HE=8, 所以 HF=2. HD AD 因为 AH∥BE,所以 = . DE DC HD 因为 D 是 AC 的中点,所以 =1. DE 因为 HE=HD+DE=8,所以 HD=4. 所以 DF=HD-HF=4-2=2. 4.如图所示,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,F 为 AB 上任意一点,CF 交 AD 于 点 E.求证:AE· BF=2DE· AF. 证明:取 AC 的中点 M,连接 DM 交 CF 于点 N. 在△BCF 中,D 是 BC 的中点,DN∥BF, 1 所以 DN= BF. 2 因为 DN∥AF, 所以△AFE∽△DNE, AE DE 所以 = . AF DN 1 AE 2DE 又因为 DN= BF,所以 = , 2 AF BF 即 AE· BF=2DE· AF. 5. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,P 为 AD 上一点,CF∥AB,BP 的延长线交 AC、CF 于 E、F 两点,求证:PB2=PE· PF. 证明:如图,连接 PC. 易证 PC=PB,∠ABP=∠ACP. 因为 CF∥AB, 所以∠F=∠ABP. 从而∠F=∠ACP. 又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角, CP PE 从而△CPE∽△FPC,所以 = . FP PC 所以 PC2=PE· PF.又 PC=PB, 所以 PB2=PE· PF. 6.已知在△ABC 中, D 是 BC 边的中点,且 AD=AC,DE⊥BC, DE 与 AB 相交于点 E, EC 与 AD 相交于点 F. (1)求证:△ABC∽△FCD; (2)若 S△FCD=5,BC=10,求 DE 的长. 解:(1)证明:因为 DE⊥BC,D 是 BC 的中点, 所以 EB=EC,所以∠B=∠1. 又因为 AD=AC,所以∠2=∠ACB. 所以△ABC∽△FCD. S△ABC S△FCD 2 BC 1 1 ? =? ?CD? =4.又因为 S△FCD=5,所以 S△ABC=20.因为 S△ABC=2BC·AM,BC=10,所以 20=2 ×10×AM,所以 AM=4. DE BD 1 5 1 因为 DE∥AM,所以 = .因为 D

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