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二次函数根的分布总结练习

时间:2012-05-08


二次函数根的分布
一、简单的三种类型
利用Δ 利用Δ与韦达定理研究 ax + bx + c = 0( a ≠ 0) 的根的分布
2

? ?? = b 2 ? 4ac ≥ 0 ? b ? (1)方程有两个正根 ? ? x1 + x 2 = ? > 0 a ? c ? ? x1 x 2 = a > 0 ? ? ?? =

b 2 ? 4ac ≥ 0 ? b ? (2)方程有两个负根 ? ? x1 + x 2 = ? < 0 a ? c ? ? x1 x 2 = a > 0 ?
(3)方程有一正一负根 ?

c <0 a

2 1.若一元二次方程 (m ? 1) x + 2(m + 1) x ? m = 0 有两个正根,求 m 的取值范围。 例 1.

2 例 2. k 在何范围内取值,一元二次方程 kx + 3kx + k ? 3 = 0 有一个正根和一个负根?

二、其它几种类型
2 借助函数图像研究 ax + bx + c = 0( a ≠ 0) 的根的分布 2 设一元二次方程 ax + bx + c = 0( a ≠ 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ≤ x2 。 k 为常数。则一元二次方程根的 k 分布

的位置)有以下若干类型: (即 x1 , x 2 相对于 k 的位置)有以下若干类型: f (k ) > 0
?

y
a>0 O

y
x=? b 2a

? ?? = b 2 ? 4ac ≥ 0 ? 【图例】 (1) k < x1 ≤ x 2 ? ?af ( k ) > 0 ? b ?? >k ? 2a

k
x2 b x=? 2a

O x1 x2 a<0

k x1

x
?

x

f (k ) < 0

1

的值都是同号的. 解析:发现无论开口向上或向下, f (k ) 与 a 的值都是同号的.

例 3.若方程 4 x 2 +(m-2)x+(m-5)=0 的两根都大于 1,则求 m 的取值范围.

? ?? = b 2 ? 4ac ≥ 0 ? (2) x1 ≤ x 2 < k ? ?af ( k ) > 0 【图例】 ? b ?? <k ? 2a

y
a>0 O f (k ) > 0
?

y
x=? O

b 2a

x1

x2

k x
x=? b 2a

x1 a<0

x2

k
x
?

f (k ) < 0

的值都是同号的. 解析:发现无论开口向上或向下, f (k ) 与 a 的值都是同号的.

(3) x1 < k < x 2 ? af ( k ) < 0

【图例】

y
a>0 O x1
?

y
f (k ) > 0
?

k
x2 f (k ) < 0

x

x1

O

k

x2 a<0

x

解析:要保证两根分布于 异号. 解析:要保证两根分布于 k 的两边,观察发现两种情况都是 f ( k ) 与 a 异号.
2 例 4.方程 x +2px+1=0 有一个根大于 1,一个根小于 1,求 p 的取值范围.

(4) k1 < x1 < k 2 ? f (k1 ) f (k 2 ) < 0

y
? f ( k1 ) > 0

a>0

y
f ( k1 ) > 0
?

x1

k2
?

【图例】

O

k1

x2

x

O

x1

k1

x2
?

k2

x

f (k 2 ) < 0

a<0

f (k 2 ) < 0

2

?a > 0 ?a < 0 ? f (k ) > 0 ? f (k ) < 0 1 1 ? ? ? ? (5) k1 < x1 < k2 , p1 < x2 < p2 ? ? f ( k 2 ) < 0 或 ? f ( k 2 ) > 0 ?f (p ) < 0 ?f (p ) > 0 1 1 ? ? ? f ( p2 ) > 0 ? f ( p2 ) < 0 ? ?
2 例 5.若关于 x 的方程 x +(k-2)x+2k-1=0 的两实根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,

求实数 k 的取值范围.

? ? ?? = b 2 ? 4ac ≥ 0 ?? = b 2 ? 4ac ≥ 0 ? ? ?a > 0 ?a < 0 ? k1 < x1 ≤ x2 < k 2 ,则 ? f (k ) > 0 (6) 或 ? f ( k1 ) < 0 ? 1 ? f (k ) > 0 ? f (k ) < 0 2 2 ? ? b b ? ? ?k1 < ? 2 a < k 2 ?k1 < ? 2 a < k 2 ? ? 例 4.已知关于 x 的方程 2 x 2 ? 3 x + 2m ? 3 = 0 的两根都在[-1,1]上.求实数 m 的取值范围. 4.

针对练习 1.关于 x 的方程 m x 2 +(2m+1)x+m=0 有两个不等的实根,则 m 的取值范围是( A.(1 , +∞) 4



B.(- ∞ ,-

1 ) 4

C.[-

1 ,+ ∞ ] 4

D.(-

1 ,0)∪(0,+ ∞ ) 4

2.若方程 x 2 -(k+2)x+4=0 有两负根,求 k 的取值范围.

3.若方程 x 2 ? 2tx + t 2 ? 1 = 0 的两个实根都在 ? 2 和 4 之间,求实数 t 的取值范围.

4.若关于 x 的方程 kx2-(2k+1)x-3=0 在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根,求 k 的取值范围.

5.已知集合 A = {x |

6 ≥ 1, x ∈ R}, B = {x | x 2 ? 2 x + 2m < 0, x ∈ R} . x +1
3

(1)当 A I B = {x | ?1 < x < 4} 时,求 m 的值.(2)当 A U B = A 时,求 m 的取值范围.


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