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厦门大学网络教育2012-2013学年第一学期 《经济数学基础上》复习题C


厦门大学网络教育 2012-2013 学年第一学期 《经济数学基础上》课程复习题( C ) 一、单项选择题
1. y ? lg

x x?2

? arcsin

x 3

的定义域为 C. [?3, 0) ? (2,3] ;

( D. (?3, ??) 。 (

/>
)

A. (??,3] ? (?3, 2) ; B. (0, 3) ; 2.下列等式中不正确的是
x A. lim 2 ? ?1 ; B. lim 2 ? 1 ;
x

)

x? 0

x ?0

?

C. lim 2 ? 0 ;
x x???

D. lim 2 ? ?? 。
x x???

3.下列各组函数中,当 x ? 0 时,同阶无穷小量的一组是 A. 3x ? x 与 x ;
2 4

(
3
2 4 4

)

B. 3x ? x 与 x ;
2 4

2

C. 3x ? x 与 x ; D. 3x ? x 与 x 。
2 4

? sin x , x?0 ? 4.设函数 f ( x) ? ? x 在 x = 0 处连续,则 k ? ?k , x ? 0 ?
A.0; B.1; C.-1; D.2。

(

)

5.曲线 y ? sin x 在点 (0, 0) 处的切线方程为 A. y ? x ; B. y ? 2 x ;
2

( C. y ?



1
2

x;

D. y ? ?x 。 ( )

6.函数 f ( x) ? x ? ln(1 ? x ) 在定义域内 A.无极值;

B.极大值为 1 ? ln 2 ; C.极小值为 1 ? ln 2 ; D. f ( x) 为非单调函数。

二、填空题
1.已知若函数 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? 5 ,则 f ( x) ?
2



2. lim ? 1 ?

? x ?? ?

4? x?

4? x

?

?



3.设 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2)?( x ? 2010) ,则 f ?(0) ? 4.已知 f ( x) ? 1 ?



sin x x
2

,当

时, f ( x) 为无穷小量。

?1 ? x 5.设 f ( x ) ? ? ? 3ax

x ?1 x ?1

,如果 lim f ( x ) 存在,则 a ?
x ?1



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6.函数 f ( x) ? x ? 1 在区间 [0,1] 上满足拉格朗日定理条件的 ? ? __
2

__。

三、计算题
1.求极限求极限 lim(1 ?
n ??

1 2
2

)(1 ?

1 3
2

) ? (1 ?

1 n2

)。

2.求极限 lim

1? x ? 3 2? 3 x

x ??8



3.求极限 lim
x ?0

xe cos x 1 ? sin x ? cos x

1 ? ? x cos , x ? 0 4.设 f ( x ) ? ? ,求 f ?( x) 。 x ? x2 x?0 ?
3 ? x ? 1? x x2 ? 1


5. lim
x ?1

6.求函数 y ?

x2 ? 1 x 2 ? 3x ? 2

的间断点并判断其间断点类型。

四、证明题
1 x 1.证明:方程 x2 ? 1 在 ( ,1) 内至少有一个根。

2

2.设函数 f ( x) 在 [ a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 f (a) ? f (b) ? 0 。试证:在 (a, b) 内至 少存在一点 ? ,使得 f ?(? ) ? f (? ) ? 0 。

第 2 页 共 5 页

一、单项选择题
1.C。要求函数的定义域,即使函数有意义,那么

x x?2

? 0 , x ? 2 ? 0 且 ?1 ?

x 3

? 1 ,解得

x ? 0 或者 x ? 2 且 [?3, 3] ,再求交集得 [?3, 0) ? (2,3] ,故选 C。
2.A。 lim 2 ? 1 ,故选 A。
x x? 0

3.B。若 lim
x ? x0

f ( x) g ( x)

,则称 f ( x) 与 g ( x ) 同阶。 lim ? a (a ? 0)
x ?0

3x 2 ? x 4 x

? lim(3x ? x3 ) ? 0 ,
x ?0

3x 2 ? x 4 是 x 的 高 阶 无 穷 小 量 。 lim
x ?0

3x 2 ? x 4 x
2

? lim(3 ? x 2 ) ? 3 , 是 同 阶 无 穷 小 量 。
x ?0

lim
x ?0

3x 2 ? x 4 x3

3 3x 2 ? x 4 3 ? lim( ? x) ? ? , 3x 2 ? x 4 是 x 3 的高阶无穷大量。 lim ? lim( 2 ? 1) 4 x ?0 x x ?0 x ?0 x x

? ? , 3x 2 ? x 4 是 x 4 的高阶无穷大量,故选 B。
4.B。由函数 f ( x) 在 x ? 0 处连续的定义,可知 f (0) ? lim
x ?0

sin x x

? 1 ,即 k ? 1 ,故选 B。

5.A。 y? ? (sin x)? ? cos x , k ? y?(0) ? 1 ,所以切线方程为 y ? x ,选 A。 6.A。 f ?( x) ? 1 ?

2x 1 ? x2

?

(1 ? x) 2 1 ? x2

? 0 ,故 f ( x) 是单调增加函数,可能的极值点为 1,又由

f ( x) 是单调增加函数知 f ( x) 无极值,选 A。

二、填空题
1. f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? 5 ? ( x ? 1) ? 6 ,则 f ( x) ? x ? 6 。
2 2 2

? 1? ? 1? 2.利用重要极限 lim ? 1 ? ? ? e ,则 lim ? 1 ? ? x ?? x ?? ? x? ? x?

x

1? x

? 1? ? 1? ? lim ? 1 ? ? lim ? 1 ? ? ? e 。 x ?? x ?? ? x? ? x?

1

x

3.因为在 f ?( x ) 中含有 x 的项在 x ? 0 时全为 0,所以 f ?(0) 是 f ?( x ) 常数项,即

(?1) ? (?2)?(?2010) ? 2010! 。
4.由 lim f ( x) ? lim(1 ?
x ?0 x ?0

sin x x

) ? 0 ,所以 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ?

sin x x

是无穷小量。

2 5.由 lim f ( x ) 存在知: 3a ? lim 3ax ? lim f ( x) ? lim f ( x) ? lim(1 ? x ) ? 2 ,所以 a ?

2 3

x ?1

x ?1

?

x ?1

?

x ?1

?

x ?1

?



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6.由中值定理知 2? ? f ?(? ) ?

f (1) ? f (0) 1? 0

? 1 ,所以 ? ?

1 2



三、计算题
1 2
2

1. 解: lim(1 ?
n ??

)(1 ?

1 3
2

) ? (1 ?

1 n2

)

1 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ?1 ? lim( ? )( ? )( ? ) ? ( ? )( ? ) n ?? 2 2 3 3 4 4 n ?1 n ?1 n n
1 n ?1 1 ? lim ? ? 。 n ?? 2 n 2
2.解:原式= lim

(1 ? x ? 9)(4 ? 2 3 x ?

3

x2 )

x ??8

(8 ? x)( 1 ? x ? 3)

??

4 ? 2 ? (?2) ? 4 3?3

? ?2 。

3.解:原式 ? lim
x ?0

ecos x ? xecos x (? sin x) ? cos x ? sin x

?

e ?1

? ?e 。

1 ? 1 1 f ( x) ? f (0) ?cos ? sin , x ? 0 4.解: f ?( x ) ? ? ,当 x ? 0 时, f ??(0) ? lim ? lim x ? 0 , x x x x ?0 x ?0 x ? 2 x, x ? 0 ?
? ?

f ??(0) ? lim
x ?0
?

f ( x) ? f (0) x
x ?1

? lim cos
x ?0
?

1 x

(极限不存在) 。所以当 x ? 0 时, f ( x) 不可导。

5. 解: 原式 ? lim

( 3 ? x ? 1 ? x )( 3 ? x ? 1 ? x ) ( x 2 ? 1)( 3 ? x ? 1 ? x )

? lim
x ?1

?2( x ? 1) ( x ? 1)( 3 ? x ? 1 ? x )
2

??

1 2 2



6.解: y ?

x2 ? 1 x 2 ? 3x ? 2

?

x2 ? 1

? x ? 1?? x ? 2 ?
x ?1 x?2

,所以 x ? 1与 x ? 2 是该函数的可能间断点。

因为 lim
x ?1

x2 ? 1 x ? 3x ? 2
2

? lim
x ?1

? ?2 ,所以 x ? 1是函数的可去间断点(第一类间断点) 。补 x2 ? 1 x ? 3x ? 2
2

充定义,当 x ? 1时, y ? ?2 可使函数在该点连续。又 lim
x ?2

? lim
x ?2

x ?1 x?2

? ? ,所以

。 x ? 2 是函数的无穷间断点(第二类间断点) 注:若 x0 是 f ( x) 的间断点,且在 x0 处左右极限都存在,则称 x0 为 f ( x) 的第一类间断点, 若左右极限存在且相等,但在此点无定义或者不等于 f ( x0 ) 称为可去间断点;若左右极限存 在但不相等,称为跳跃间断点。若 x0 是 f ( x) 的间断点,且在 x0 处左右极限至少有一个不存
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在,则称 x0 为 f ( x) 的第二类间断点。 (若 x0 为 f ( x) 的第二类间断点,且在 x0 点的左右极限 至少有一个是无穷,则称 x0 为 f ( x) 的无穷间断点)

四、证明题
1.证明:设 f ( x) ? x 2 ? 1 ,易知 f ( x) 在
x

? 1 ,1? 上连续,且 f ( 1 ) ? 1 2 ? 1 ? 0 , ?2 ? 2 2 ? ?

1 f (1) ? 2 ? 1 ? 1 ? 0 ,由连续函数的零点存在定理,在 ( ,1) 内至少存在一点 ? ,使得 2 1 f (? ) ? 0 ,即方程 x2x ? 1 在 ( ,1) 内至少有一个根。 2
2. 证明: F ( x) ? f ( x)e , F ( x ) 在在 [ a, b] 上连续, (a, b) 内可导, F (a) ? F (b) ? 0 , 令 则 在 且 由罗尔中值定理知在 (a, b) 内至少存在一点 ? 使得 F ?(? ) ? 0 ,即 ( f (? )e )? ? 0 ,又由于
?? ?x

( f (? )e

??

)? ? e ?? ( f ?(? ) ? f (? )) ,所以在 (a, b) 内至少存在一点 ? ,使得 f ?(? ) ? f (? ) ? 0 。

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