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椭圆的简单的几何性质教学设计

时间:2012-06-20


椭圆的简单的几何性质教学设计 北师大大兴附中数学组 韩颖 1、 指导思想与理论依据: 以“培养学生的创新精神和实践能力”“倡导自主探索,动手实践,合作交流,教 , 育教学理念” ,采用“以学生为主体,以问题为中心,以活动为基础,以培养学生提出问 题分析问题和解决问题能力”的合自主探究、体验式教学模式,通过创设符合学生认知 规律的问题情景,挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能,使学生在做的过程中学习,在 学的过程中思考,亲身体会创造过程,充分展示思维差异,培养学生的自主探究能力, 逻辑推理能力,提高学生的思维层次,掌握获取知识的方法和途径,真正体现学生学习 知识过程中的主体地位。让教师落实:授人于鱼不如授人于渔。让学生做到:临渊羡鱼 不如退而结网。 2、教学背景分析: 学习内容分析: 利用已知条件求曲线的方程,利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务, 利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次,传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示 椭圆曲线,让学生观察、猜想椭圆的几何性质,然后再利用椭圆的标准方程进行证明,体现 从感性到理性符合学生的认知规律等,也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路,但 未能很好的体现“利用方程研究曲线性质”的本质。因此,本人在教学一开始的问题设置就 体现了利用方程研究曲线的意识, 在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质, 真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力。同时,根据椭圆的简单几何性质的课时安 排,本节课不研究椭圆的离心率,保证了学生的研究时间;与直线方程和圆方程的类比能够 使得学生掌握椭圆标准方程的特点,学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元,说明该 种教学方法还是符合学生的认知规律的,同时体现了教材的本质。 学生情况分析: 本课的学习对象为高二年文科班的学生,他们经过近一年多的高中学习,已经有一定的 学习基础和分析问题、解决问题的能力。作为高二年文科班的学生普遍存在着数学科基础知 识较为薄弱,对数学学习有一定的困难。在课堂上的主体作用的体现不是太充分,但是他们 能意识到自己的不足,对数学课的学习兴趣高,积极性强。高二年文科班的学生在学习交往 上表现为个别化学习,课堂上较为依赖老师的引导。学生的群体性小组交流能力与协同讨论 学习的能力不强,对学习资源和知识信息的获取、加工、处理和综合的能力较低。 教学方式:启发式教学,自主探究式 教学手段的说明:通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探 索勇气。根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次,逐步形 成敢于发现、敢于质疑的科学态度。 3、教学目标: (1)知识与技能:掌握椭圆的范围、对称性、顶点,掌握 a , b , c 几何意义以及 a , b , c 的相互关 系,初步学习利用方程研究曲线性质的方法。 (2)过程与方法:利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次,通 过初步尝试,使学生经历知识产生与形成的过程,不仅注意对研究结果的掌握和应用,更重 视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养;以自主探究为主,通过体验数 学发现和创造的历程,培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。 (3)情感、态度与价值观:通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛,从中体味 合作与成功的快乐,由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气;通过多媒体展示,让 学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美,培养学生的审美习惯和良好的思维品 质。

内容安排:本节课分成四个主要部分:创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研 讨——归纳总结----巩固练习组成的探究式学习方式, 并在教学过程中根据实际情况及时地调 整教学方案。 教学重点、难点: 重点:利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质;关注学生在探究椭圆性质的过程 中思维的过程展现,如思维角度和思维方法。 难点:从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。 疑点:椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质,与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变 而改变.(解决办法:利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.) 教学过程: 创设情境: 问题:我们前面研究过圆,根据圆的方程中变量 x, y 之间的关系,在不画出图像之前我们能否 得到圆的一些相应几何性质呢? 设计意图:让学生体会曲线的性质不是只有作出函数图像才能得到的,而是曲线自身具有的 性质,从曲线的方程中我们就可以得到,让学生体会解析几何的思想,把握解析几何的本质。 教师点评: (1)能够抓住曲线的几何特征;范围、对称性、关键点做图; (2)研究问题的方向发生了变化,利用方程研究曲线的几何性质; (3) 本节课我们利用椭圆更一般的方程来研究椭圆的几何性质, 体现特殊到一般的思想方法。 教师板书:椭圆的简单几何性质 一、 引导评价,引入课题: 【问题 1】 自主探究:结合椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆椭圆方程中变量 x,y 的取值范围; (实物投影展示学生的解题过程,激励学生开拓思维) 学生活动过程: 情形 1:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 变形为:

y b

2 2

?1?

x a

2 2

? 0, x

2

? a

2

? x ? a ? ?a ? x ? a

这就得到了椭圆在标准方程下 x 的范围: ? a ? x ? a 同理,我们也可以得到 y 的范围: ? b ? y ? b 情形 2:可以把 围; 情形 3:椭圆的标准方程表示两个非负数的和为 1,那么这两个数都不大于 1,所以 同理可以得到 y 的范围 设计意图: (1)传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质,然后利用方程进行证明,没 有真正体现出利用方程研究曲线几何性质的路子,因此在这里通过多媒体课件始终展示椭圆 标准方程的特点,使学生在把握椭圆方程结构特征(1)和(2)的基础上来研究椭圆曲线的 几何性质;
x a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 看成 sin

2

? ? cos ? ? 1 ,利用三角函数的有界性来考虑
2

x

,

y

的范

a b

? 1,

(2)通过开头问题的铺垫,学生的思维在这里体现的异常活跃,除了教材中得到范围的方法 外,另外两种方法很多同学都能想到,使学生真正感受成功的喜悦; (3)多媒体课件展示椭圆的范围,体现数形结合思想。 结论:由椭圆方程中 x , y 的范围得到椭圆位于直线 x ? ? a 和 y ? ? b 所围成的矩形里。即变量 x, y 的取值范围---------曲线的范围 【问题 2】 自主探究:继续观察椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆曲线的对称性;实物投影展示 学生的解题过程,体现学生的思维认识: 辨析与研讨:? x 代 x 后方程不变,就是用 ( ? x , y ) 来代换方程中的 ( x , y ) ,方程不变,( ? x , y ) 和
( x , y ) 关于 y

轴对称, 两点坐标都满足方程,而 ( x , y ) 是曲线上任意一点,因此椭圆曲线关于 y

轴对称;其它同理。 相关概念:在标准方程下,坐标轴是对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的 中心。 设计意图: (1) 抓住椭圆标准方程的特点不放松, 引导学生探究如何利用方程研究椭圆的对称性; (2) 在学生的表述过程中重视学生的思维方式,培养学生正确处理问题的思路,能够 引导学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法; (3) 多媒体课件展示椭圆的对称性,使学生体会椭圆的对称美。 总结: 方程的对称性--------曲线的对称性。 设置问题: 2 抛物线 y ? x ? 2 x ? 3 的对称轴是( ) ,顶点坐标是( )两者有何关 系? 【问题 3】 自主探究:再次观察椭圆标准方程的特点,利用方程求出椭圆曲线与对称轴的顶点坐标 (实物投影展示学生的解题过程,体现学生的思维认识) 在椭圆的标准方程中,令 x ? 0 ,得 y ? ? b , y ? 0 ,得 x ? ? a 顶点概念:椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点 顶点坐标; A1 ( ? a , 0 ), A2 ( a , 0 ) , B1 ( 0 , b ), B 2 ( 0 , ? b ) 相关概念:线段 A1 A 2 , B1 B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于 2 a , 2 b , a 和 b 分 别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长, 总结:x=0 或 y=0 时方程的解--------曲线的顶点。 设置问题: 在椭圆标准方程的推导过程中令 a 2 ? c 2 ? b 2 能使方程简单整齐, 其几何意义是什 么? 学生探究: c 表示半焦距, b 表示短半轴长,因此,联结顶点 B 2 和焦点 F 2 ,可以构造一个直

角三角形,在直角三角形内, OF 2

2

? B 2 F2

2

? OB 2

2

,即 a 2 ? c 2 ? b 2 ;

多媒体展示特征三角形. 设计意图: (1)利用方程研究椭圆的顶点坐标学生比较容易接受,相关概念也容易理解,关键是
a
2

?c

2

? b

2

的几何意义,多媒体课件的展示体现 a , b , c 的几何意义,从而得到 a 2 ? c 2 ? b 2

的本质。 三、课堂练习: 例 1、椭圆
x
2

?

y

2

? 1 的长轴和短轴长,离心率,焦点坐标和顶点坐标。

4

3

若将椭圆的标准方程改为 4 x 2 ? 3 y 2 ? 1 ,它的长轴和短轴长,焦点坐标和顶点坐标是 什么? ??你能通过椭圆的几何性质总结出作椭圆的草图的步骤吗? (利用方程研究椭圆的几何性质时,若椭圆的方程不是标准方程,首先应 方程画为标准方程,然后找出相应的 a , b , c 。利用椭圆的几何性质,可以简化 画图过程,保证图形的准确性) 掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项: (1)以 x ? ? a , y ? ? b 为邻边画矩形; (2)由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点; (3)在第一象限取两点,并用圆滑曲线连接; (4)根据椭圆的对称性得到其他象限的图像; (5)画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性. 设计意图: (1)学生阅读交流提高认识而不是教师讲解,能够使学生感悟知识的应用; (2)与开头相呼应,使学生认识到椭圆的简单几何性质能够简化做图过程; 四、 反思与评价: (回顾知识的形成过程,同学交流,谈谈对本节课的认识) (1)知识与技能:椭圆的范围、对称性、顶点,初步学习了利用椭圆标准方程研究椭圆曲线 性质的方法; (2)过程与方法:重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养;以自主探 究为主,通过体验数学发现和创造的历程,培养了我们观察、分析、逻辑 推理、理性思维的能力; (3)情感、态度与价值观:善于观察,敢于创新,学会与人合作,感受到探究的乐趣,体会 椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美, 培养学生的审美习惯和良好 的思维品质。 设计意图:不会反思,就不会学习,通过反思,深化知识的形成过程,完善认知结构,掌握 研究的方法和思路,拓宽思维角度,提高思维层次。 五、课后作业: (1)反思知识的形成过程,掌握研究问题的方法;

(2)研究

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的范围、对称性、顶点;

(3)课后延伸:同学们再来观察椭圆的结构特征“方程中 x 2 和 y 2 的系数不相等” ,因此当 x 2 和 y 2 的系数发生变化时,椭圆的形状是如何随之变化的? 设计意图:课后作业的设置体现了本节课研究方法的延伸, 作业(1)强调研究方法的重要性, 作业(2)是对学生学习效果的一种检验, 作业(3)引导学生利用椭圆方程的结构特征自主研究椭圆的另一条性质——离心 率; 附录:板书设计 8.2 椭圆的简单几何性质
x a
2 2 2 2

椭圆的标准方程:

?

y b

? 1( a ? b ? 0 )

1、范围:椭圆位于直线 x ? ? a 和 y ? ? b 所围成的矩形里。 2、对称性:椭圆关于 x 轴、 y 轴、原点都对称 3、顶点:顶点坐标为: ( ? a , 0 ) , (0, ? b ) 课堂练习: 反思与评价: 课后作业:

课堂设计说明: 1、对教材的研究认识: 利用已知条件求曲线的方程, 利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务, 利 用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次,传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭 圆曲线,让学生观察、猜想椭圆的几何性质,然后再利用椭圆的标准方程进行证明,体现从 感性到理性符合学生的认知规律等,也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路,但未 能很好的体现“利用方程研究曲线性质”的本质。因此,本人在教学一开始的问题设置就体 现了利用方程研究曲线的意识,在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质, 真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力。同时,根据椭圆的简单几何性质的课时安 排,本节课不研究椭圆的离心率,保证了学生的研究时间;与直线方程和圆方程的类比能够 使得学生掌握椭圆标准方程的特点,学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元,说明该 种教学方法还是符合学生的认知规律的,同时体现了教材的本质。 2、 课堂教学模式的设置: 自主探究是传统教学模式的一种补充,自主探究能够使学生成为研究问题的主人,能够 培养学生的思维能力。数学是思维的科学,思维能力是数学的核心,教学过程的设计要能够 体现教学本质;能够突出所学数学内容的本质;组织教学的过程要能触及学生的灵魂深处。 因此,课堂教学中提倡问题教学,抓住学生的认识现实,恰当地创设问题情境,使学习者能

够在课堂上进行积极有效的学习。 3、 课堂练习题的说明: 如何利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质是本节课的主题,是进一步学 习双曲线和抛物线的基础。为了不冲淡主题,课堂教学过程中重在培养学生 的研究方法,提高学生的思维能力。因此,在椭圆几何性质的其它课时中将 适当增加相应的练习,强化学生对知识

教学流程:
创设情境:回忆所学曲线,与已有知识联系

引入新课:根据椭圆的方程自主探究椭圆的简 单的几何性质

巩固练习:熟练掌握所得的性质,拓展提高

绘制本节内容的知识树,形成知识体系

小结与作业布置


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