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圆锥曲线定义专题训练2


实验班训练(二) 圆锥曲线定义的应用二 一、复习圆锥曲线的定义 1.椭圆: 平面内与两个定点 F1、F2

的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点 的轨迹。 2.双曲线:平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于非零常数(小 于|F1F2|)的点的轨迹 3.圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线) 统一定义: (了解) 平面内一个动点 M 与一个定点 F

的 距离和一定直线 L (点 F 不在直线 L 上)的距离之比等于一个常数 e。

当 0<e<1 时,动点 M 的轨迹是椭 圆; 当 e=1 时, 动点 M 的轨迹是抛物线; 当 e>1 时, 动点 M 的轨迹是双曲线。 定义是反映数学对象的本质属性和 特征的思维形式,对定义的深刻理解是 提高解题能力的坚实基础。在圆锥曲线 中,有相当多的问题是可以化归到运用 定义而得以简捷求解的。 二、例题

x2 y2 ? 例 1.双曲线 9 16 =1 左支上一点 P
到左焦点的距离为 14, P 到右焦点的 则 距离是

答案:8 或 20

例 2。在

?ABC 中 , BC ? 2 ,

1 sin C ? sin B ? sin A ,求点 A 2
的轨迹.

∵|PA|+|PC|=|PM|+|PC|=R ∴P 点的轨迹是以点 A (-3, 和 C 0) (3, 0)为
x y 焦点的椭圆,其方程为: 25 ? 16 ? 1
2 2



3 . F1 、 F2

为 椭 圆

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 的两个焦点,M a b
是椭圆上与 F1、F2 不共线的任意一点, I 是△MF1F2 的内心,延长 MI 交 F1F2 于 点 ( N , 则 |MI| ﹕ |IN| 的 值 为 )

a (A) c

a (B) b

b (C) c
答案 A

b (D) a

例 4.点 M(x,y)的 坐 标
2


2







( x ? 1) ? y ?| x ? y ? 3 | / 2 ,
则点 M 的轨迹方程是( (A) 椭圆 ) (B)双曲线 (D)两条相交直线

(C)抛物线

分析:用数形结合的思想,将题中的根 式、绝对值赋予“距离”的意义,则此 方程可以变形为距离的等式,并理解为:

动点 M(x,y)到定点 F(1,0)的距 离与它到定直线 l:x-y+3=0 的距离之 比为 1,由圆锥曲线的统一定义显然知 点 M 的轨迹是抛物线,故选 C

练习: 1 . 由 双 曲 线

x2 y 2 ? ?1 上一点 9 4

P

与双曲线的左、右焦点 F1、F2 构成△PF1F2,求△ PF1F2 的 内 切 圆 与 边 F1F2 的切点 N 的坐标。 分析:要求切点 N 的 坐标, 关键在于求 N 与 左、右焦点 F1、F2 之 间的关系,利用切线长定理可以转化为 两焦半径之差,这就与双曲线的定义有

机地结合起来了。 √3

x y ? ?1 2.设点 P 是椭圆 4 上的动 3
点,F1、F2 是焦点,设 k=| PF1|·|PF2|, 则 k 的最大值是 解: 答案:4 。

2

2

x2 y 2 ? ?1 3. 以椭圆 12 3
的焦点为焦点,过直 线 x-y+9=0 上一点 M 作椭圆,要使所 作椭圆的长轴最短, 点 M 应在何处?

并求出此时的椭圆方程。

对称点(-9,6)

(-5,4)

4 . 双 曲 线

x2 y 2 ? ?1 9 16
的两个焦点为 F1、 F2 ,点 P 在双曲线 上,若 PF1⊥PF2, 求点 P 到 x 轴的距离。

5.F1、F2,是椭圆

x2 y 2 ? ?1 的两 9 4
焦点, P 点是椭圆上的点, 当∠F1PF2 为钝角时,试求点 P 的横坐标的取值范围。

6.设点 P 到点 M(-1,0) ,N(1,0) 距离之差为 2m,到 x 轴、y 轴 距离之比为 2, m 的取值范围。 求

x 2 ? y ?1 7.若 P 是双曲线 3 右
支上一个动点,F 是双曲线的右焦点。 已知 A 的坐标是 (3,1)则|PA|+|PF|的最小值为

2

已知双曲线

x 4

2

? y

2

?1



F1,F2 为左、右焦点,点 A(3,-1),在
双曲线上求一点 P,使

PA ? PF2 取得最小值;


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