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高中数学诱导公式集合


一、高中数学诱导公式全集: 常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ +α )=sinα (k∈Z) cos(2kπ +α )=cosα (k∈Z) tan(2kπ +α )=tanα (k∈Z) cot(2kπ +α )=cotα (k∈Z) 公式二: 设α 为任意角,π +α 的三角函数值与α 的三角函数值之间

的关系: sin(π +α )=-sinα cos(π +α )=-cosα tan(π +α )=tanα cot(π +α )=cotα 公式三: 任意角α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α )=-sinα cos(-α )=cosα tan(-α )=-tanα cot(-α )=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π -α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(π -α )=sinα cos(π -α )=-cosα tan(π -α )=-tanα cot(π -α )=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到 2π -α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(2π -α )=-sinα

cos(2π -α )=cosα tan(2π -α )=-tanα cot(2π -α )=-cotα 公式六: π /2±α 及 3π /2±α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(π /2+α )=cosα cos(π /2+α )=-sinα tan(π /2+α )=-cotα cot(π /2+α )=-tanα sin(π /2-α )=cosα cos(π /2-α )=sinα tan(π /2-α )=cotα cot(π /2-α )=tanα sin(3π /2+α )=-cosα cos(3π /2+α tan(3π /2+α cot(3π /2+α sin(3π /2-α cos(3π /2-α tan(3π /2-α cot(3π /2-α )=sinα )=-cotα )=-tanα )=-cosα )=-sinα )=cotα )=tanα

(以上 k∈Z) 注意:在做题时,将 a 看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为:

对于π /2*k ±α (k∈Z)的三角函数值,

①当 k 是偶数时,得到α 的同名函数值,即函数名不改变; ②当 k 是奇数时,得到α 相应的余函数值,即 sin→cos;cos→sin;tan→ cot,cot→tan.(奇变偶不变) 然后在前面加上把α 看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限)

例如: sin(2π -α )=sin(4?π /2-α ),k=4 为偶数,所以取 sinα 。 当α 是锐角时, 2π -α ∈(270°, 360°), sin(2π -α )<0, 符号为 “-” 。 所以 sin(2π -α )=-sinα

上述的记忆口诀是: 奇变偶不变,符号看象限。

公式右边的符号为把α 视为锐角时,角 k?360°+α (k∈Z),-α 、180° ±α ,360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀 “一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”.

这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”; 第三象限内切函数是“+”,弦函数是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”. 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦

还有一种按照函数类型分象限定正负: 函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 正弦 ...........+............+............—............ —........ 余弦 ...........+............—............—............ +........ 正切 ...........+............—............+............ —........ 余切 ...........+............—............+............ —........ 同角三角函数基本关系 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ?cotα =1 sinα ?cscα =1 cosα ?secα =1 商的关系: sinα /cosα =tanα =secα /cscα cosα /sinα =cotα =cscα /secα 平方关系: sin^2(α )+cos^2(α )=1 1+tan^2(α )=sec^2(α ) 1+cot^2(α )=csc^2(α )

同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法:(参看图片或参考资料链接) 构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间 1"的正六边形为模型。 (1)倒数关系:对角线上两个函数互为倒数;

(2) 商数关系: 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上 函数值的乘积。 (主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此,可得商数关系式。

(3)平方关系:在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值 的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式 两角和与差的三角函数公式 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ tan(α +β )=(tanα +tanβ )/(1-tanα tanβ ) tan(α -β )=(tanα -tanβ )/(1+tanα ?tanβ ) 二倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式) sin2α =2sinα cosα cos2α =cos^2(α )-sin^2(α )=2cos^2(α )-1=1-2sin^2(α ) tan2α =2tanα /[1-tan^2(α )] 半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式) sin^2(α /2)=(1-cosα )/2 cos^2(α /2)=(1+cosα )/2 tan^2(α /2)=(1-cosα )/(1+cosα ) 另也有 tan(α /2)=(1-cosα )/sinα =sinα /(1+cosα )万能公式

万能公式 sinα =2tan(α /2)/[1+tan^2(α /2)] cosα =[1-tan^2(α /2)]/[1+tan^2(α /2)] tanα =2tan(α /2)/[1-tan^2(α /2)] 万能公式推导 附推导: sin2α =2sinα cosα =2sinα cosα /(cos^2(α )+sin^2(α ))......*, (因为 cos^2(α )+sin^2(α )=1) 再把*分式上下同除 cos^2(α ),可得 sin2α =2tanα /(1+tan^2(α )) 然后用α /2 代替α 即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α =3sinα -4sin^3(α ) cos3α =4cos^3(α )-3cosα tan3α =[3tanα -tan^3(α )]/[1-3tan^2(α )] 三倍角公式推导 附推导: tan3α =sin3α /cos3α =(sin2α cosα +cos2α sinα )/(cos2α cosα -sin2α sinα ) =(2sinα cos^2(α )+cos^2(α )sinα -sin^3(α ))/(cos^3(α ) -cosα sin^2(α )-2sin^2(α )cosα ) 上下同除以 cos^3(α ),得: tan3α =(3tanα -tan^3(α ))/(1-3tan^2(α )) sin3α =sin(2α +α )=sin2α cosα +cos2α sinα =2sinα cos^2(α )+(1-2sin^2(α ))sinα =2sinα -2sin^3(α )+sinα -2sin^3(α ) =3sinα -4sin^3(α ) cos3α =cos(2α +α )=cos2α cosα -sin2α sinα

=(2cos^2(α )-1)cosα -2cosα sin^2(α ) =2cos^3(α )-cosα +(2cosα -2cos^3(α )) =4cos^3(α )-3cosα 即 sin3α =3sinα -4sin^3(α ) cos3α =4cos^3(α )-3cosα

三倍角公式联想记忆 ★记忆方法:谐音、联想 正弦三倍角:3 元 减 4 元 3 角 (欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音 似“正弦”)) 余弦三倍角:4 元 3 角 减 3 元(减完之后还有“余”) ☆☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦 表示。

★另外的记忆方法: 正弦三倍角: 山无司令 (谐音为 三无四立) 三指的是"3 倍"sinα , 无指 的是减号, 四指的是"4 倍", 立指的是 sinα 立方 余弦三倍角: 司令无山 与上同理

和差化积公式 三角函数的和差化积公式 sinα +sinβ =2sin[(α +β )/2]?cos[(α -β )/2] sinα -sinβ =2cos[(α +β )/2]?sin[(α -β )/2] cosα +cosβ =2cos[(α +β )/2]?cos[(α -β )/2] cosα -cosβ =-2sin[(α +β )/2]?sin[(α -β )/2]

积化和差公式 三角函数的积化和差公式 sinα ?cosβ =0.5[sin(α +β )+sin(α -β )] cosα ?sinβ =0.5[sin(α +β )-sin(α -β )] cosα ?cosβ =0.5[cos(α +β )+cos(α -β )] sinα ?sinβ =-0.5[cos(α +β )-cos(α -β )] 和差化积公式推导 附推导: 首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 同理,若把两式相减,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的 四个公式.

我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)


三角函数 高中数学诱导公式大全

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