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等差数列与等比数列的有关知识比较一览表

时间:2011-07-28


定 义 递 推 关 系

等差数列与等比数列的有关知识比较一览表 等 差 数 列 等 比 数 列 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项 项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这 与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数 个数列就叫做等差数列.这个常数叫公差. 列就叫等比数列.这个常数叫公比. ① an ?1 ?

an ? a2 ? a1 ② an ?1 ? an ? d ③ an ?1 ? an ? an ? an ?1 ( n ? 2, n ? N )
*

(n? N )
*

① (

an ?1 an

(n? N )
*

?

a2 a1

( n? N )

*

) ② ③

a n ?1 an
?

?q
an an ?1

q ? 0, n ? N *
*

an ?1 an

( n ? 2, n ? N ) (n? N )
*
*

① an ? a1 ? ( n ? 1) d ② an ? pn ? q 通 项 公 式

① a n ? a1 ? q ②

n ?1

(n? N )
*

( p , q为常数, n ? N )

an ? p ? q n
*

③由 S n 的定义可知, n=1 时, 1 = a 1 ; n≥2 当 当 S 时, a n = S n - S n ?1 , 即 an = ?

( p , q是常数, q ? 0, p ? 0, n ? N )

? S 1 ( n ? 1) ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

.

① 2 S n ? n ( a1 ? an ) 求 和 公 式 ② S n ? na1 ?
*

(n? N )
*

n ( n ? 1) 2

d

?

d 2

n 2 ? ( a1 ?

d 2

)n

? na1 , q ? 1 ? ① S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ,q ? 1 ?

( n ? N )当 d≠0,是一个常数项为零的二次式 ③ S n ? An ? Bn ( A, B是常数, n ? N )
2

*

① 若 p+q=s+r, p 、 q 、 s 、 r ? N*, 则. a p ? aq ? a s ? ar ②对任意 c>0,c ? 1, c

①若 p+q=s+r, p、q、s、r? N*,则 a p a q ? a s a r . ②对任意 c>0,c ? 1, 若 an 恒大于 0, ?log c an ? 为 则 等差数列. ③ a n ?1 a n ?1 ? a n , n ? N , n ? 2 .
2 ?

? ? 为等比数列.
an

③ an ?1 ? an ?1 ? 2 an , n ? N , n ? 2 .
*



④ 若 ? a n ? 、 ?bn ? 分 别 为 两 等 差 数 列 , 则

④若 ? a n ? 、?bn ? 为两等比数列, ?a n bn ? 为等比 则 数列. 数列. ⑤若 ?bn ? 为正项等差自然数列,则 a bn 为等比

?an ? bn ? 为等差数列.


?S ? ⑤数列 ? n ? 为等差数列. ?n ?

? ?

⑥若 ?bn ? 为正项等差自然数列,则 a bn 为等 性 差数列. ⑦ S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n , ? 为等差数列. ⑧ 质

? ?
*

⑥ S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n , ? 为等比数列. ⑦ Sm?n ? Sm ? q Sn ? Sn ? q Sm
m n

Sn n

?

Sn?m ? Sm n ? 2m

,n>2m,m、n ? N .

⑨ S m ? n ? S m ? S n ? mnd . ⑩若 S m ? S n , m ? n, 则 S m ? n ? 0 . 此外,还要了解一些等差数列与等比数列中的重要结论,这些结论之间不具有对偶关系: 等 差 数 列 等 ① S mn ? S m (1 ? q
n m

比 数 列

重 要 结 论

* ①若 a p ? q , aq ? p , p、q ? N ,且 p ? q ,

? q 2 m ? ? ? q ( n ?1) m )
2n

则 a p?q ? 0 . ② 若

= S n (1 ? q ? q 且
*

? ? ? q ( m ?1) n ) .

S p ? q, S q ? p,

p?q

, 则

S p ? q ? ? ( p ? q ),

②若|q|<1,则 lim S n ? S ?
n??

a1 1? q

.

p、q ? N .


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