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3.2 一元二次不等式及其解法(3)


3.2 一元二次不等式及其解法(3)
---不等式恒成立问题 一、变量在全体实数上 的不等式恒成立问题 ......
例 1.若关于 x 的一元二次不等式 2 x 2 ? 8x ? 6 ? m ? 0 对 x ? R 恒成立,求实数 m 的 取值范围. 解:方法一:判别式法(或图象法)

方法二:(分离参数法)

方法三

:(最值法)

【小结】 1. 判别式 法 (图象法 ) :对于一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 ? ? 0? 恒成立问题, ... . ... 可令函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ,再通过函数的图象,再由判别式进行解决. ① f ? x ? ? 0 在 x ? R 上恒成立 ② f ? x ? ? 0 在 x ? R 上恒成立

?a ? 0 ; ? ?? ? 0 ?a ? 0 ; ? ?? ? 0

2.分离参数法 :对于含有参数的不等式恒成立,需要把参数分离于不等式的一 ..... 端,利用下面结论得到参数的取值范围.这种方法本质上是最值法,但操作性强. ① f ? x ? ? g (a) 恒成立 ② f ? x ? ? g (a) 恒成立

g (a) ? f ? x ?max ; g (a) ? f ? x ?min .

3.最值 法 :将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题,其一般类型有: .. . ① f ? x ? ? a 恒成立 ② f ? x ? ? a 恒成立

a ? f ? x ?min ; a ? f ? x ?max .

变式练习 1. 若函数 f ? x ? ? 2 x2 ? 8 x ? 6 ? m 的定义域是 R ,则实数 m 的取值范 围是___________________. 变式练习 2.若不等式 2 x 2 ? 8x ? 6 ? m ? 0 的解集为空集,则实数 m 的取值范围是 ___________________. 变式练习 3. 若关于 x 的不等式 mx 2 ? mx ? 1 ? 0 的解集为 R ,求实数 m 的取值范 围.

二、变量在某个区间 上 的不等式恒成立问题 ..... .
例 2.若关于 x 的一元二次不等式 2 x2 ? 9 x ? m ? 0 在区间 ? 2,3? 上恒成立,求实数

m 的取值范围.
解:方法一:(分离参数法)

方法二:(最值法)

方法三: (图象法)

变式练习 4. 若关于 x 的不等式 x 2 ? 2mx ? 1 ? 0 对 x ? 0 恒成立,求实数 m 的取值 范围.

【小结】对于二次不等式恒成立问题,一般常有三种方法:图象法(数形结 合) 、分离参数法和最值法.

三、转换主元法
解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数. 一般地,知道谁的范围,谁就是自变量,求谁的范围,谁就是参数. 例 3.(1) 已知不等式 mx2 ? 2 x ? m ? 1 ? 0 对任意的 ?2 ? x ? 2 恒成立,求实数 m 的 取值范围. (2) 已知不等式 mx2 ? 2 x ? m ? 1 ? 0 对任意的 ?2 ? m ? 2 恒成立,求实数 x 的取值 范围.

变式练习 5. 若不等式 ? m ? 2? x2 ? 2 ? m ? 2? x ? 4 ? 0 对任意的 m ?[?1,1] 恒成立, 求实数 x 的取值范围.

四、课后作业
1.若不等式 ax2 ? x ? a ? 0 ? a ? 0? 无解,则实数 a 的解集是(
1 1 A、 a ? ? 或 a ? 2 2


1 2

B、 a ?

1 2

1 1 C、 ? ? a ? 2 2

D、 a ?

2. 若不等式 ? a ? 2? x2 ? 2 ? a ? 2? x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是 ( ) B、 ? ?2, 2? C、 ? ?2, 2? D、 ? ??, ?2?

A、 ? ??,2?

3.若关于 x 的不等式 x 2 ? 4 x ? m 对任意 x ??0,1? 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ( ) B、 m ? ?3 C、 ?3 ? m ? 0 D、 m ? ?3 或 m ? 0

A、 m ? ? 3

4.若 f ? x ? ? ax2 ? ax ? 4 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是_______________ 5.若函数 f ? x ? ? lg ? x 2 ? 5 x ? b ? 的定义域为 R ,求 b 的取值范围.

6.已知 2 ? x ? 3 时,不等式 2 x 2 ? 9 x ? a ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

7. 若不等式

x2 ? 8x ? 20 ? 0 对任意实数 x 恒成立,求实数 m 的取值 mx2 ? 2 ? m ? 1? x ? 9m ? 4

范围.

8.已知不等式 mx2 ? 2 x ? m ? 1 ? 0 (1)若对所有实数 x 的不等式恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)设不等式对于满足 ?2 ? m ? 2 的一切 m 的值恒成立,求 x 的取值范围.


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