nbhkdz.com冰点文库

二 用数学归纳法证明不等式

时间:2014-01-03


新课导入
回顾旧知
数学归纳法的步骤:

(1)证明当n=n0时命题成立;
(2)假设当n=k时命题成立,证明 n=k+1时命题也成立.

教学目标
知识与能力
会运用数学归纳法证明含有任意 正整数n的不等式(包括贝努力不等式).

过程与方法
通过例题的学习,能够证明含有 任意正整数n的不等式(包括贝努力不 等式).

情感态度与价值观
培养学生严密的逻辑思维能力 和严谨的态度.

教学重难点
重点
会运用数学归纳法证明含有任意 正整数n的不等式(包括贝努利不等式).

难点
灵活运用数学归纳法.

例1 观察下面两个数列,从第几项起an 始终小于bn?证明你的结论. {an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…

分析 由数列的前几项猜想,从第5项起, an<bn即n2<2n(n N+,n≥5),用数学归纳 ? 法证明上述猜想时,第(1)步应该证明 n=5的情形.





(1)当n=5时,52<25,命题成立.
(2)假设n=k(k≥5)时,命题成立,

即k2<2k.
当n=k+1时,因为 (k+1)2=k2+2k+1<k2+3k<2k2<2k+1 由(1)(2)知,n2<2n(n? +,n≥5) N 所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.

例2 证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n N+)

?

分析 这是个涉及正整数n的三角函数问题, 又与绝对值有关,在证明递推关系时,应 注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.





(1)当n=1时,左边=右边,命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即 有│sinkθ│≤k│sinθ│

当n=k+1时, │sin(k+1)θ│

=│sinkθcosθ+coskθsinθ│ │coskθsinθ│

≤│sinkθcosθ│+

= │sinkθ││cosθ│+ │coskθ││sinθ│ ≤k │sinθ│+ │sinθ│ =(k+1) │sinθ│ 由(1)(2)可知,不等式对一切正整数n均 成立.

例3 证明贝努利不等式: 如果x是实数,且x>-1,x ? 0 ,n为大于 1的自然数,那么有(1+x)n>1+nx

分析 贝努利不等式中涉及两个字母,x 表示大于-1且不等于0的任意实数,n是 大于1的自然数,我们用数学归纳法只 能对n进行归纳.





(1)当n=2时,由x ≠ 0得 (1+x)2>1+2x,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,

即有(1+x)k>1+kx.
当n=k+1时, (1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx) >1+(k+1)x

所以当n=k+1时不等式成立.

由(1)(2)可知,贝努利不等式成立.

例4 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an 的乘积a1,a2,…,an, 那么它们的和a1+a2…+an=1.

在数学研究中,经常用贝努利不等式 把二项式的乘方(1+x)n缩小为简单的1+nx 的形式.这在数值估计和放缩法证明不等式 中可以发挥作用.

事实上,贝努利不等式的一般形式是: 当a是实数,并且满足a>1或者a<0时, 有(1+x)a ≥1+ax(x>-1); 当a是实数,并且满足a>1或者0<a<1时, 有(1+x)a ≤1+ax(x>-1).

分析
这是与正整数密切相关的不等式,它 的形式简洁和谐.用数学归纳法证明它时, 应注意利用n个正数的乘积为1的条件,并 对什么时归纳假设和由它要递推的目标心 中有数.





(1)当n=1时,有a1=1,命题成立.
(2)假设当n=k时,命题成立, 即若k个正数的乘积a1a2…ak=1, 则a1+a2+…+ak≥k.当 n=k+1时,已知k+1个正数a1,a2,…,ak 满足条件a1a2…ak+1=1.

若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1都相等,则它 们都是1.其和为k+1,命题成立. 若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1不全相等, 则其中必有大于1的数,也有小于1的数. 不妨设a1>1,a2<1 有归纳假设可得到: a1+a2+…+ak+ak+1 ≥k (1)

我们要证a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1 (2)

由(1)(2)得:a1+a2-a1a2≥1. (3)
则(1)+(3)=(2). 由于a1>1,a2<1得(a1-1)(a2-1)<0,

即a1+a2-a1a2>1.
于是目标得证,即:当n=k+1时命题成立. 由(1)(2)可知,原命题成立.

课堂小结
本节用数学归纳法证明不等式通过4 个例题由浅入深的讨论如何通过“奠 基”“假设和递推”证明含有任意正整 数n的不等式.

随堂练习
1.对任意的n ? N+,试比较n!与2n-1的大小, 证明你的结论.

解:对任意的n?N+,有n!≥2n-1可用数学归 纳法证明此结论. (1)当n=1时,命题成立. (2)假设当n=k(k≥1)时,命题成立.即k! ≥2k-1. 当n=k+1时,(k+1)!=k!(k+1) ≥2k-1(k+1) ≥2k. 所以,当n=k+1时,命题成立. 由(1)(2)知,命题对一切正整数成立.

2.用数学归纳法证明:对于任意大于1的 正整数n,不等式 12 ? 12 ? ... ? 12 ? n ? 1 都成立.
2 3 n n

解: 1 2?1 1?当n ? 2时, 2 ? ,命题成立. ? 2 2

? 2 ? 假设当n ? k ? k ? 2 ? 时,命题成立,即
当n ? k ? 1时, 1 1 1 1 k ?1 1 ? 2 ? ... ? 2 ? ? ? 2 2 22 3 k ? k ? 1? k ? 1 ? k ? 1? k3 ? k2 ? k ? k ? 1?

1 1 1 k ?1 ? 2 ? ... ? 2 ? . 2 2 3 k k ?1

? k ? 1? ? 1 . ?
k ?1 所以当n ? k ? 1时命题成立. 由? 1?? 2 ? 知,命题对任意大于1的正整数成立.

习题答案
习题4.2(第53页)
1 1 1.(1)当n = 3时,左边 = (1 + 2 + 3)(1 + + ) = 11, 2 3 右边 = 32 + 3 - 1 = 11,左边 = 右边,即命题成立. (2)假设当n = k(k ? 3)时,命题成立. 1 1 即(1 + 2 + ? + k)(1 + + ? ) ? k 2 + k - 1. 2 k 当n = k + 1时,

1 1 1 (1 + 2 + ? + k + k + 1)(1+ + ? + ) 2 k k +1 1 1 1 = (1 + 2 + ? + k )(1+ + ? ) + (1 + 2 + ? + k ) 2 k k +1 1 1 1 + (k + 1)(1+ + ? + ) 2 k k +1 1 3 25 2 ≥ + k - 1 + k (k + 1) + k + k 2 2 12 >k 2 + 3k + 1 = (k + 1)2 + (k + 1) - 1 所 以, 当n = k + 1时, 命 题 成 立 . 由(1)(2) , 命 题 对 大 于的 一 切 正 整 数 成 立 知 2 .


赞助商链接

达标训练(二 用数学归纳法证明不等式)

b 2 5.用数学归纳法证明 1 1 1 1 1 ,假设 n=k 时,不等式成立之后, ? 2 ??? ? ? 2 2 2 n?2 2 3 (n ? 1) 证明 n=k+1 时,应推证的...

知识导学(二 用数学归纳法证明不等式

知识导学( 用数学归纳法证明不等式_数学_高中教育_教育专区。 用数学归纳法证明不等式 知识梳理 1.本节例题中的有关结论 (1)n2<2n(n∈N+,___); (2...

用数学归纳法证明不等式举例 .知识点梳理

课题:用数学归纳法证明不等式举例 备课教师:沈良宏 参与教师:郭晓芳、龙新荣 审定教师:刘德清 1、教学重点:了解数学归纳法的原理及其使用范围和基本步骤. 2、教学...

用数学归纳法证明不等式(1+2+3+…+n)(1+++…+)≥n2+n-1...

单选题 数学 数学归纳法 用数学归纳法证明不等式(1+2+3+…+n)(1+++…+)≥n2+n-1成立,初始值n0至少应取( ) A1 B2 C3 D4正确答案及相关解析 正确...

...人教B版数学选修4-5 3.2 用数学归纳法证明不等式,贝...

2016新课标三维人教B版数学选修4-5 3.2 用数学归纳法证明不等式,贝努利不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016新课标三维人教B版数学选修4-5 3.2 用...

3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式 教学案 1

3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式 教学案 1_高三数学_数学_高中教育_教育专区。3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式 教学案 1 教学目标: 1、牢固掌握...

高考数学复习点拨:贯穿于数学归纳法证明不等式的几个方...

2 3n 6 分析:该命题意图:本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤.用数学归 纳法证明,要完成两个步骤,这两个步骤是缺一不可的.但从证题的难...

3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式 教学案 3

3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式 教学案 3_高三数学_数学_高中教育_教育专区。3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式 教学案 3 教学目标: 1、了解数学...

用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N*),第二步由k到k+...

解:用数学归纳法证明等式1+++…+<f(n)(n≥2,n∈N*)的过程中, 假设n=k时不等式成立,左边=1+++…+, 则当n=k+1时,左边=1+++…+++…+, ∴由...

用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从n=k...

单选题 数学 数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从n=k到n=k+1,左边需增添的代数式是( ) A2k+2 B2k+3...