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2015届高考数学(理)第一轮复习达标课时跟踪检测:41 直接证明和间接证明含答案

时间:2015-02-06


课时跟踪检测(四十一)
第Ⅰ组:全员必做题
2

直接证明和间接证明

1.用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a,b, c 中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是( A.假设 a,b,c 都是偶数 B.假设 a,b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 至多

有一个偶数 D.假设 a,b,c 至多有两个偶数 2.(2014·银川模拟)设 a,b,c 是不全相等的正数,给出下列判断: ①(a-b) +(b-c) +(c-a) ≠0; ②a>b,a<b 及 a=b 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立, 其中正确判断的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3
2 2 2

)

3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,若 x1+x2>0,则 f(x1) +f(x2)的值( A.恒为负值 C.恒为正值 4. 创新题 在 R 上定义运算:? ) B.恒等于零 D.无法确定正负

?a b? ?x-1 a-2? ?=ad-bc.若不等式? ?≥1 对任意实数 x ? ?c d? ?a+1
) 3 B.- 2 D. 3 2 )

x 恒成立,则实数 a 的最大值为( 1 A.- 2 C. 1 2

5.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 6.设 a= 3+2 2,b=2+ 7,则 a,b 的大小关系为________.

7.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数 f(x)在[0,1]上有意义,且 f(0)=f(1),

-1-

1 如果对于不同的 x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|< .那么 2 他的反设应该是________. 8.已知点 An(n,an)为函数 y= x +1图像上的点,Bn(n,bn)为函数 y=x 图像上的点, 其中 n∈N ,设 cn=an-bn,则 cn 与 cn+1 的大小关系为________. 9.若 a>b>c>d>0 且 a+d=b+c, 求证: d+ a< b+ c. 10.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的图像与 x 轴有两个不同的交点,若 f(c)=0, 且 0<x<c 时,f(x)>0. 1 (1)证明: 是 f(x)=0 的一个根; a 1 (2)试比较 与 c 的大小; a (3)证明:-2<b<-1. 第Ⅱ组:重点选做题 1 1 1 1 1.设 M= 10+ 10 + 10 +?+ 11 ,则( 2 2 +1 2 +2 2 -1 A.M=1 C.M >1 B.M<1 D.M 与 1 大小关系不定 )
2 * 2

2.已知函数 y=f(x)的定义域为 D,若对于任意的 x1,x2∈D(x1≠x2),都有 f? <
1

?x1+x2? ? ? 2 ?
)

+ 2

2

,则称 y=f(x)为 D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为( B.y= x D.y=x
3

A.y=log2x C.y=x
2

答 第Ⅰ组:全员必做题



1.选 B “至少有一个”的否定为“都不是”.故选 B. 2.选 C ①②正确;③中,a≠b,b≠c,a≠c 可以同时成立,如 a=1,b=2,c=3,故 正确的判断有 2 个. 3.选 A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时,f(x)单调递减, 可知 f(x)是 R 上的单调递减函数, 由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),

-2-

则 f(x1)+f(x2)<0,故选 A. 4.选 D 据已知定义可得不等式 x -x-a +a+1≥0 恒成立,故 Δ =1-4(-a +a+
2 2 2

1 3 1)≤0,解得- ≤a≤ , 2 2 3 故 a 的最大值为 . 2 5.选 D 由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐角三角形,假 设△A2B2C2 是锐角三角形. sin A =cos A =sin? -A ?, ? ?2 ? ? ?π ? 由?sin B =cos B =sin? -B ?, ?2 ? π ? ?sin C =cos C =sin??? 2 -C ???,
2 1 1 2 1 1 2 1 1



?

? ? π 得?B = -B , 2 π ? ? C = 2 -C .
π A2= -A1, 2
2 1 2 1

π 那么,A2+B2+C2= ,这与三角形内角和为 180°相矛盾. 2 所以假设不成立,又显然△A2B2C2 不是直角三角形. 所以△A2B2C2 是钝角三角形. 6. 解析: a= 3+2 2, b=2+ 7两式的两边分别平方, 可得 a =11+4 6, b =11+4 7, 显然, 6< 7.∴a<b. 答案:a<b 1 7.答案:“? x1,x2∈[0,1],使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|则|f(x1)-f(x2)|≥ ” 2 8.解析:由条件得 cn=an-bn= n +1-n= ∴cn 随 n 的增大而减小.∴cn+1<cn. 答案:cn+1<cn 9.证明:要证 d+ a< b+ c,只需证( d+ a) <( b+ c) , 即 a+d+2 ad<b+c+2 bc, 因 a+d=b+c,只需证 ad< bc,
-32 2 2 2 2

1 n +1+n
2



即 ad<bc,设 a+d=b+c=t, 则 ad-bc=(t-d)d-(t-c)c=(c-d)(c+d-t)<0, 故 ad<bc 成立,从而 d+ a< b+ c成立. 10.解:(1)证明:∵f(x)的图像与 x 轴有两个不同的交点, ∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2, ∵f(c)=0, ∴x1=c 是 f(x)=0 的根, c 又 x1x2= , a 1? 1 ? ∴x2= ? ≠c?, a?a ? 1 ∴ 是 f(x)=0 的一个根. a 1 1 (2)假设 <c,又 >0, a a 由 0<x<c 时,f(x)>0,

?1? ?1? 知 f? ?>0 与 f? ?=0 矛盾, ?a? ?a?
1 ∴ ≥c, a 1 1 又∵ ≠c,∴ >c. a a (3)证明:由 f(c)=0,得 ac+b+1=0, ∴b=-1-ac. 又 a>0,c>0,∴b<-1. 二次函数 f(x)的图像的对称轴方程为 b x1+x2 x2+x2 1 x=- = < =x2= , 2a 2 2 a b 1 即- < . 2a a 又 a>0,∴b>-2, ∴-2<b<-1. 第Ⅱ组:重点选做题 1.选 B ∵2 +1>2 2 +2>2 ,?,2 -1>2 , 1 1 1 1 ∴M= 10+ 10 + 10 +?+ 11 2 2 +1 2 +2 2 -1
10 10, 10 10 11 10

-4-

<

1 1 1 10+ 10+?+ 10=1. 2 2 2
10

2 个 2.选 C 可以根据图象直观观察;对于 C 证明如下: 欲证 f? 即证?

?x1+x2?< ? ? 2 ?
2

1

+ 2

2



?x1+x2?2<x1+x2.即证(x +x )2<2x2+2x2. ? 1 2 1 2 2 ? 2 ?
2

2

即证(x1-x2) >0.显然成立.故原不等式得证.

-5-


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