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高考一轮复习:空间向量及其运算


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第6讲
【2015 年高考会这样考】

空间向量及其运算

1.考查空间向量的线性运算及其数量积. 2.利用向量的数量积判断向量的关系与垂直. 3.考查空间向量基本定理及其意义. 【复习指导】 空间向量的运算类似于平面向量的运算,复习时又对

比论证,重点掌握空间向量 共线与垂直的条件,及空间向量基本定理的应用.

基础梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)相等向量:方向相同且模相等的向量. (3)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量. (4)共面向量:平行于同一个平面的向量. 2.空间向量的线性运算及运算律 (1)定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算,如下: → =OA → +AB → =a+b;BA → =OA → -OB → =a-b;OP → =λa(λ∈R). OB (2)运算律:(1)加法交换律:a+b=b+a. (3)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (4)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 → =a,OB → =b,则∠AOB 叫做 已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作OA π 向量 a 与 b 的夹角,记作〈a,b〉 ,其范围是 0≤〈a,b〉≤π,若〈a,b〉=2, 则称 a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b. ②两向量的数量积
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已知空间两个非零向量 a,b 则|a||b|cos〈a,b〉叫做向量 a,b 的数量积,即 a· b =|a||b|cos〈a,b〉 . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)· b=λ(a· b); ②交换律:a· b=b· a; ③分配律:a· (b+c)=a· b+a· c. 4.基本定理 (1)共线向量定理: 空间任意两个向量 a、 b(b≠0), a∥b 的充要条件是存在实数 λ, 使 a=λb. (2)共面向量定理:如果两个向量 a,b 不共线,p 与向量 a,b 共面的充要条件是 存在实数 x,y 使 p=xa+yb. (3)空间向量基本定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p, 存在一个唯一的有序实数组 x,y,z,使 p=xa+yb+zc.

一种方法 用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是: (1)适当的选取基底{a,b,c}; (2)用 a,b,c 表示相关向量; (3)通过运算完成证明或计算问题. 两个理解 (1)共线向量定理还可以有以下几种形式: ①a=λb?a∥b; ②空间任意两个向量,共线的充要条件是存在 λ,μ∈R 使 λa=μb. → ,OB → 不共线,则 P,A,B 三点共线的充要条件是OP → =λOA → +μOB → 且 λ+ ③若OA μ=1. (2) 对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理 解. 空间向量基本定理是适当选取基底的依据,共线向量定理和共面向量定理是 证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具,三个定理保证了由向量 作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”.
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四种运算 空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到 内容完全 一致可类比学习.学生要特别注意共面向量的概念.而对于四种运算 的运算律,要类比实数加、减、乘的运算律进行学习. 双基自测 1.已知向量 a∥平面 β,向量 a 所在直线为 a,则( A.a∥β C.a 交 β 于一点 答案 D 2.(人教 A 版教材习题改编)下列命题: → +BC → +CD → +DA → =0; ①若 A、B、C、D 是空间任意四点,则有AB ②|a|-|b|=|a+b|是 a、b 共线的充要条件; ③若 a、b 共线,则 a 与 b 所在直线平行; → =xOA → +yOB → +zOC → (其中 ④对空间任意一点 O 与不共线的三点 A、B、C,若OP x、y、z∈R),则 P、A、B、C 四点共面.其中不正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 ). ).

B.a?β D.a∥β 或 a?β

解析 ①中四点恰好围成一封闭图形,正确; ②中当 a、b 同向时,应有|a|+|b|=|a+b|; ③中 a、b 所在直线可能重合; ④中需满足 x+y+z=1,才有 P、A、B、C 四点共面. 答案 C 3.(2012· 福州质检)a=λb(λ 是实数)是 a 与 b 共线的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 ).

D.既不充分也不必要条件

解析 a=λb?a∥b ?b=0, 但? 则 a∥b,a≠λb. ?a≠0, 答案 A → 、AD → 、AA → 两两的夹 4.(2012· 舟山月考)平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,向量AB 1
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→ → → → 角均为 60° ,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,则|AC1|等于( A.5 B.6 C.4 D.8

).

→ =a,AD → =b,AA → =c,则AC → =a+b+c, 解析 设AB 1 1 → 2=a2+b2+c2+2a· AC b+2b· c+2c· a=25, 1 → |=5. 因此|AC 1 答案 A → =a,OB → =b,OC → =c,D 为 BC 的 5.在四面体 OABC 中,OA → =________(用 a,b,c 表示). 中点,E 为 AD 的中点,则OE → =1OA → +1OD → =1OA → +1OB → +1OC → =1a+1b+1 解析 如图,OE 2 2 2 4 4 2 4 4 c. 1 1 1 答案 2a+4b+4c

考向一

空间向量的线性运算

【例 1】 ?如图, 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中 G 为△A1BD → =a,AD → =b,AA → =c,试用 a,b,c 表示AC →, 的重心,设AB 1 1 →. AG [审题视点] 正确运用空间向量的加法运算用已知向量表示出未知向量. → =AB → +BC → +CC → 解 AC 1 1 → +AD → +AA → =AB 1 =a+b+c. → +A → → =AA 1 1G AG → +1(A → → =AA 1 3 1D+A1B)

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1 → → → 1 → → =AA1+3(AD-AA1)+3(AB-AA1) 1 → 1 → 1→ =3AA 1+ AD+ AB 3 3 1 1 1 =3a+3b+3c. → =3AG → 即证明:A、G、C 三点共线.G (1)通过以上表示可以看出AC 1 1 为 AC1 的三分之一分点. (2)解决几何问题的难点是作辅助线,而利用向量解决几何问题恰好回避了这一 难点问题,把证明转化为运算.

【训练 1】 如右图,已知 M、N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD → 与面 ACD 的重心, 且 G 为 AM 上一点, 且 GM∶GA=1∶3.设AB → =b,AD → =c,试用 a,b,c 表示BG → ,BN →. =a,AC → =BA → +AG → =BA → +3AM → 解 BG 4 1 3 1 1 =-a+4(a+b+c)=-4a+4b+4c, → =BA → +AN → =BA → +1(AC → +AD → )=-a+1b+1c. BN 3 3 3 说明 此问题事实上解决了 B、G、N 三点共线问题,同学们可以通过此题想象 正四面体外接球和内切球的球心位置. 考向二 共线共面定理的应用

【例 2】?如右图,已知平行六面体 ABCDA′B′C′D′,E、 F、G、H 分别是棱 A′D′、D′C′、C′C 和 AB 的中点, 求证 E、F、G、H 四点共面. [审题视点] 四点共点,考虑构造有关向量,然后利用共面向量 定理证明. 证明 → AA ′
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1 → → =b、EH → =c,则HG → =HB → +BC → +CG → =D→ → 取ED ′=a、EF ′F+2ED ′+ 2

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1 → → 1 3 1 → → =b-a+2a+2(AH+HE+EA′)=b+a+2(b-a-c-a)=2b-2c, ∴H G 与 b、 c 共面.即 E、F、G、H 四点共面. → =λEF → +μEH → 即可,即证HG →、 证明 E、F、G、H 四点共线,只须证明HG → 、EH → 三个向量共面.此种方法也是证明直线与平面平行的方法. EF

【训练 2】 如图在三棱柱 ABCA1B1C1 中,D 为 BC 边 上的中点, 试证 A1B∥平面 AC1D. → =a,BB → =c,BC → =b, 证明 设BA 1 → =BA → +AA → 则 BA 1 1 → +BB → =a+c, =BA 1 → =AB → +BD → =AB → +1BC → =-a+1b, AD 2 2 → =AC → +CC → =BC → -BA → +BB → =b-a+c, AC 1 1 1 → =AC → -2AD → ,∵AB?平面 AC D, BA 1 1 1 因此 A1B∥平面 AC1D. 考向三 空间向量数量积的应用

【例 3】?如图,在四面体 SABC 中,若 SA⊥BC,SB⊥AC,试证 SC⊥AB. [审题视点] 可通过证明两直线的方向向量的数量积为 0 来证明两 直线垂直. → =a,SB → =b,SC → =c,由已知 SA⊥BC,SB⊥AC, 证明 取SA ?c-b?=0 ?a· 即? ?c-a?=0 ?b· ① ②

②-①得 c· (b-a)=0, 则 SC⊥AB. 利用空间向量的基本定理适当的选取基底,将立体几何问题转化为已

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?c-b?=0, ?a· 知? 求证 c· (b-a)=0 ?c-a?=0, ?b· 回避了传统几何法中作辅助线这一难题. 以上证法同时也证明了平面几何中“三 角形的三条高线交于同一点”这一命题. 【训练 3】 已知如右图所示, 平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形, 且∠C1CD=∠C1CB=∠BCD=60° . (1)求证:C1C⊥BD; CD (2)当CC 的值是多少时,能使 A1C⊥平面 C1BD?请给出证明.
1

(1)证明

→ =a,CB → =b,CC → =c, 取CD 1

由已知|a|=|b|,且〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60° , → =CD → -CB → =a-b,CC →· → BD (a-b)=c· a-c· b 1 BD=c· 1 1 → → =2|c||a|-2|c||b|=0,∴C 1C⊥BD,即 C1C⊥BD. (2)若 A1C⊥平面 C1BD, → =a+b+c,C → 则 A1C⊥C1D,CA 1 1D=a-c. →· → ∴CA (a-c)=0. 1 C1D=0,即(a+b+c)· 整理得:3a2-|a||c|-2c2=0, (3|a|+2|c|)(|a|-|c|)=0, ∴|a|-|c|=0,即|a|=|c|. CD |a| 即当CC = |c| =1 时,A1C⊥平面 C1BD. 1

规范解答 14——利用空间向量证明平行或垂直问题 【问题研究】 从近几年高考试题的命题情况来看,高考对平行、垂直关系的考 查主要以线面平行,线面垂直为核心,以多面体为载体结合平面几何知识,常和 角与距离的求解.体积的计算等综合命题,同时考查判定定理、性质定理、定义 以及对符号语言的识别和转化,难度以中低档题目为主.
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【解决方案】 建立空间直角坐标系,用坐标或基底表示相关的向量,把线面关 系的逻辑推理转化为相应直线的方向向量和平面的法向量之间的运算, 用代数运 算代替空间线面关系的逻辑推理,使证明和运算过程具有程序化.

【示例】? (本题满分 12 分)(2011· 全国改编)如图,四棱锥 SABCD 中, AB∥CD, BC⊥CD, 侧面 SAB 为等边三角形. AB =BC=2,CD=SD=1. (1)证明:SD⊥平面 SAB; (2)求 AB 与平面 SBC 所成的角的正弦值. (1)本题可以通过计算边边关系证明 SD⊥平面 SAB,第 2 问也可作出 AB 与平面 SBC 所成的角,利用解三角形来计算,但这种方法必须加辅助线,且 易找错角,故考虑用向量法,建立恰当的空间直角坐标系是解题关键.

[解答示范]

以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 正半轴,建立如图所示的空间直

角坐标系 Cxyz. 设 D(1,0,0),则 A(2,2,0)、B(0,2,0). 又设 S(x,y,z),则 x>0,y>0,z>0. (1)证明 → |得 =|BS ?x-2?2+?y-2?2+z2= x2+?y-2?2+z2, 故 x=1. → |=1 得 y2+z2=1, 由|DS → |=2 得 x2+(y-2)2+z2=4, 又由|BS 1 3 即 y2+z2-4y+1=0,故 y=2,z= 2 . ? 1 3? → ? 3 3? → ? 3 3? → ? 1 3? 于是 S?1, , ?, AS=?-1,- , ?, BS=?1,- , ?, DS=?0, , ?, 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? →· → =0, →· → =0, DS AS DS BS 故 DS⊥AS, DS⊥BS, 又 AS∩BS=S, 所以 SD⊥平面 SAB.(6 分)
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→ =(x,y-2,z),DS → =(x-1,y,z),由|AS →| A→ S =(x-2,y-2,z),BS

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(2)解 =0.

→ → → → 设平面 SBC 的法向量 a=(m,n,p),则 a⊥BS,a⊥CB,∴a· BS=0,a· CB

3 3? → → =? ?1,- , ?,CB 又BS =(0,2,0), 2 2 ? ? 3 ?m-3 n + 2 2 p=0, 故? ?2n=0.

(9 分)

取 p=2 得 a=(- 3,0,2). → 又AB=(-2,0,0), →a 21 → ,a〉= AB· cos〈AB = 7 . → |· |AB |a| 21 故 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 7 .(12 分) 直线和平面的位置关系可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间 的关系来判断.证明的主要思路是:(1)证明线线平行:可证两条直线的方向向 量共线;(2)证明 线面平行: ①证明直线的方向向量和平面的法向量垂直,②证明直线的方向向量 可用平面内的两个不共线向量线性表示; (3)证明面面平行:可证两个平面的法 向量共线;(4)证明线线垂直:可证两条直线的方向向量垂直;(5)证明线面垂直: ①证明直线的方向向量和平面内的两个不共线向量垂直, ②证明直线的方向向量 与平面的法向量共线;(6)证明面面垂直:可证两个平面的法向量互相垂直. 【试一试】 设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根;q:方程 x2+2(m -2)x-3m+10=0 无实根.求使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围. [尝试解答]
2 ?Δ1=4m -4>0, 由? 得 m<-1. ?x1+x2=-2m>0,

∴p:m<-1; 由 Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0, 知-2<m<3,∴q:-2<m<3. 由 p∨q 为真,p∧q 为假可知,命题 p,q 一真一假,

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?m<-1, 当 p 真 q 假时,? 此时 m≤-2; ?m≥3或m≤-2, ?m≥-1, 当 p 假 q 真时,? 此时-1≤m<3. ?-2<m<3, ∴m 的取值范围是{m|m≤-2,或-1≤m<3}.

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