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直线与圆的方程期末复习2打印

时间:2013-07-22


高 2015 级《直线与圆的方程》期末复习
一、直线与圆知识要点 (一)直线及方程 (1)直线的倾斜角及范围 . (2)直线的斜率: . (3)直线的倾斜角与斜率的关系(用函数图像表示): (4)过两点的直线的斜率公式: . (5)直线的方向向量: . (6)直线方程的点斜式: 斜截式 (7)直线方程的两点式: 截距式 (8)直线方程的一般式: . (二)两直线的位置关

系: (1)与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线方程为: (2)与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线方程为: (3)过两直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 交点的直线方程为: (4)两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 :
l1 与 l 2 平行,满足条件: l1 与 l 2 相交,满足条件: l1 与 l 2 垂直,满足条件:

.

.不能表示 .不能表示

直线 直线

(5)夹角公式: (6)点到直线的距离公式: (7)两平行线间距离公式: (三)圆的方程

向量式:

(1)圆心为 (a, b) ,半径为 r 圆的标准方程: (2)圆的一般方程 圆心坐标 半径 注意能将标准方程化为一般方程,能准确找到圆心与半径。 (3)圆的参数方程 圆心坐标 半径 注意能将标准方程化为一般方程,能准确找到圆心与半径 (或简单的看成一种三角代换) (四)直线、圆的位置关系 (1)判断方法:?代数法 ?几何法 (2)弦长的计算: (3)求圆的切线方程的方法: 特别注意: 过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条切线 的斜率不存在,记得要找回。 解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦 长、弦心距构成直角三角形.圆心在弦的中垂线上等) (4)圆与圆的位置关系及判断方法:

1

(五)圆系 (1)过直线与圆的交点的圆系方程: (2)过两圆交点的圆系方程: 特:求两圆相交公弦所在直线方程: (六)有关直线与圆的最值(借助几何意义转化。比如截距,斜率,距离相关等) (1)圆上的点到圆外一点的距离的最大值最小值。 (2)圆上的点到直线的距离的最大值最小值。 二、典型例题及练习
考点 1——直线的倾斜角 例 1-1:过 A(2,7),B(3,6)的直线的斜率 倾斜角 ,方向向量 练习一:与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直的直线的倾斜角为: 练习二:过坐标原点且与点( 3 ,1 )的距离都等于 1 的两条直线的夹角为: 考点 2——直线斜率的运用(重点) 例 2-1:要保持直线 y ? kx ? 1 始终与线段 x ? 1(?1 ? y ? 1) 相交,那么 k 的取值范围是

练习一:如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位再沿 y 轴正方向平移1 个单位后,又回到原来的位置,那么 直线 l 的斜率是 k= 练习二:直线 l 与两直线 y ? 1 和 x ? y ? 7 ? 0 分别交于 A, B 两点,若线段 AB 的中点为 M (1, ?1) ,则直 线 l 的斜率为 练习三:已知三点 A(1,1),B(x+1,x+1),C(m,2a+1)共线,则实数 m= 练习四:若直线斜率的取值范围为 ? 1 ? k ? 考点 3——求直线方程 例 3:三角形三个顶点是 A(4,0), B(6,7), C (0,3) ,求 BC 边上高、中线及中垂线所在的直线方程。

3 ,则倾斜角的取值范围为

练习一:一直线过点 M (?3, 4) ,并且在两坐标轴上截距之和为 12 ,这条直线方程是 练习二:一直线过点 M (?3, 4) ,并且在两坐标轴上截距互为相反数,这条直线方程是 考点 4——求直线方程中的参数问题 例 4:若方程 x ? my ? 2 x ? 2 y ? 0 表示两条直线,则 m 的取值是
2 2

. .

. )

练习一:若方程 (2m ? m ? 3) x ? (m ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足(
2 2

A. m ? 0

B. m ? ?

3 2

C. m ? 1

D. m ? 1 , m ? ? .

3 ,m ? 0 2

练习二:直线(a+3)x+(2a-1)y+7=0 恒过定点

2

考点 5——两直线的位置关系 例题 5-1:当 0 ? k ?

1 时,两条直线 kx ? y ? k ? 1 、 ky ? x ? 2k 的交点在 2

例题 5-2:直线 x cos ? ? y sin ? ? a ? 0 与 x sin ? ? y cos ? ? b ? 0 的位置关系是 练习一:直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0与x ? (a ? 1) y ? 2 ? 0 垂直,则 a 等于 练习二:过点 A(2,2)和直线 3x ? 4 y ? 20 ? 0 平行的直线方程为 ;平行时,a 等于 ,与其垂直的直线方程为

练习三:直线 l1 : y ? 2 x ? 3, l 2 与 l1 关于直线 y ? ? x 对称,直线 l 3 ⊥ l 2 ,则 l 3 的斜率是 考点 6——二元一次不等式组及线性规划处理问题

? y ? x ? 1, ? 则z ? x ? y 的最大值与最小值分别为 例题6.设 x,y 满足约束条件: ? y ? 2, ?2 x ? y ? 7 ?
延伸一:方程 x ? y ? 1 所表示的图形的面积为_________。 考点7——距离公式的运用 练习一:点 (2, k ) 到直线 5x ? 12 y ? 6 ? 0 的距离是 4,则 k= 练习二:与直线 x ? y ? 1 ? 0的距离为 2的直线方程为 考点8——圆的方程的应用 例8:已知圆的方程为 x2 – 2x + y2 – 4y – 5 = 0,则圆心坐标为_________,圆与直线 y = 5 相交所得的弦长 为_____________.
2 2 ( 练习一: 已知圆 C : x ? a) ? ( y ? 2) ? 4(a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 , 当直线 l 被 C 截得的弦长为 2 3

时,则 a ? 练习二:直线 3 x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对的圆心角为
2 2

考点9——直线与圆的位置关系问题 例9:已知圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 .
2 2

(1)若直线 l : 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 C1 相交于 E、F 不同两点,求线段 EF 的长; (2)若圆 C2 经过点 A(4, ?1) 且与圆 C1 外切于点 M (1, 2) ,求圆 C2 的方程.

练习一:设直线 l 过点 (?2,0) ,且与圆 x ? y ? 1 相切的切线方程为
2 2

练习二:若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的方程是 练习二:设 m ? 0 ,则直线 x ? y ? 1 ? m ? 0 与圆 x ? y ? m 的位置关系是
2 2

3

考点10——直线与圆相交问题 例:10:圆: x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0 和圆: x ? y ? 6 x ? 0 交于 A, B 两点,则 AB 的所在直线方程及
2 2 2 2

其垂直平分线的方程。 练习一:已知圆(x-3)2+y2=4 和直线 y=mx 的交点分别为 P,Q 两点,O 为坐标原点,则 OP ? OQ 的值 为 。 考点 11——直线与圆相交的参数问题 例 11:例若曲线 y ? 1 ? x 与直线 y ? x ? b 始终有交点,则 b 的取值范围是
2

; ;

若有一个交点,则 b 的取值范围是 考点12——圆的参数方程 例 12:把圆的参数方程 ? 考点13:定义的运用

;若有两个交点,则 b 的取值范围是

? x ? 1 ? 2 cos? 化成普通方程是 ? y ? ?3 ? 2 sin ?



例 13:方程 x ? 1 ? 1 ? ( y ? 1) 表示的曲线是(
2

) D.半圆

A.一个圆 B.两个半圆 考点 14:直线与圆的有关最值问题
2 2

C.两个圆

例 14-1:已知圆 ( x ? 2) ? y ? 1,求(1) x ? y 的最大值和最小值.
2 2

(2)求

y ?1 的最大值最小值。(3)求 x ? 2 y 的最大值最小值。 x?2

例 14-2:过点 P(2,1)的直线 l 交 x 轴,y 轴正半轴于 A、B 两点,求使: (1)△AOB 面积最小时 l 的方程; (2)|OA|+|OB|最小时 l 的方程; (3)|PA|·|PB|最小时 l 的方程.

练习一:已知点 M (a, b) 在直线 3x ? 4 y ? 15 上,则 a ? b 的最小值为
2 2

练习二:函数 f ( x) ?

x 2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值为

练习三:函数 y ? sin ? ? 1 的最大值、最小值分别为

cos? ? 2

4


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