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湖北省巴东一中高二数学教案 选修1-1:2.1 几个常见函数的导数


§1.2.1 几个常见函数的导数
【学情分析】 :
本节重要是介绍求导数的方法.根据导数定义求导数是最基本的方法.但是,由于最终总 会归结为求极限,而本章并没有介绍极限知识,因此,教科书只是采用这种方法计算

1 , y ? x 这五个常见函数的导数.学生只要会用导数公式和 x 求简单函数的导数即可. 【教学目标】 : 1 2 (1)用导数

定义,求函数 y ? c, y ? x, y ? x , y ? , y ? x 的导数. x y ? c, y ? x, y ? x 2 , y ?
(2)能用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数. (3)理解变化率的概念,解决一些物理上的简单问题,培养学生的应用意识.

【教学重点】 :
能用导数定义,求函数 y ? c, y ? x, y ? x , y ?
2

1 , y ? x 的导数. x

【教学难点】 :
能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数.

【教学过程设计】 :
教学环节 (1)复习导数概念及其几 何意义 教学活动 作业讲评及提问,回忆导数定义, 设计意图 为课题引入作铺垫.

(2)如何求函数的导数?

回顾分析导数定义,明确根据定义求导数的方 法.

课题引入.

(3)求函数的 y ? c, y ? x 导数.

以教师计算演示为主,说明根据定义求导数这 种方法的具体操作过程. 教师引导学生概括求以上函数导数的具体步 骤: (1)求

展示两个例子计算过程, 让学生体会根据定义求 导数的方法.

(4)概括根据定义求导数 的具体步骤.

?y ,化简; ?x ?y 化简结果 ? 于 ?x

(2)观察:”当 ?x ? 0 时, 哪 个定值?” (3)定值即为函数的导数.

将方法具体化为程序性 步骤,以便能快捷地根据 定义求导数.

(5)根据概括的具体步骤 求函数的

1 y? x ,y? ,y? x x
2

学生亲自动手计算,并展示结果,教师给予评 价和点评出现的问题.

让学生模仿, 根据具体 步骤亲自尝试求导过程.

导数.
-1-

(6)函数

y ? c, y ? x, y ? x 的
2

几何意义是什么?从物体 运动角度看,他们各自的 物理意义是什么?

让学生画图象,引导学生从几何和物理角度两 方面解释导数的意义,理解导数的内涵.

将导数各方面的意义联 系起来,相互转化,让学 生进一步理解导数的内 涵.

(7)教科书 P13 探究一.

教师指导学生分组进行探究性学习,分别展示 研究结论,教师分析点评并小结.

(1) 学生通过练习进一 步熟悉方法. (2) 数形结合,进一步理 解导数内涵. (3) 为 1.3 作铺垫.

学生板演,教师巡堂;(2)小结点评更正;(3)教 师展示: ( x n )' ? nxn?1 ( n ? N )
*

证明: y ? f ( x) = x

n

∴Δ y=f(x+Δ x)-f(x)= ( x ? ?x)n ? xn (8)求 ① y ? x, y ? x2 , y ? x3
n

= x + Cn x
n

n

1

n ?1

Δ x+ C n x
1
n ?1

2

n?2

( Δ x) + …
2
n?2

2

的导数?

+ C n (?x) n - x = Cn x x) +…+ C n (?x) n ,
2

Δ x+ C n x



类比归纳,扩展提升. 说明:实际上,此公式对 n ? R 都成立,但证明较 复杂, 所以课本只给出了

1 ②求 y ? , y ? x 的 x
导数? ③猜想 y ? xn 的导数?

n

?y 1 2 n?2 n ?1 = Cn x + C n x Δ ?x

n ? N * 的证明.
注:针对平行班的情况, 可 省 去

x+…+ C n (?x)n ?1 ∴ y? = ( x n )? = lim
n

?y = ?x ?0 ?x
Δ x+ …

( x n )' ? nxn?1 ( n ? N * )
的证明过程。

?x ?0

lim (C1 n
n

x n ?1 + C 2 n
1
n ?1

x n?2
=n x
n ?1

+ C n · (?x)n ?1 )= Cn x ∴ y? = ( x n )' ? nxn?1 . (9)如何求

y ? x, y ? x , y ? x 的
2 3

导数? (10) 求

学生讨论,研究.可以从代数的四则运算谈起, 顺便回故所学过的代数运算,强调运算法则的 必要性和合理性和实用性.

探讨导数应该有哪些运 算法则?

y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 5x ? 4
的导数.

解: y' ? 3x ? 6x ? 5 .
2

熟悉运算法则

-2-

(1)求函数 y ? f ( x) 的导数的一般方法: ①求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) .

(11)课堂小结

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? . ?x ?x ?y ③取极限,得导数 y / = f ?( x) ? lim . ?x ?0 ?x
②求平均变化率 (2)常见函数的导数公式: C ' ? 0 ; ( x n )' ? nxn?1 . (3)运算法则 1 两个函数的和(或差)的导数, 等于这两个函数的导数的和 (或差),即 (u ? v)' ? u '?v' .

(12)作业布置:教科书 P13 探究二(函数变式: y ? x ?

1 ),P18A 组 1,2,5 x

注:如果环节(8) ③中未完成则课后做作业. 练习与测试: 1.求下列函数的导数:(1) y ?
3

1 x3

(2) y ?

3

x.

2.质点的运动方程是 s = t ,(s 单位 m,t 单位 s),求质点在 t=3 时的速度. 3.物体自由落体的运动方程是 s = s(t )=

1 2 2 gt ,(s 单位 m,t 单位 s,g=9.8 m/s ),求 t=3 时的速 2

度. 4 4.求曲线 y=x 在点 P(2,16)处的切线方程. 5. 求曲线 y ? sin x 在点 A (
4

? 1

, ) 的切线方程. 6 2

6.求曲线 y=x 在点 P(2,16)处的切线方程. 参考答案: 1. (1) y′= (

1 -3 -3-1 -4 )′= (x )′= -3x = -3x 3 x

(2) y ? ? (3

1 1 1 ?1 1 ? 2 x )? ? ( x 3 )? ? x 3 ? x 3 3 3
3 3-1

2.解:v =s′=(t )′=3t 3.解:v=s′(t)=(

=3t , ∴当 t=3 时,v=3×3 =27 m/s,∴质点在 t=3 时的速度为 27 m/s.

2

2

1 2 1 2-1 gt )′= g·2t =gt. ∴t=3 时,v=g·3=9.8·3=29.4 m/s, 2 2

∴t=3 时的速度为 29.4 m/s. 4 4-1 3 3 4.解:y′=(x )′=4x =4x .∴y′|x=2=4·2 =32,∴点 P(2,16)处的切线方程为 y-16=32(x-2), 即 32x-y-48=0.

-3-

5.∵

y ? sin x



y ? ? (sin x)? ? cos x ∴

y ? x ?? ? cos
6

?
6

?

3 2

∴ 所求切线的斜率 k ?

3 2

∴ 所求切线的方程为

y?

1 3 ? ? (x ? ) , 2 2 6



6 3x ? 12y ? 6 ? 3? ? 0

答:曲线 y ? sin x 在点 A (
4 4-1 3

? 1

, ) 的切线方程为 6 3x ? 12y ? 6 ? 3? ? 0 . 6 2
3

6.y′=(x )′=4x =4x .∴y′|x=2=4·2 =32 ∴点 P(2,16)处的切线方程为 y-16=32(x-2),即 32x-y-48=0.

-4-


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