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高三数学附加题集中训练(二项式定理、数学归纳法等)


高三数学附加题集中训练(2)
1、试问函数 f ( x) ? x ? sin x 是否为周期函数?请证明你的结论.
f ( x) ? x ? sin x 不是周期函数. 证明如下: (反证法) 、假设函数 f ( x ) 的一个周期为 T (T ? 0) ,则有 f ( x ? T ) ? f ( x) 成立, ?T ? sin T ? 0 即 T ? sin

( x ? T ) ? sin x 对一切实数 x 均成立.取 x ? 0 和 x ? ? 得 ? ?T ? 0 ?T ? sin T ? 0 此与 T ? 0 相矛盾,所以假设不成立,于是可知,函数 f ( x) ? x ? sin x 不是周期函数. 2 2、在 ( x ? 3 ) n 的展开式中,已知第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 56 : 3 . x
【解析】函数 (1)求展开式中所有项的系数之和及奇数项的二项式系数之和; (2)求展开式中的所有有理项; (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 【解析】 (1)由 Cn (?2)
4 4

: C2( ? 2 ? 56:3 n 2)

,解得 n

? 10 ,所有项的系数之和为 (1 ? 2)10 ? 1 ,奇数项的二项

式系数之和为 2 (2) Tr ?1

10 ?1

? 512 ;

5 5? r 5 2 r r ? C10 ( x )10?r (? 3 )r ? (?2)r C10 x 6 , 5 ? r 应为整数, r 可取 0, 6 ,于是有理项 6 x 5 为 T ? x 和 T7 ? 13440 ; 1

22 ? r r 5 ?r ? 3 ? ?C10 2 r ? C10?1 2 r ?1 ? (3) ? r r 由 , 解得 ? , 于是 r 只能为 7 , 所以系数绝对值最大的项为 T8 ? ?15360 x 6 . r ?1 r ?1 ?C10 2 ? C10 2 ? r ? 19 ? 3 ? 1 1 1 3 5 3、已知 f (n) ? 1 ? ? ? ??? ? (n ? N ? ) .经计算得 f (2) ? 、 f (4) ? 2 、 f (8) ? 、 f (16) ? 3 、 2 3 n 2 2 7 f (32) ? 、……,通过观察,可以得到一个一般性的结论. 2
(1)试写出这个一般性的结论; (2)请证明这个一般性的结论; (3)对任一给定的正整数 a ,试问是否存在正整数 m ,使得 1 ? 条件的正整数 m 的一个值;若不存在,请说明理由. 【解析】 (1)

1 1 1 ? ? ??? ? ? a ?若存在,请给出符合 2 3 m

1 f (2n ) ? 1 ? n (当且仅当 n ? 1 时取等号) 2

(2)证明: (数学归纳法)

1?

当n

? 1 时,显然成立

2?

1 1 1 1 1 ? k 时成立,即 ? ? ? ? ? k ? 1 ? k 、 1 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? k ? ? ? k ?1 当 n ? k ? 1 时,左边 ? ? ? ? ? ? k ? k 1 2 3 2 2 ?1 2 ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? k ? k ? k ? ? ? k ?1 ? 1 ? k ? k ?1 ? k ?1 ? ? ? k ?1 ? 1 ? k ? ? 右边 2 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2? ???????????????
假设当 n
共 2k 项

即当 n

? k ? 1 时,也成立.

由 1? 、 2? 知,

1 f (2n ) ? 1 ? n 成立. 2
1

(3)存在、可取 m ? 2

2a



4、若 (ax ? 2b)6 的展开式中 x 2 与 x3 的系数之比为 3 : 4 ,其中 a ? 0, b ? 0 .
(1)当 a

? 1 时,求 (ax ? 2b)6 的展开式中二项式系数最大的项; ....

(2)令 F (a, b)

?

b3 ? 16 ,求 F (a, b) 的最小值. a
2
2 4

【解析】 (1)展开式中含 x 的项为 240a

b x 2 ;展开式中含 x3 的项为 160a3b3 x3 、得

240a 2b 4 3b 3 ? ? , 160a3b3 2a 4

3 a ? 2b ,当 a ? 1 时, (ax ? 2b)6 的展开式中二项式系数最大的项为 T4 ? C6 x3 ? 20x3 ;

(2)由 a

? 2b , F (b) ?

8 b3 ? 16 b2 8 ? ? , F ' (b) ? b ? 2 b 2b 2 b

,当 b ? (0,2) 时, F

'

(b) ? 0 ,当 b? (2, ??)

时,

F ' (b) ? 0 ,所以 F (b) ?

b3 ? 16 b2 8 ? ? 在 (0, 2) 递减,在 (2, ??) 递增,得 F (a, b) 的最小值为 2b 2 b

Fmin ? F (2) ? 6 ,此时 a ? 4 、 b ? 2 .
5、用数学归纳法证明:1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ?
【解析】 (1)当 n ? 1 时,左边 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 ,右边 ? (2)设当 n ? k (k ? N ) 时,等式成立,
*

n(n ? 1)( n ? 2)( n ? 3) (n ? N * ) . 4

1? 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 左边,∴等式成立. 4

即 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ?

k (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3) .则当 n ? k ? 1 时, 4

左边 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3)

?

k (k ? 1 )k( ? 4

2 )? k ( 2k)? (

3) ? (k ? 1 )k( ?

2k)? (

3) k3?) ( 4)

k (k ? 1 )k( ? 2k)? ( 3? ( ? 1 ) ) 4 4 (k ? 1)(k ? 1 ? 1)(k ? 1 ? 2)(k ? 1 ? 3) ? . 4 ? (k ? 1 )k( ?
∴ n ? k ? 1 时,等式成立. 由(1)(2)可知,原等式对于任意 n ? N 成立. 、
*

6、已知数列 {an } 是正数组成的数列,其前 n 项和为 S n ,对于一切 n ? N ? 均有 an 与 2 的等差中项等于 S n 与 2 的
等比中项. (1)计算 a1 、 a2 、 a3 ,并由此猜想 {an } 的通项公式 an ; (2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想.

2

【解析】 (1)由 a n ? 2 ?

2

(a ? 2) 2 可求得 a 2S n 得 S n ? n 1 8

? 2 、 a2 ? 6 、 a3 ? 10 ,由此猜想 {an } 的通项公式

an ? 4n ? 2(n ? N ? ) ;
(2)证明:①当 n

? 1 时, a1 ? 2 ,等式成立;

②假设当 n

? k 时,等式成立,即 ak ? 4k ? 2 ,? ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ?

(ak ?1 ? 2)2 (ak ? 2)2 ? 8 8



(ak ?1 ? ak )(ak ?1 ? ak ? 4) ? 0 ,又 ak ?1 ? ak ? 0 ,? ak ?1 ? ak ? 4 ? 0 , ?ak ?1 ? ak ? 4 ? 4k ? 2 ? 4 ? 4(k ? 1) ? 2

? 当 n ? k ? 1 时,等式也成立,由①②可得 an ? 4n ? 2(n ? N ? ) 成立.
( 7、已知 x 2 ? 1 x ) n 的展开式中第 3 项的系数与第 5 项的系数之比为
3 . 14

(1)求 n 的值;

(2)求展开式中的常数项.

n(n ? 1) 3 4 1 3 2 4 4 2 ? 【解析】 (1)由题设,得 C n ?? 1? : C n ( ?1) ? ,则 ? ? n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) 14 14 (n ? 2)(n ? 3) 14 4 ?3? 2
2

. ? n 2 ? 5n ? 50 ? 0 ,所以 n ? 10 或 n ? ?5 (舍)
1 20?2 r ? r ? 1 ? 1 r 2 (?1) ? ? ? C10 x (?1) r 、当 20 ? 2r ? r ? 0 即当 r ? 8 时为常数项 ? ? 2 ? x?
r r

(2)Tr ?1

? C (x )
r 10

2 10 ? r

8 2 T9 ? C10 (?1)8r ? C10 ? 45.

8、已知 ?x ? 1? ? a0 ? a1 ?x ? 1? ? a2 ?x ? 1? ? ? ? an ?x ? 1?
n 2

n

(n ?

2, n ? N * ) .

(1)当 n

? 5 时,求 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值;

(2)设 bn

?

a2 n?n ? 1??n ? 1? , Tn ? b2 ? b3 ? ? ? bn ,试用数学归纳法证明:当 n ? 2 时, Tn ? . n ?3 3 2
5

【解析】 (1)记

f ?x? ? ?x ? 1?

,则 a1

? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? f ?2? ? f ?1? ? 35 ? 25
n

(2)设 x ?1 ?

2 y ,则原展开式变为 ? y ? 2? ? a0 ? a1 y ? a2 y 2 ? ... ? an y n ,则 a2 ? Cn 2 n?2

所以 bn

?

a2 ? n?n ? 1? ,当 n ? 2 时, T2 ? 2, b2 ? 2 ,结论成立,假设 n ? k 时成立,即 2 n ?3
3

Tk ?

k ?k ? 1??k ? 1? k ?k ? 1??k ? 1? ? ?k ? 1?k ,那么 n ? k ? 1 时, Tk ?1 ? Tk ? bk ?1 ? 3 3

? k ? 1 ? k ?k ? 1??k ? 2? ?k ? 1???k ? 1? ? 1???k ? 1? ? 1? ? ,结论成立, ? k ?k ? 1?? ? 1? ? 3 3 ? 3 ?
所以当 n

? 2 时, Tn ?

n?n ? 1??n ? 1? . 3

9、已知 f n ( x) ? (1 ? x) n .
①若 g ( x)

? f 6 ( x) ? 2 f 7 ( x) ? 3 f 8 ( x) ,求 g (x) 的展开式中 x 6 的系数;
m m m m ? 2C m ?1 ? 3C m ? 2 ? ? ? nC m ? n ?1 ?

②证明: C m

(m ? 1)n ? 1 m ?1 C m? n . m?2

【解析】 (1) 99 ; (2)设 h( x)

? (1 ? x) m ? 2(1 ? x) m?1 ? ? ? n(1 ? x) m?n?1 ……①,则 h(x) 展开式中 x m 的系数为

m m m m Cm ? 2Cm?1 ? 3Cm?2 ? ? ? nCm?n?1 , (1 ? x)h( x) ? (1 ? x) m?1 ? 2(1 ? x) m?2 ? ? ? n(1 ? x) m?n …②

? xh( x) ? (1 ? x) m ? (1 ? x) m?1 ? ? ? (1 ? x) m? n?1 ? n(1 ? x) m? n
①-②得

?
2

(1 ? x) m [1 ? (1 ? x) n ] ? n(1 ? x) m? n 1 ? (1 ? x)

所以 x

h( x) ? (1 ? x) m ? (1 ? x) m?n ? nx(1 ? x) m?n …③,则 h(x) 展开式中 x m 的系数即是③式右边
(m ? 1)n ? 1 m ?1 C m? n , m?2 (m ? 1)n ? 1 m ?1 ? C m? n . m?2

m? 2 m?1 x m? 2 的系数,③式右边 x m? 2 的系数为 ? Cm?n ? nCm?n ?
m m m m ? 2C m ?1 ? 3C m ? 2 ? ? ? nC m ? n ?1

所以有 C m

1 10、已知二项式 ( x ? ) n 的展开式中前三项的系数成等差数列. 2 (1)求 n 的值; 1 n 2 n n (2)设 ( x ? ) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? an x ,①求 a5 的值;②求 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? (?1) an 的值; 2
③求 ai (i

? 0,1, 2,?n) 的最大值.
0

【解析】 (1)由题设得 Cn ?

1 1 . ? C2 ? 2 ? ? C1 ,即 n 2 ? 9n ? 8 ? 0 ,解得 n ? 8 或 n ? 1 (舍去) n n 4 2

(2) ① Tr ?1

?C x
r 8

8? r

?1? ? ? ?2?

r

,令 8 ? r

? 5 ? r ? 3 , a5 ?

7 ; 4

②在等式的两边取 x

? ?1 得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a8 ?

1 ; 256

4

1 ? 1 1 r ?1 ?1 r ? 8 ? r ≥ 2(r ? 1) , ? 2r C8 ≥ 2r ?1 C8 ? ? ③设第 r ? 1 的系数最大,则 ? 即? 解得 r ? 2 或 r ? 3 ,所以 ai 系数最大值为 7 . 1 r 1 r ?1 ? C ≥ ?1 ≥ 1 . C ? 2r 8 2r ?1 8 ? 2r 9 ? 1 ? ?

11、已知 ( x ?1)n ? a0 ? a1 ( x ?1) ? a2 ( x ?1)2 ? a3 ( x ?1)3 ? ?? an ( x ?1)n (其中 n ? N ? ) .
⑴求 a0 及 Sn

? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ;
n

⑵试比较 Sn 与 (n ? 2)2 【解析】⑴取 x ∴ Sn

? 2n2 的大小,并说明理由.

? 1 ,则 a0 ? 2n ;取 x ? 2 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 3n ,

? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 3n ? 2n ;
n

⑵要比较 Sn 与 (n ? 2)2 当n

? 2n2 的大小,即比较 3n 与 (n ? 1)2n ? 2n2 的大小,当 n ? 1 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 ;

? 2 、 3 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 ;当 n ? 4,5 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 ; ? 4 时,3n ? (n ?1)2n ? 2n2 , 下面用数学归纳法证明: 由上述过程可知,n ? 4 时结论成立, 假设当 n ? k

猜想: n 当 (k

? 4 )时结论成立,即 3k ? (k ?1)2k ? 2k 2 ,两边同乘以 3 得

3k ?1 ? 3 ?(k ? 1)2k ? 2k 2 ? ? k 2 k ?1 ? 2( k ? 1) 2 ? [( k ? 3)2 k ? 4k 2 ? 4k ? 2] ? ?
而 (k ? 3)2 ∴3
k ?1 k

? 4k 2 ? 4k ? 2 ? (k ? 3)2k ? 4(k 2 ? k ? 2) ? 6 ? (k ? 3)2k ? 4(k ? 2)(k ? 1) ? 6 ? 0

? ((k ? 1) ?1)2k ?1 ? 2(k ? 1)2 即 n ? k ? 1 时结论也成立,∴当 n ? 4 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 成立.

2 12、已知正项数列 ?an ? 中,对于一切的 n ? N * 均有 an ? an ? an?1 成立.

(1)证明:数列 【解析】 (1)由 an ∴ an
2

?an ? 中的任意一项都小于 1 ;

(2)探究 an 与

1 n

的大小,并证明你的结论.

2 ? an ? an?1 得 an?1 ? an ? an ,∵在数列 ?an ? 中 an ? 0 ,∴ an?1 ? 0 ,

? an 2 ? 0 ,所以 0 ? an ? 1 ,故数列 ?an ? 中的任意一项都小于 1 .
an ? 1 ?

(2)由(1)知 0 ?

1 1 2 1 1 1 1 2 ,那么 a2 ? a1 ? a1 ? ?(a1 ? ) ? ? ? ,由此猜想: an ? n 2 4 4 2 1

(n

? 2)

下面用数学归纳法证明: ①当 n

? 2 时,显然成立; ? k 时( k ? N ? , k ? 2 )时,假设猜想正确,即 ak ?

②当 n

1 1 ? , k 2

5

那么 ak ?1 ∴当 n

1 1 1 1 1 1 1 k ?1 k ?1 1 2 ? ak ? ak ? ?(ak ? ) 2 ? ? ?( ? ) 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? , 2 4 k 2 4 k k k k ?1 k ? 1
? k ? 1 时,猜想也正 确
*

1 . n 13、已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? ?an2 ? pan ( p ? R) ,且 a1 ? (0, 2) ,试猜想 p 的最小值,使得 an ? (0, 2)
综上所述,对于一切 n ? N ,都有 an

?

对 n ? N 恒成立,并给出证明.
*

【解析】当 n

? 1 时, a2 ? ?a12 ? pa1 ? a1 (?a1 ? p) ,因为 a1 ? (0, 2) ,所以欲 a2 ? (0, 2) 恒成立,

? p ? a1 ? 则要 ? 2 恒成立,解得 2 ? p ? 2 2 ,由此猜想 p 的最小值为 2 ,因为 p ? 2 ,所以要证该猜想成立, p ? a1 ? ? a1 ? * 只要证:当 p ? 2 时, an ? (0, 2) 对 n ? N 恒成立, 现用数学归纳法证明之:①当 n ? 1 时结论显然成立; 2 ②假设当 n ? k 时结论成立,即 ak ? (0, 2) ,则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? ?ak ? 2ak ? ak (2 ? ak ) ,
一方面, ak ?1

? ak (2 ? ak ) ? 0 成立;

另一方面, ak ?1

? ?ak 2 ? 2ak ? ?(ak ?1)2 ? 1 ? 1 ? 2 ,所以 ak ?1 ? (0, 2) ,即当 n ? k ? 1 时结论也成立.
p 的最小值为 2 .

由①、②可知,猜想成立,即

14、设 (1 ? 2x) 5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 .
求:⑴ a1 ⑵ a1

? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值;

? a3 ? a5 的值; | ? | a2 | ? | a3 | ? | a4 | ? | a5 | 的值.

⑶ | a1 【解析】设

f ( x) ? (1 ? 2x) 5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 ,令 x ? 0 ,得 a0 ? 1
⑴令 x

? 1 , f (1) ? 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ? (?1) 5 ? ?1 ,∴ a1 ? a2 ? ? ? a5 ? ?2

⑵ ? 122 ; ⑶ 242

6


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