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2010年山东潍坊市高考押题卷文科数学及答案

时间:2010-06-06


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2010 年 山 东 潍 坊 市 高 考 押 题 卷

高三文科数学试题

2010.6

一,选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 设集合 P={1,2,3,4},集合 Q ={3,4,5} ,全集 U=R,则集合 P ∩ u Q = A. {1,2} B. {3,4} C. {1} D. {-2,-1,0,1,2}
x y

2.已知 x,y∈R,i 为虚数单位,且 ( x 1)i y = 2 + i ,则 (1 + i )

的值为

B. 4 C. 1 D. 1 A. 4 3. 如图表示甲,乙两名篮球运动员的每场比赛得分情况的茎叶图,则甲得分的众 数与乙得分的中位数之和为 A. 57 B. 58 C.39 D.40 4. 已知直线 l ⊥平面 α,直线 m 平面 β,给出下列命题: ①α‖β l⊥m ②α⊥β l‖m ①l⊥m α‖β ③l‖m α⊥β 其中正确命题的序号是 A. ①②③
x

B. ②③①
a

C. ①③

D. ②①

5. 已知 f1 ( x ) = a , f 2 ( x ) = x , f 3 ( x) = log a x ,( a > 0 且 a ≠ 1 ),在同一坐标系中画 出其中两个函数在第Ⅰ象限的图象,正确的是

A

B

C

D

6. 一等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么顶角的余弦值为 A.

5 18

B.

3 4

C.

3 2

D.

7 8

kx + 1 (3≤x < 0) 7.函数 y = 8π 的图象如图,则 2sin(ω x + φ ) (0≤x≤ 3 )
A. k =

1 1 π ,ω = ,φ = 3 2 6 1 π C. k = , ω = 2, φ = 3 6

B. k =

1 1 π ,ω = ,φ = 3 2 3

D. k = 3, ω = 2, φ =

π
3

8.如图所示是以建筑物的三视图,现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方米

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用漆 0.2kg,则共需油漆大约公斤数为(尺寸如图所示,单位:米 A. 20 C . 111
2

π 取 3)

B. 22.2 D. 110

9. 抛物线 y = 12 x 的准线与双曲线

x2 y 2 = 1 的两渐近线围成的三角形的面积为 9 3
C. 2 D. 3 3

A.

3

B. 2 3
2 2

10. 已知 a.b∈R,那么 " a + b < 1 " 是" ab+1>a+b"的 A.充要条件 要条件 11. 在圆 x 2 + y 2 = 5 x 内,过点( B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必

5 3 , )有 n 条弦的长度成等差数列,最小弦长为数列 2 2 1 1 的首项 a1 ,最大弦长为 a n ,若公差为 d∈[ , ],那么 n 的取值集合为 6 3
A. {4,5,6,7} B. {4,5,6} C. {3,4,5,6} D. { 3.4.5,6,7}

3x y 6 ≤ 0 12. 设 x, y 满足约束条件 x y + 2 ≥ 0 ,若目标函数 z=ax+by(a.>0,b>0),最大值为 12,则 x ≥ 0, y ≥ 0
2 3 + 的最小值为 a b 24 A. 7

B.

25 6

C. 5

D. 4

二,填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知等差数列 {an } 的公差为 d ( d ≠ 0) ,且 a3 + a6 + a10 + a13 = 32 ,若 am = 8 ,则

m=

. 14.如图是为计算 10 个数的平均数而设计的算法框图, 请你把图中缺失的部分补充完整

________.

15.已知 OA = 1, OB =

2, OAiOB = 0, 点 C 在 ∠AOB 内, ∠AOC = 45 0 ,设
m = _______. n

OC = mOA + nOB,(m, n ∈ R ), 则
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16. 已知 f(x)为 R 上的偶函数, 对任意 x ∈ R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)且当 x 1 ,x 2 ∈ [0,3],x 1 ≠ x 2 时, 有

f ( x1 ) f ( x 2 ) >0 成立,给出四个命题: x1 x 2

① f(3)=0; ② 直线 x=-6 是函数 y=f(x)的图像的一条对称轴; ③ 函数 y=f(x)在[-9,-6]上为增函数; ① 函数 y=f(x)在[-9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为______________. 三,解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 设 f ( x ) = 6 cos x 2 3 sin x cos x .
2

(Ⅰ)求 f (x ) 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)若锐角 α 满足 f (α ) = 3 2 3 ,求 tan α 的值. 18.(本小题满分 12 分) 如图所示,在棱锥 P-ABCD 中, PA ⊥ 平面 ABCD ,底面 ABCD 为直角梯 形,且 AB // CD , ∠BAD = 90 ,PA=AD=DC=2,AB=4. (Ⅰ)求证: BC ⊥ PC ; (Ⅱ)若 F 为 PB 的中点,求证:CF//平面 PAD. 19.(本小题满分 12 分) 某班全部 t 名学生在一次百米测试中,成 绩全部介于 13 秒和 18 秒之间.将测试结果按 如下方式分为五组:第一组[13,14);第二组 [14,15);…;第五组[17,18],右表是按上述分 组方式得到的频率分布表. (Ⅰ)求 t 及上表中的 x, y, z 的值; " m n > 1 "的概率.

分 组 [13,14) [14,15) [15,16) [16,17) [17,18]

频数

频率

x
9

0.04

y
0.38 0.32 0.08

z
16 4

(Ⅱ)设 m,n 是从第一组或第五组中任意抽取的两名学生的百米测试成绩,求事件

20.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且an +1 = S n —n+3,n ∈ N + , a1 = 2 .
+

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项; (Ⅱ)设 bn =

n ( n ∈ N + ) 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn < 4 . Sn n + 2 3

21.(本小题满分 12 分)

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若椭圆 E1 :

x2 y2 x2 y2 a b + 2 = 1 和椭圆 E2 : 2 + 2 = 1 满足 2 = 2 = m(m > 0) ,则称这两 2 a1 b1 a2 b2 a1 b1

个椭圆相似, m 是相似比. (Ⅰ)求过( 2, 6) 且与椭圆

x2 y 2 + = 1 相似的椭圆的方程; 4 2

(Ⅱ)设过原点的一条射线 l 分别于 (I) 中的两椭圆交于 A, 两点 B (点 A 在线段 OB 上) . 求 OA OB 的最大值和最小值. 22.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) = (2 a ) ln x +

1 + 2ax . x

(Ⅰ)当 a = 0 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a ≠ 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 a = 2 时,对任意的正整数 n ,在区间 [ , 6 + n + ] 上总有 m + 4 个数使得

1 2

1 n

f (a1 ) + f (a2 ) + f (a3 ) + f (am ) < f (am +1 ) + f (am + 2 ) + f (am + 3 ) + f (am + 4 )
成立,试求正整数 m 的最大值.

参 考 答 案
一,选择题:AADCB DABDC AB 二,填空题:13. 8 14.A=

S 10

15.

2

16. ①②①

三,解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解: (Ⅰ)f ( x ) = 6

(1 + cos 2 x) π 3 sin 2 x = 2 3 cos(2 x + ) + 3 , 2 6

………………

3分 故 f(x)的最小正周期 T = π . 分 由 π + 2kπ ≤ 2 x + 分

…………………………………………………………4

π
6

≤ 2kπ 得 f(x)的单调递增区间为 [kπ

7π π , kπ ](k ∈ Z ) .……6 12 12

(II)由 f (α ) = 3 2 3 得 2 3 cos(2α +

) + 3 = 3 2 3 ,故 cos(2α + ) = 1 . 6 6 π π π π π 5π 又由 0 < α < 得 < 2α + < π + , 因此 2α + = π ,∴ α = . 2 6 6 6 6 12

π

π

3 +1 5π π π 3 则 tan α = tan = tan( 3 + ) = = 2 + 3 . ………………………………12分 12 6 4 3 1 3
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18. 解:(Ⅰ)在直角梯形 ABCD 中,AC= 2 2 , 取 AB 中点E,连接CE, 则四边形AECD为正方形,

………2分

∴ AE=CE=2,又BE=

1 AB = 2 , 2

则 ABC 为等腰直角三角形, ∴ AC ⊥ BC , …………………………4分 又∵ PA ⊥ 平面ABCD, BC 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ BC ,由 AC ∩ PA = A 得 BC ⊥ 平面PAC, ∵ PC 平面PAC,所以 BC ⊥ PC . ………6分 (Ⅱ)取 PA 的中点 G,连结 FG,DG, 则 GF //

1 AB //DC ,∴ GF //DC . 2

……8分

∴四边形 DCFG 为平行四边形,DG//CF. ……10分 又 DG 平面 PAD, CF 平面 PAD, ∴CF//平面 PAD. ………………………………12分 19 . 解 : ( Ⅰ

)







,

t=

4 = 50 0.08

,

………………………………

y = 1 0.04 0.38 0.32 0.08 = 0.18 , x = 50 × 0.04 = 2 , z = 50 × 0.38 = 19 .
………………………………6 分

(Ⅱ)由题知,第一组有 2 名同学,设为 a, b ,第五组有 4 名同学,设为 A, B, C , D . 则 m, n 可能的结果为: (a, b), ( a, A), ( a, B ), ( a, C ), ( a, D ), (b, A), (b, B ), (b, C ), (b, D ),

( A, B ), ( A, C ), ( A, D ), ( B, D ), (C , D ) 共 15 种,

………………8分

其中使 m n > 1 成立的有: ( a, A), ( a, B ), (a, C ), ( a, D ), (b, A), (b, B ), (b, C ), (b, D ) 共 8 种, …10 所以,所求事件的概率为 分 20. 解: Ⅰ)∵ an +1 = S n n + 3, n ≥ 2时,an = S n 1 ( n 1) + 3 , ( …………2分

8 . 15

………………………………12

∴ a n +1 a n = a n 1, 即a n +1 = 2a n 1, ∴ an +1 1 = 2(an 1), (n ≥ 2, n ∈ N*),
……………………………4分

2, n = 1 ∴ an 1 = (a2 1)2 n 2 = 3 2n 2 , a n = n2 3 2 + 1, n ≥ 2

…6 分

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(Ⅱ)∵ S n = an +1 + n 3 = 3 2

n 1

+n2,

∴ bn =

n 3 2 n 1

………………………………………………8 分

1 2 3 n ∴ Tn = 1 + + 2 + + n 1 3 2 2 2
相减得, 分

,

1 11 2 3 n Tn = + 2 + 3 + + n 2 3 2 2 2 2 ,……………………………10

1 1 1 1 1 n Tn = 1 + + 2 + + n1 n 2 3 2 2 2 2

∴ Tn =

4 4 1 2 n 1 n n < . ……………………………12 分 3 3 2 3 2

x2 y 2 x2 y2 21. 解:(Ⅰ)设与 + = 1 相似的椭圆的方程 2 + 2 = 1 a b 4 2
所求方程是

x2 y 2 + = 1. 16 8

………………6 分

(Ⅱ)

当射线 l 的斜率不存在时 A(0, ± 2), B (0, ±2 2) .
2

设点 P 坐标 P(0, y0 ) ,则 y0 = 4 , y0 = ±2 .即 P(0, ±2 ). 当射线 l 的斜率存在时,设其方程 y = kx ,P( x, y ) 由 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 则

………………8 分

y1 = kx1 2 x1 y12 =1 + 4 2

4 2 x1 = 1 + 2k 2 得 2 y 2 = 4k 1 1 + 2k 2
. …10 分

, ∴ OA |= |

2 1+ k 2 1 + 2k 2

同 理

| OB |=

4 1+ k 2 1 + 2k 2

当 l 的 斜 率 不 存 在 时 , | OA |i| OB |=

2 i2 2 = 4 , 当 l 的 斜 率 存 在

8(1 + b 2 ) 4 时, | OA |i| OB |= = 4+ , ∴ 4 <| OA |i| OB |≤ 8 , 2 1 + 2k 1 + 2k 2
综上, | OA |i| OB | 的最大值是 8,最小值是 4. 22. 解:(I)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, +∞ ) .
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………………12 分 …………………………1分

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当 a = 0 时, f ( x ) = 2 ln x + 由 f ′( x ) = 0 得 x =

1 2 1 2x 1 ,∴ f ′( x ) = 2 = .…………………2分 x x x x2

1 ., 2 1 2

f ( x) , f ′( x) 随 x 变化如下表: 1 ( , +∞) 2 +
…………………………4分

x
f ( x) f ′( x)

1 (0, ) 2 1 2

0 极小值

故, f ( x ) min = f ( ) = 2 2 ln 2 ,没有极大值. (II)由题意, f ′( x) = 令 f ′( x) = 0 得 x1 =

2ax 2 + (2 a ) x 1 . x2

1 1 , x2 = . ………………………6分 a 2 1 1 若 a > 0 ,由 f ′( x)≤0 得 x ∈ (0, ] ;由 f ′( x)≥0 得 x ∈ [ , +∞) . …………7分 2 2 1 1 1 1 1 1 若a < 0, ①当 a < 2 时, < ,x ∈ (0, ] 或 x ∈ [ , +∞) , f ′( x)≤0 ;x ∈ [ , ] , a 2 a 2 a 2 f ′( x)≥0 .
②当 a = 2 时, f ′( x)≤0 . ③当 2 < a < 0 时,

1 1 1 1 1 1 > , x ∈ (0, ] 或 x ∈ [ , +∞) , f ′( x)≤0 ; x ∈ [ , ] , a 2 2 a 2 a

f ′( x)≥0 .
综上,当 a > 0 时,函数的单调递减区间为 (0, ] ,单调递增区间为 [ , +∞ ) ;

1 2

1 2

1 1 1 , ]; 2 a 2 1 1 当 2 < a < 0 时 , 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 (0, ] , [ , +∞) , 单 调 递 增 区 间 为 2 a 1 1 [ , ] …….10 2 a
当 a < 2 时,函数的单调递减区间为 (0, ] , [ , +∞ ) ,单调递增区间为 [ (Ⅲ) 当 a = 2 时, f ( x) = ∵

1 a

1 4 x2 1 + 4 x , f ′( x) = . x x2
. ∴

1 1 x ∈ [ , 6 + n + ] , ∴ f ′( x)≥0 2 n 1 f ( x) max = f (6 + n + ) . ……12分 n
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1 f ( x) min = f ( ) = 4 2

,

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由题意, mf ( ) < 4 f (6 + n + ) 恒成立.

1 1 2 n 1 1 令 k = 6 + n + ≥8 ,且 f ( k ) 在 [6 + n + , +∞ ) 上单调递增, n n 1 1 f min (k ) = 32 ,因此 m < 32 ,而 m 是正整数,故 m≤32 , 8 8 1 所以, m = 32 时,存在 a1 = a2 = = a32 = , am +1 = am + 2 = am +3 = am + 4 = 8 时,对所 2
…………14分

有 n 满足题意.∴ mmax = 32 .

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