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2012届北京市高三一模文科数学分类汇编3:三角函数


2012 北京市高三一模数学文分类汇编:三角函数
【2012 年北京市西城区高三一模文】11. 函数 y ? sin 2 x ? 3cos2 x 的最小正周期为_____. 【答案】 π 【解析】函数 y ? 1 ? 2 cos2 x ? 2 ? cos 2 x ,所以周期为

2? ?? 。 2

【2012 北京市门头沟区一模

文】10. 在 ?ABC中,已知 a ? 2 , b ? 3 , c ? 7 ,则 ?ABC的面积是 【答案】
3 3 2



? 1 【2012 北京市门头沟区一模文】已知 tan( ? ) ? ,则 sin 2? 等于 ? 4 3
(A)
2 3

(B)

1 3

(C)

4 5

(D)

2 5

【答案】C 【2012 北京市海淀区一模文】 (10)若 tan ? = 2 ,则 sin 2? = 【答案】 .

4 5

【2012 北京市房山区一模文】12.已知函数 f ( x) ? sin??x ? ? ? ( ? >0, 0 ? ? ?

?
2

)的图象如图所示,则 ? =____,

? =___.

【答案】2,

? 3
?

【2012北京市东城区一模文】 (6)已知 sin( ? ? 45 ) ? ? (A)

5 13

(B)

12 13

2 ? ? ,且 0 ? ? ? 90 ,则 cos ? 的值为 10 3 4 (C) (D) 5 5
.

【答案】D 【2012 北京市朝阳区一模文】9.若 sin ? ? 【答案】 ?

? 5 , ? ? ( , ?) ,则 tan ? ? 2 3

5 2


【2012 北京市石景山区一模文】3.函数 y ? 1 ? sin(? ? x) 的图象( A. 关于 x ?

?
2

对称

B.关于 y 轴对称

C.关于原点对称

D.关于 x ? ? 对称

第1页

【答案】A 【解析】函数 y ? 1 ? sin(? ? x) ? 1 ? sin x 的图象关于 x ? 【2012 北京市石景山区一模文】15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c ,且 (2a ? c) cos B ? b cosC . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 A ?

?
2

对称,选 A.

?
4

, a ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

【答案】解: (Ⅰ)∵ (2a ? c) cos B ? b cosC ,由正弦定理,得 ∴ (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC . …………2 分

∴ 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cosC ? sin(B ? C ) ? sin A ,………4 分 ∵ A ? ?0,? ?, ∴ cos B ? ∴ sinA ? 0 又∵

1 . 2

0? B ?? ,

∴ B?

?
3



…………6 分

(Ⅱ)由正弦定理

a b ? ,得 b ? sin A sin B

2?

3 2 ? 6 2 2

…………8 分

?A?

?
4

,B ?

? ? sin C ?
3

6? 2 4

…………11 分

?s ?

1 1 6 ? 2 3? 3 . ab s i n ? ? 2 ? 6 ? C ? 2 2 4 2
π 4

…………13 分

【2012 北京市朝阳区一模文】15. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? cos( x ? ) . (Ⅰ)若 f (? ) ?

3 π 3π π? ? , 求 sin ? ? ? ? 的值; ,其中 ? ? ? 5 4 4 4? ?

(II)设 g ( x) ? f ? x ? ? f ? x ?

? ?

?? ? π π? ? ,求函数 g ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. 2? ? 6 3?
π 4 3 π π ,且 0 ? ? ? ? , 5 4 2
…………1 分 .…………5 分.

【答案】解: (Ⅰ)因为 f (? ) ? cos(? ? ) ? 所以 sin ? ? ?

? ?

π? 4 ?? . 4? 5 ? ?

(II) g ( x) ? f ? x ? ? f ? x ?

π π π π π? ? = cos( 4 ? x) ? cos( x ? 4 ) = sin( 4 ? x) ? cos( x ? 4 ) 2?
第2页

=

1 π 1 sin( ? 2 x) = cos 2 x . 2 2 2

.…….…..10 分

当 x ? ??

? π π? ? π 2π ? , ? 时, 2 x ? ? ? , ? . ? 6 3? ? 3 3?
1 π 1 ;当 x ? 时, g ( x) 的最小值为 ? . ………13 分 2 3 4

则当 x ? 0 时, g ( x) 的最大值为

【2012 北京市门头沟区一模文】15.(本小题满分 13 分) 已知向量 a ? (sin x,?1) , b ? ( 3 cos x,2) ,函数 f ( x) ? (a ? b)2 . (I)求函数 f (x) 的最小正周期; (II)若 x ? [?

? ?

, ] ,求函数 f (x) 的值域. 4 2

【答案】解: (I)由已知 f ( x) ? (a ? b)2 ? (sin x ? 3 cos x)2 ? (?1 ? 2)2

……2 分 ……4 分 ……6 分 ……8 分 ……10 分 ……13 分

? 化简,得 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 3 6
函数 f (x) 的最小正周期 T ? (II) x ? [? 所以 ?
2? ?? 2

? ?

? ? 7? , ] ,则 ? ? 2 x ? ? , 4 2 3 6 6

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6

函数 f (x) 的值域是 [3 ? 3,5] 【2012 年北京市西城区高三一模文】15.(本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,已知 2sin B cos A ? sin( A ? C) . (Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 BC ? 2 ,△ ABC 的面积是 3 ,求 AB .

【答案】 (Ⅰ)解:由 A ? B ? C ? π ,得 sin( A ? C ) ? sin(π ? B) ? sin B . 所以原式化为 2 sin B cos A ? sin B . 因为 B ? (0, π) ,所以 sin B ? 0 , 所以 cos A ? 因为 A? (0, π) , 所以 A ? (Ⅱ)解:由余弦定理,

……3 分

…………4 分

1 . 2

…………6 分 …………7 分

π . 3

2 2 2 2 2 得 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos A ? AB ? AC ? AB ? AC .………9 分

因为 BC ? 2 ,

1 π AB ? AC ? sin ? 3 , 2 3
…………11 分 ………13 分

2 2 所以 AB ? AC ? 8 .

因为 AB ? AC ? 4 , 所以 AB ? 2 . 【2012 北京市海淀区一模文】 (15) (本小题满分 13 分)

第3页

已知函数 f ( x) = sin x + sin( x (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间;

? ). 3

(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c . 已知 f ( A) = 【答案】解: (Ⅰ) f ( x) = sin x + sin( x -

3 ,a= 2

3b ,试判断 ?ABC 的形状.

? ) 3
………………………………………2 分

= sin x +

1 3 sin x cos x 2 2

=

3 3 sin x cos x 2 2
骣3 1 ÷ 3 ? sin x - cos x ÷ ? ÷ ?2 ÷ ? 2 桫
3 sin( x ? ). 6
………………………………………4 分

=
=
由 2k ? -

? ? ? < x - < 2k ? + , k Z , 2 6 2 ? 2? < x < 2k ? + ,k Z. 得: 2k ? 3 3 ? 2? , 2k ? + ),k ? Z . 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (2k ? 3 3
………………………………………6 分 (Ⅱ)因为 f ( A) =

3 , 2
? 1 ? 3 .所以 sin( A - ) = . )= 6 2 6 2
………………………………………7 分

所以

3 sin( A -

因为 0 < A < ? ,所以 所以 A = 因为

? ? 5 < A- < ? . 6 6 6
………………………………………9 分

? . 3

a b = , a = 3b , sin A sin B 1 所以 sin B = . ………………………………………11 分 2 ? ? ? 因为 a > b , A = ,所以 B = .所以 C = . 3 6 2 所以 ?ABC 为直角三角形. ………………………………………13 分
【2012 北京市东城区一模文】 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? (sin2x ? cos2x) ? 2sin 2x .
2 2

第4页

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图象是由 y ? f ( x) 的图象向右平移 最大值和最小值. 【答案】解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? (sin 2 x ? cos 2 x)2 ? 2sin 2 2 x

? ? 个单位长度得到的,当 x? [ 0 , ]时,求 y ? g ( x) 的 8 4

? sin 4 x ? cos 4 x
? ? 2 sin(4 x ? ) , 4
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 (Ⅱ)依题意, y ? g ( x) ? …………6 分

? ? 2 sin [ 4( x ? ) ? ] 8 4
…………10 分

? . 2

…………8 分

? ? 2 sin(4 x ? ) . 4
因为 0 ? x ?

? ? ? 3? ,所以 ? ? 4 x ? ? . 4 4 4 4

…………11 分

当 4x ? 当 4x ?

? ? 3? ? ,即 x ? 时, g ( x) 取最大值 2 ; 4 2 16
? ? ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x) 取最小值 ?1 . 4 4
…………13 分

【2012 北京市房山区一模文】15. (本小题共 13 分) 已知 △ ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ? (Ⅰ)求 cos? A ? B ?的值; (Ⅱ)设 a ? 10 ,求 △ ABC 的面积. 【答案】解: (Ⅰ)∵ A, B, C 为 ?ABC 的内角,且, cos A ?

2 5 3 10 , cos B ? . 5 10

2 5 3 10 , cos B ? 5 10

? 2 5? 5 ? ? ∴ sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? ? 5 ? 5 ?
2

2

? 3 10 ? 10 ? ? sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? ? ? 10 ? 10 ? ?
2

2

………………………………………4 分

∴ cos? A ? B ? ? A cos B ? cos A sin B

?

2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2
?

………………………………………7 分

(Ⅱ)由(I)知, A ? B ? 45

第5页

∴ C ? 135? ∵ a ? 10 ,由正弦定理

………………………………………8 分

a b ? 得 sin A sin B

10 sin B b ? a? ? 10 ? 10 ? 5 sin A 5 5
∴ S ?ABC ?

……………………………………11 分

1 1 2 5 absin C ? ? 10 ? 5 ? ? 2 2 2 2

……………………………………13 分

【2012 北京市丰台区一模文】15. (本小题共 13 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a sin B ? b cos C ? c cos B. (I)判断△ABC 的形状; (Ⅱ)若 f ( x) ? sin x ? cos x ,求 f(A)的最大值. 【答案】

第6页

第7页


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