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2.2.3 直线平面平行的性质


2.2.3《直线与平面平行的性质》

复习旧知
线面平行、面面平行判定定理的内容是什么?判定定理 中的线与线、线与面应具备什么条件? 直线和平面平行的判定定理是: 平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此 平面平行. 定理中的线与线、线与面应具备的条件是: 一线在平面外,一线在平面内;两直线互相平行。 平面和平面平行的判定定理是: 一个平

面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这 两个平面平行。 定理中的线与线、线与面应具备的条件是:两条直线必须 相交,且两条直线都平行于另一个平面。

提出问题、引入新课

提出问题:如果已知直线与平面平 行,会有什么结论?

直线与平面平行的性质

探研新知

探究1.如果一条直线与平面平行,那么这条 直线是否与这个平面内的所有直线都平行?

这条直线与这个平面内有多少条直线平行?
结合实例(教室内的有关例子)得出结论: 如果一条直线与平面平行,这条直线不会 与这个平面内的所有直线都平行,但在这个 平面内却有无数条直线与这条直线平行。

探研新知 探究2.如果一条直线与一个平面平行,那么这条 直线与这个平面内的直线有哪些位置关系?
a a b α

b α

答:由直线与平面平行的定义,如果一条直线a与平面 α 平行,那么a与平面α 无公共点,即a上的点都不在 平面α 内,平面α 内的任何直线与a都无公共点,这样, 平面α 内的直线与平面α 外的直线a只能是异面直线或 平行直线。

探研新知

探究3.如果一条直线a与平面α 平行,在 什么条件下直线a与平面α 内的直线平 行呢? 答:由于a与平面α 内的任何直线无公共 点,所以过直线a的某一平面,若与平 面α 相交,则直线a就平行于这条交线。 下面我们来证 明这一结论.

探研新知

已知:如图,a∥α , a ?β ,α ∩β =b。 求证:a∥b。

证明:∵α ∩β =b,∴b?α ∵ a∥α ,∴a与b无公共点, ∵a?β ,b?β ,∴a∥b。
我们可以把这个结论作定理来用.

直线与平面平行的性质定理: 一条直线和一个平面平行,则过这条直线的 任一平面与此平面的交线与该直线平行。 符号表示:
a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b

a // b

作用: 可证明两直线平行。

β

a

α
欲证“线线平行”,可先证明“线面平 行”。

b

直线和平面平行的判定定理: 直线与直线平行 直线与平面平行

直线和平面平行的性质定理: 注意:

平面外的一条直线只要和平面内的任一条直 线平行,则就可以得到这条直线和这个平面平行; 但是若一条直线与一个平面平行,则这条直线并 不是和平面内的任一条直线平行,它只与该平面 内与它共面的直线平行.

探研新知

探究4.教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行,如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行? 答:只需由灯管两端向地面引两条平行线, 过两条平行线与地面的交点的连线就是与 灯管平行的直线。

例题示范 例1:已知平面外的两条平行直线中的一条平行 于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面。 第一步:将原题改写成数学 符号语言 如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α ,a,b都在平面 α 外.求证:b//α. 第二步:分析:怎样进行平 行的转化?→如何作辅助平 面? 第三步:书写证明过程

例题示范

如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α ,a,b都在平面 α 外.求证:b//α.
证明:过a作平面β ,使它与平 面α相交,交线为c. ∵a//α,a ?β ,α ∩β =c, ∴ a// c. ∵ a//b, ∴ b//c. 又 ∵ c ?α, b? α, ∴ b// α。

练习反馈: 1.如果两个相交平面分别经过两条平行直线中 的一条,那么它们的交线和这两条直线平行。

l

a

b β

α

练习反馈: 2.一条直线和两个相交平面平行,求证:它和这 两个平面的交线平行。 已知直线a∥平面α,直线 a∥平面β ,平面α∩平面 β =b,求证a//b.
b a

b c a ? ? d ? ?

例题示范 例2:有一块木料如图,已知棱BC平行于面A′C′ (1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱 BC将木料锯开,应怎样画线? (2)所画的线和面AC有什么关系? 解:(1)过点P作EF∥B’C’, 分别交棱A’B’,C’D’于点E, F。连接BE,CF,则EF,BE, CF就是应画的线。
A1
D B

D1 P F

E

C1

B1
C

A

例题示范
有一块木料如图,已知棱BC平行于面A′C′ (1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将 木料锯开,应怎样画线? (2)所画的线和面AC有什么关系?

(2)因为棱BC平行于平面A'C',平面BC'与平 面A'C'交于B'C',所以BC∥B'C',由(1)知, EF∥B'C',所以,EF∥BC,EF?平面AC,BC?平 面AC.所以,EF//平面AC. BE、CF显然都与平面AC相交。

小结
线面平行的判定定理 线线平行 线面平行 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 线面平行的性质定理
线面平行 线线平行

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直 线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线 平行。

2.2.4《平面与平面平行的性质》

复习提问、引入新课

复习:如何判断平面和平面平行?
答:有两种方法, 一是用定义法,须判断两个平面没有公共点; 二是用平面和平面平行的判定定理,须判断 一个平面内有两条相交直线都和另一个平 面平行. 思考:如果两个平面平行,会有哪些结论呢?

探究新知

探究1. 如果两个平面平行,那么一个平面 内的直线与另一个平面有什么位置关系?
?
?

a

答:如果两个平面平行,那么一个平面内 的任意一条直线都平行与另一个平面.

探究新知

探究2.如果两个平面平行,两个平面内的直 线有什么位置关系?

借助长方体模型探究 结论:如果两个平面平行,那么两个平面内 的直线要么是异面直线,要么是平行直线.

探究新知

探究3:当第三个平面 和两个平行平面都相 交时,两条交线有什 么关系?为什么?

α

a

答:两条交线平行.

β

b

下面我们来证明这个结论

结论:当第三个平面和两个平行平面都相交 时,两条交线平行
如图,平面α ,β ,γ 满足α ∥β ,α ∩γ = a, β ∩γ =b,求证:a∥b 证明:∵α ∩γ =a,β ∩γ =b ∴a?α ,b?β ∵α ∥β ∴a,b没有公共点, 又因为a,b同在平面γ 内, 所以,a∥b

这个结论可做定理用

定理

如果两个平行平面同时和第三个 平面相交,那么它们的交线平行。 用符号语言表示性质定理:
? / /? ? a//b ? ? ? ? a, ? ? ? ? b

?

想一想:这个定理的作用是什么?
答:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

例题分析,巩固新知 例1. 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 讨论:解决这个问题的基本步骤是什么? 答:首先是画出图形,再结合图形将文字语言转化 为符号语言,最后分析并书写出证明过程。 如图,α//β ,AB//CD,且A ? α, C? α,B ?β ,D ? . β 求证:AB=CD. 证明:因为AB//CD,所以过AB, CD可作平面γ ,且平面γ 与平 面α和β 分别相交于AC和BD. 因为 α//β ,所以 BD//AC.因此,四边形ABDC是平 行四边形. 所以 AB=CD.

小结归纳: 1、两个平面平行具有如下的一些性质: ⑴如果两个平面平行,那么在一个平面内的所 有直线都与另一个平面平行 ⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那 么它们的交线平行. ⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交, 那么它也和另一个平面相交 ⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等 2、线线平行?线面平行?面面平行,要注意这 里平行关系的互相转化. 3、在应用相关定理时要注意辅助线、辅助面 的作法


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