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空间向量复习学案

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高二数学复习学案(理)

空间向量与立体几何复习学案( 空间向量与立体几何复习学案(一) 复习学案
学案编号:22024 知识点与考点 一、空间向量的数量积: 已知两个空间向量 a = ( x1 , y1 , z1 ), b = ( x2 , y 2 , z 2 ) (1) 空间向量的夹角: (3) 空间向量的数量积: (4) 空间向量的数 量积的运

算律:交换律;分配律;数乘结合律 二、空间向量的坐标运算 (2) 空间向量 a 的长度或模:


制作人:马中明

审核人:郭明珍

时间:2012-4-10

(Ⅰ)空间向量及其运算

a = ( x1 , y1 , z1 ), b = ( x2 , y 2 , z 2 )
(1) a±b= (3) a·b= (2) λ a= .(4) a∥b ? . ;a ⊥ b ? .

(5) 设 A = ( x1 , y1 , z1 ), B = ( x 2 , y 2 , z 2 ) 则 AB = 对应练习 1.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 和 BD 的交点,若 AB = a , AD = b, AA1 = c ,则下列 式子中与 B1 M 相等的是( ) , AB = .AB 的中点坐标为 .

(A) ?

1 1 a+ b+c 2 2 1 1 (C) ? a + b ? c 2 2

1 1 a + b?c 2 2 1 1 (D) ? a ? b + c 2 2
(B)

2.已知空间的基底{i,j,k},向量 a=i+2j+3k,b=-2i+j+k,c=-i+mj-nk,若向量 c 与向量 a,b 共面,则实数 m+n=( ) (A)1 (B)-1 (C)7 (D)-7 3.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=1,AD=2,AA1=3,则 BD ? AC1 ( (A)1 (B)0 4.下列各组向量中不平行的是( ) (A)a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4) (C)e=(2,3,0),f=(0,0,0) (C)3 (D)-3 )

(B)c=(1,0,0),d=(-3,0,0) (D)g=(-2,3,5),h=(16,24,40)
1

高二数学复习学案(理)

5.与向量(-1,-2,2)共线的单位向量是( (A) ( ,

)

1 2 2 1 2 2 , ? ) 和 ( ? ,? , ) 3 3 3 3 3 3 1 2 2 1 2 2 (C) ( , , ) 和 (? ,? ,? ) 3 3 3 3 3 3

1 2 2 ,? ) 3 3 3 1 2 2 (D) ( ? ,? , ) 3 3 3
(B) ( ,

6.若向量 a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且 a 与 b 的夹角余弦为 (A)2 (B)-2 (C)-2 或

2 55

8 ,则 λ 等于( 9 2 (D)2 或 ? 55

)

7.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 值是______. 8.若空间三点 A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2)共线,则 p=______,q=______. 9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 1,E 为 CC1 中点, (1)求 AB1 ? BC ;(2)求 AB1 ? BE , cos < AB1 , BE > .

10.直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,M、N 分别 是 A1B1,A1A 的中点。如图,建立空间直角坐标系. (1)求 BN 的坐标及 BN 的长; (2)求 cos < BA1 , CB1 > 的值; (3)求证:A1B⊥C1M.

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高二数学复习学案(理)

(Ⅱ)直线的方向向量与直线的向量方程
知识点与考点 直线的方向向量:我们把直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的向量叫做直线 l 的方向向量 对应练习 1.向量 OA =(1,2,0) OB =(-1,0,6)点 C 为线段 AB 的中点,则点 C 的坐标为( , (A)(0,2,6) (B)(-2,-2,6) (C)(0,1,3) (D)(-1,-1,3) )

2.已知点 A(2,-2,4),B(-1,5,-1),若 OC = (A) ( 2,?

14 10 , ) 3 3

(B) ( ?2,

14 10 ,? ) 3 3

2 AB ,则点 C 的坐标为( ) 3 14 10 14 10 (C) ( 2,? ,? ) (D) ( ?2,? , ) 3 3 3 3
)

3.已知 A(0,0,0),B(1,1,1),C(1.2,-1),下列四个点中在平面 ABC 内的点是( (A)(2,3,1) (B)(1,-1,2) (C)(1,2,1) (D)(1,0,3) 4.已知 A,B,C 三点不共线,O 是平面外任意一点,若有 OP

=

1 2 OA + OB + λ OC 5 3

确定的

点与 A,B,C 三点共面,则 λ=______. 5.若直线 l1∥l2,且它们的方向向量分别为 a=(2,y,-6),b=(-3,6,z),则实数 y+z=______ 6.正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AA1=2,则 A1C 与 BC1 所成角的余弦值为______. 7.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=1. (1)求异面直线 AC1 与 CB1 所成角的大小; (2)证明:BC1⊥AB1.

8.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=CC1,AC⊥BC,点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC1∥平面 CDB1; (2)求异面直线 AC1 与 B1D 所成的角的大小.

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高二数学复习学案(理)

(Ⅲ)平面的法向量和平面的向量表示
知识点与考点 1、平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α, 记作 n ⊥ α ,如果 n ⊥ α ,那么向量 n 叫做平面α的法向量。 注:①若 l ⊥ α ,则称直线 l 为平面 α 的法线; ②平面的法向量就是法线的方向向量。 ③给定平面的法向量及平面上一点的坐标,可以确定一个平面。 2、在空间求平面的法向量的方法: (1)直接法:找一条与平面垂直的直线,求该直线的方向向量。 (2)待定系数法:建立空间直接坐标系 ①设平面的法向量为 n = ( x, y , z )

r

②在平面内找两个不共线的向量 a = ( x1 , y1 , z1 ) 和 b = ( x2 , y2 , z2 )

r

r

r r ?n ? a = 0 ? ③建立方程组: ? r r ?n ? b = 0 ?
对应练习

④解方程组,取其中的一组解即可。

1.过点 A(2,-5,1)且与向量 a=(-3,2,1)垂直的向量( ) (A)有且只有一个 (B)只有两个且方向相反 (C)有无数个且共线 (D)有无数个且共面 2.设平面α 内两个向量的坐标分别为(1,2,1),(-1,1,2),则下列向量中是平面α 的法向量的 是( ) (A)(-1,-2,5) (B)(-1,1,-1) (C)(1,1,1) (D)(1,-1,-1) 3.已知空间中三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),若向量 a 分别与 AB, AC 都垂直, 且 | a |=

3 ,则 a=(

)

(A)(1,1,1) (B)(1,-1,1) (C)(-1,1,1) (D)(-1,-1,-1)或(1,1,1) 4.已知α ⊥β ,平面α 与平面β 的法向量分别为 m=(1,-2,3),n=(2,3λ,4),则λ=(

)

5 (A) 3

5 (B) ? 3

7 (C) 3

7 (D) ? 3
)

5.平面α 的法向量为 m,若向量 AB ⊥ m ,则直线 AB 与平面α 的位置关系为(

(A)AB ? α (B)AB∥α (C)AB ? α 或 AB∥α (D)不确定 6.已知α ∥β ,平面α 与平面β 的法向量分别为 m,n,且 m=(1,-2,5),n=(-3,6,z),则 z =______. 7.如图,在正三棱锥 S-ABC 中,点 O 是△ABC 的中心,点 D 是棱 BC 的中点,则平面 ABC 的一个 法向量可以是______,平面 SAD 的一个法向量可以是______.

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高二数学复习学案(理)

空间向量与立体几何复习学案( 空间向量与立体几何复习学案(二) 复习学案
学案编号:22025 制作人:马中明 审核人:郭明珍 时间:2012-4-10

(Ⅳ)角与距离
知识点与考点 1、求两异面直线所成的角:设异面直线 a , b 的夹角为 θ ,方向向量为 a , b ,其夹角为 ? ,则有 求两异面直线所成的角:

r

r

r r a ?b cos θ = cos ? = r r . a b

1.( 安徽文) 在四棱锥 O ? ABCD 中, 底面 ABCD 四边长为 1 的 菱形,∠ABC = 例 1. 2008 安徽文)如图, (

π
4

,

OA ⊥ 底面ABCD , OA = 2 , M 为 OA 的中点。求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ;
z O M

A x B C

D P y

2、求直线和平面所成的角:已知 A,B 为直线 a 上任意两点, n 为平面 α 的法向量,则 a 和平面 α 所 求直线和平面所成的角: uuu r π r r π uuu r π ? π? 成的角 θ 为: (1) AB, n ∈ ? 0, ? 时 θ = ? AB ? n ; 当 (2) AB , n ∈ ? , π ? 时 θ = AB ? n ? , 当 ? ? 2 2 ?2 ? ? 2? 那么 sin θ = cos AB, n 2.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形, ∠ACB = 90 ,侧棱 AA1=2,D,E 分 例 2. 别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是 ?ABD 的重心 G。求 A1B 与平面 ABD 所成角的大 小。
o

z

C1 A1 E G D C B B1

x

A

y

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高二数学复习学案(理)

3、求二面角: 求二面角: (1) 已知二面角 α ? l ? β , A , B ∈ α , C , D ∈ β 且 AB ⊥ l , CD ⊥ l , 且 则二面角的平面角 θ 的大小为: θ = AB, CD (2)已知二面角 α ? l ? β , m, n 分别为面 α , β 的法向量,则二面角的平面角 θ 的大小与两个法 向量所成的角相等或互补。即 θ = m, n 或π ? m, n 注:如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。 (1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。 (2)通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。 (04 高考四川卷)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=1,CB= 2 ,侧棱 AA1=1,侧 例 3. 面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D,B1C1 的中点为 M。求证: (1)CD⊥平面 BDM; A' A (2) 求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大小。
D C M B B' C'

uuu uuur r

ur r

ur r

uuu r r ΡΑ ? n uuu r uuu r r 点 Ρ 到平面 α 的距离为 d = ΡΑ cos? ΡΑ, n ? = r n

4、求点到面的距离:点 Ρ 是平面 α 外一点, Α 是平面 α 内的一定点, n 为平面 α 的一个法向量,则 求点到面的距离:

r

例 4. 如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中 AEC1F 为 平行四边形且 AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1. (1)求 BF 的长; (2)求点 C 到平面 AEC1F 的距离.

6

高二数学复习学案(理)

对应练习 1.若直线 l 与平面α 成角为 的角的取值范围是( (A) (0, ]

π ,直线 a 在平面α 内,且直线 l 与直线 a 异面,则直线 l 与直线 a 所成 3

) (B) [ ,

π 2π π π π ] (C) [ , ] (D) (0, ] 3 3 3 2 2 π 2.已知二面角α-l-β 的大小为 ,异面直线 a,b 分别垂直于平面α ,β ,则异面直线 a,b 所成角 3 π 3
的大小为( ) (B)

π (A) 6
(A)

π 3 π 4

(C)

π 2 π 3

(D)

2π 3
)

3.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC1 与平面 BDD1B1 所成角的大小为(

π 6

(B)

(C)

(D)

π 2
)

4.矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,PA⊥平面 ABCD,PA=1,则 P 到矩形对角线 BD 的距离( (A)

13 5

(B)

17 5

(C)

1 29 2

(D)

1 129 5

5.已知直线 a∥平面α ,且 a 与平面α 的距离为 d,那么到直线 a 的距离与到平面α 的距离都等于 d 的点的集合是( ) (A)一条直线 (B)三条平行直线 (C)两条平行直线 (D)两个平面 6.已知 ABC ? A1 B1C1 是各条棱长均等于 a 的正三棱柱, D 是侧棱 CC1 的中点.点 C1 到平面 AB1 D 的距 离( )

2 a 2 2 7.设 n1,n2 分别为一个二面角的两个半平面的法向量,若 < n1 , n2 >= π ,则此二面角的大小为 3
A. B. C. D. ______. 8.正四棱锥的底面边长为 4,侧棱长为 3,则侧面与底面所成二面角的余弦值为______. 9.在三棱锥 O-ABC 中,三条棱 OA,OB,OC 两两互相垂直,且 OA=OB=OC,M 是 AB 的中点, 则 OM 与平面 ABC 所成角的余弦值是______. 10.正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BB1,D 是 BC 的中点, (1)求直线 BB1 与平面 AC1D 所成的角余弦值; (2)求二面角 C-AC1-D 的大小.

2 a 4

2 a 8

3 2 a 4

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高二数学复习学案(理)

11.在如图所示的几何体中,AE⊥平面 ABC,CD // AE,F 是 BE 的中点,AC=BC=1,

∠ACB = 90°, AE=2CD=2。
(1)证明:DF⊥平面 ABE; (2)求二面角 A—BD—E 大小的余弦值。

12. 如图, 已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在平面互相垂直,AB = 的中点. (1)求证:AM ⊥ 平面 BDF;(2)求二面角 A ? DF ? B 的大小; (3)试在线段 AC 上确定一点 P ,使得 PF 与 CD 所成的角是 60 .
o

2 ,AF = 1 ,M 是线段 EF

E M F

C

B

D A

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