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5背包问题九讲之二维费用的背包问题

时间:2017-07-28


P05: 二维费用的背包问题
问题
二维费用的背包问题是指:对于每件物品,具有两种不同的费用;选择 这件物品必须同时付出这两种代价; 对于每种代价都有一个可付出的最 大值(背包容量) 。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代 价分别为代价1和代价2,第 i 件物品所需的两种代价分别为 a[i]和 b[i]。两种代价可付出的最大值(两种背包容量)分别为 V

和 U。物品 的价值为 w[i]。

算法
费用加了一维, 只需状态也加一维即可。 f[i][v][u]表示前 i 件物品 设 付出两种代价分别为 v 和 u 时可获得的最大价值。状态转移方程就是:

f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}

如前述方法,可以只使用二维的数组:当每件物品只可以取一次时变量 v 和 u 采用逆序的循环,当物品有如完全背包问题时采用顺序的循环。 当物品有如多重背包问题时拆分物品。这里就不再给出伪代码了,相信 有了前面的基础,你能够自己实现出这个问题的程序。

物品总个数的限制
有时,“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给出的:最多只能 取 M 件物品。这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用,每个

物品的件数费用均为1,可以付出的最大件数费用为 M。换句话说,设 f[v][m]表示付出费用 v、 最多选 m 件时可得到的最大价值, 则根据物品 的类型 (01、 完全、 多重) 用不同的方法循环更新, 最后在 f[0..V][0..M] 范围内寻找答案。

复数域上的背包问题
另一种看待二维背包问题的思路是:将它看待成复数域上的背包问题。 也就是说,背包的容量以及每件物品的费用都是一个复数。而常见的一 维背包问题则是实数域上的背包问题。 (注意:上面的话其实不严谨, 因为事实上我们处理的都只是整数而已。 )所以说,一维背包的种种思 想方法,往往可以应用于二位背包问题的求解中,因为只是数域扩大了 而已。

作为这种思想的练习,你可以尝试将 P11中提到的“子集和问题”扩展 到复数域(即二维) ,并试图用同样的复杂度解决。

小结
当发现由熟悉的动态规划题目变形得来的题目时, 在原来的状态中加一 纬以满足新的限制是一种比较通用的方法。 希望你能从本讲中初步体会 到这种方法。