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2013届人教A版理科数学课时试题及解析(42)立体几何中的向量方法


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课时作业(四十二) [第 42 讲 立体几何中的向量方法(一)——位置关系的证明]

[时间:45 分钟

分值:100 分]

基础热身 1.直线 l1,l2 相互平行,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( ) A.s1=(0,1,2),s2=(2,1,0)

B.s1=(0,1,1),s2=(1,1,0) C.s1=(1,1,2),s2=(2,2,4) D.s1=(1,1,1),s2=(-1,2,-1) 2.直线 l1,l2 相互垂直,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( ) A.s1=(1,1,2),s2=(2,-1,0) B.s1=(0,1,-1),s2=(2,0,0) C.s1=(1,1,1),s2=(2,2,-2) D.s1=(1,-1,1),s2=(-2,2,-2) 3.若直线 l∥平面 α,直线 l 的方向向量为 s,平面 α 的法向量为 n,则下列结论正确的 是( ) A.s=(-1,0,2),n=(1,0,-1) B.s=(-1,0,1),n=(1,2,-1) C.s=(-1,1,1),n=(1,2,-1) D.s=(-1,1,1),n=(-2,2,2) 4.若直线 l⊥平面 α,直线 l 的方向向量为 s,平面 α 的法向量为 n,则下列结论正确的 是( ) A.s=(1,0,1),n=(1,0,-1) B.s=(1,1,1),n=(1,1,-2) C.s=(2,1,1),n=(-4,-2,-2) D.s=(1,3,1),n=(2,0,-1) 能力提升 5.若平面 α,β 平行,则下面可以是这两个平面的法向量的是( ) A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2) 6.若平面 α,β 垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是( ) A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1) B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1) D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2) 7.直线 l 的方向向量为 s=(-1,1,1),平面 π 的法向量为 n=(2,x2+x,-x),若直线 l ∥平面 π,则 x 的值为( ) A.-2 B.- 2 C. 2 D.± 2 8. 已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC 的单位法向量是( ) A.s=± (1,1,1) ? 2, 2, 2? B.s=± 2 2? ?2 ? 3, 3, 3? C.s=± 3 3? ?3

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3 3 3? ,- , 3 3 3 ? ? 9. 已知非零向量 a,b 及平面 α,若向量 a 是平面 α 的法向量,则 a· b=0 是向量 b 所在直线平行于平面 α 或在平面 α 内的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.平面 α 的一个法向量 n=(0,1,-1),如果直线 l⊥平面 α,则直线 l 的单位方向向 量是 s=________. 11.空间中两个有一条公共边 AD 的正方形 ABCD 与 ADEF,设 M,N 分别是 BD,AE 的中点,给出如下命题:①AD⊥MN;②MN∥平面 CDE;③MN∥CE;④MN,CE 异面. 则所有正确命题的序号为________. 12.平面 α 经过点 A(0,0,2)且一个法向量 n=(1,-1,-1),则 x 轴与该平面的交点坐 标是________. → → → → → 13.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且 BP⊥平 面 ABC,则实数 x,y,z 分别为________. 14.(10 分)如图 K42-1,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底 面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥BP 交 BP 于点 F. (1)证明:PA∥平面 EDB; (2)证明:PB⊥平面 EFD.

? D.s=±

图 K42-1

15.(13 分)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱垂直于底面,∠BAC=90° ,AB=AA1=2, AC=1,M,N 分别是 A1B1,BC 的中点. (1)求证:AB⊥AC1; (2)求证:MN∥平面 ACC1A1.

图 K42-2

难点突破 16.(12 分)如图 K42-3,已知棱长都为 1 的三棱锥 O-ABC,棱 OA 的中点为 M,自 O
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作平面 ABC 的垂线,垂足为 H,OH 与平面 MBC 交于点 I. → → → → (1)将OI用OA,OB,OC表示; t (2)P 点分线段 MB 的比为 (0<t<1), 1-t → → → ①将OP用 t,OA,OB表示; ②若三点 P,I,C 在同一直线上,求 t 的值; ③若 PO⊥PA,求 t 的值.

图 K42-3

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课时作业(四十二) 【基础热身】 1.C [解析] 两直线平行则其方向向量平行,根据两向量平行的条件检验知正确选项 为 C. 2.B [解析] 两直线垂直,其方向向量垂直,只有选项 B 中的两个向量垂直. 3.C [解析] 直线与平面平行,直线的方向向量和平面的法向量垂直,检验知正确选 项为 C. 4.C [解析] 线面垂直时,直线的方向向量平行于平面的法向量,只有选项 C 中的两 向量平行. 【能力提升】 5.D [解析] 两个平面平行时其法向量也平行,检验知正确选项为 D. 6.A [解析] 两个平面垂直时其法向量垂直,只有选项 A 中的两个向量垂直. 7.D [解析] 线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故 x2-2=0,解得 x=± 2. 8.C [解析] 先求出平面 ABC 的一个法向量,再把其单位化.不难求出其一个法向量 ? 3, 3, 3?. 是 n=(1,1,1),单位化得 s=± 3 3? ?3 9.C [解析] 根据向量与平面平行、以及平面的法向量与直线的方向向量之间的关系 进行判断. a· b=0 说明向量 b 垂直于平面 α 的法向量,故向量 b 与平面 α 共面,此时向量 b 所在 的直线平行于平面 α 或在平面 α 之内;反之 a· b=0. ?0, 2,- 2? [解析] 直线 l 的方向向量平行于平面 α 的法向量,故直线 l 的 10.± 2 2? ? ?0, 2,- 2?. 单位方向向量是 s=± 2 2? ? → → → 11.①②③ [解析] 如图,设AB=a,AD=b,AF=c, 1 1 → → → 1 → → 1 则|a|=|c|且 a· b=c· b=0.MN=AN-AM= (b+c)- (a+b)= (c-a),MN· AD= (c-a)· b 2 2 2 2 1 → → = (c· b-a· b)=0,故 AD⊥MN;CE=c-a=2MN,故 MN∥CE,故 MN∥平面 CDE,故① 2 ②③正确;④一定不正确.

→ 12.(-2,0,0) [解析] 设交点 M(x,0,0),AM=(x,0,-2),平面的一个法向量是 n=(1, → -1,-1),故 n⊥AM,故 x+2=0,得 x=-2,故 x 轴与该平面的交点坐标是(-2,0,0). 40 15 → → → → 13. ,- ,4 [解析] 由题知:BP⊥AB,BP⊥BC. 7 7 所以 → → AB· BC=0, ? ?→ → AB=0, ?BP· ? → → ?BP · BC=0, 1×3+5×1+?-2?×z=0, ? ? 即?x-1+5y+?-2?×?-3?=0, ? ?3?x-1?+y-3z=0.

40 15 解得 x= ,y=- ,z=4. 7 7 14.[解答] 证明:以 D 为坐标原点,射线 DA,DC,DP 分别为 x,y,z 轴的正方向建
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立空间直角坐标系.设 DC=a.

a a? (1)连接 AC,AC 交 BD 于 G,连接 EG.依题意得 A(a,0,0),P(0,0,a),E? ?0,2,2?. a a ? 因为底面 ABCD 是正方形,所以 G 是此正方形的中心,故点 G 的坐标为? ?2,2,0?, a a? → → → → 且PA=(a,0,-a),EG=? ?2,0,-2?.所以PA=2EG,这表明 PA∥EG.而 EG?平面 EDB 且 PA?平面 EDB,所以 PA∥平面 EDB. → (2)依题意得 B(a,a,0),PB=(a,a,-a). a a a2 a2 → → → 0, , ?,故PB· DE=? DE = 0 + - =0,所以 PB⊥DE, ? 2 2? 2 2 由已知 EF⊥PB,且 EF∩DE=E,所以 PB⊥平面 EFD. 15.[解答] 依条件可知 AB,AC,AA1 两两垂直.如图,以点 A 为原点建立空间直角坐 标系 A-xyz.

根据条件容易求出如下各点坐标: 1 - ,1,0?. A(0,0,0), B(0,2,0), C(-1,0,0), A1(0,0,2), B1(0,2,2), C1(-1,0,2), M(0,1,2), N? ? 2 ? → → → → (1)证明:因为AB=(0,2,0),AC1=(-1,0,2),所以AB· AC1=0×(-1)+2×0+0×2=0. → → 所以AB⊥AC1,即 AB⊥AC1. 1 → → - ,0,-2?,AB=(0,2,0)是平面 ACC1A1 的一个法向量, (2)证明:因为MN=? ? 2 ? 1 → → 且MN· AB=- ×0+0×2-2×0=0, 2 → → 所以MN⊥AB. 又 MN?平面 ACC1A1, 所以 MN∥平面 ACC1A1. 【难点突破】 → 1 → → → → 16.[解答] (1)据已知,H 是正△ABC 的中心,∴OH= (OA+OB+OC),又 I 在OH上, 3 λ → → → → → λ → → → 故存在实数 λ,使OI=λOH= (OA+OB+OC)= (2OM+OB+OC), 3 3 2λ λ λ 3 → 1 → → → ∵I 在平面 MBC 内,故 + + =1,即 λ= ,于是OI= (OA+OB+OC). 3 3 3 4 4 1→ → → → → → → → → → → → → (2)①MP=tMB, PB=(1-t)MB, OP=OM+MP=OM+tMB=OM+t(OB-OM)= OA+ 2 → 1 → ? 1-t → → t? ?OB-2OA?= 2 OA+tOB;

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②P 在直线 IC 上,故存在实数 m,使 → → → → m → m → m → OP=(1-m)OC+mOI=(1-m)OC+ · OA+ · OB+ · OC 4 4 4 4-3m → m → m → = · OC+ · OA+ · OB, 4 4 4 比较①②中两式可得

? ?m 1-t ?4= 2 , ? =t, ?m 4

4-3m =0, 4

?m=3, 解得? 1 ?t=3,

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1 故 t 的值为 . 3

→ → ?1-t → → ? → → ?1-t → → ? ? 1+t → →? ③OP· AP= (OP-OA)= ? 2 OA+tOB?· ? 2 OA+tOB?· ?- 2 OA+tOB? t2-1 → 2 2 → 2 2 → → = OA +t OB -t OA· OB 4 t2-1 2 2 2 2 3t2-1 = · 1 +t · 1 -t · 1· 1· cos60° = , 4 4 3t2-1 3 → → → → ∵OP⊥PA,∴OP· PA=0,∴ =0,即 t=± , 4 3 3 又∵0<t<1,∴t= 即为所求. 3

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