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河南省孟津县第一高级中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理

时间:2016-03-14


孟津一高 2015-----2016 学年上期期末考试 高二数学
考试时间:120 分钟 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.) 1. 如果方程 试卷满分:150 分

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 m 的取值范围是( m ? 2 m ?1
B.



A. (?2,?1) 2.若 p : ? ?

( ??,?2) ? ( ?1,??)

C.

(?1,1)

D. (?3,?2) ) 。

?
2

? k? , k ? Z , q : f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0) 是偶函数,则 p 是 q 的(

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条 D.既不充分也不必要条件 3.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式不成立的是( ) 1 1 A. a ? b B. C. 1 ? 1 D. a 2 ? b 2 ? a ?b a a b 4.数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ?

2 2 1 1 ,且 n ? 2 时,有 = ,则 ? 3 an ?1 an ?1 a n

(

)

A. an ? ( )

2 3

n

B. an ? ( )

2 3

n ?1

C. a n ?

2 n?2

D.

an ?

2 n ?1
)

5. 如图所示, 棱长皆相等的四面体 S ? ABC 中,D 为 SC 的中点, 则 BD 与 SA 所成角的余弦值是(

A.

3 3
2

B.

2 3

C.

3 6

D.

2 6

6 .如果不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x ? 2 ? x ? 4} ,那么对于函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 应有 ( ) A. f (5) ? f (2) ? f (?1) C. f (2) ? f (?1) ? f (5) B.D. f ( ?1) ? f (5) ? f (2) D. f (5) ? f ( ?1) ? f (2)

7. 若函数 f ( x) ? loga x 的图象与直线 y ?

1 x 相切,则 a 的值为( 3



1

A.

e

e 2

B.

e

3 e

5 C. e e

D. e

e 4

8. 已知椭圆的焦点是 F1、 F2, P 是椭圆的一个动点, 如果 M 是线段 F1P 的中点, 则动点 M 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 ??? ? ??? ? 9. △ABC 满足 AB ? AC ? 2 3 , ∠BAC=30°, 设 M 是△ABC 内的一点(不在边界上), 定义 f ( M ) ? ( x, y, z ) , 其中 x , y , z 分别表示△MBC△MCA,△MAB 的面积,若 f ( M ) ? ( x, y , 1 ) ,则
2

1 4 ? 的最小值为( x y

)

A.9 B.8 C.18 D.16 10. 点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,则下列四个结论:①三棱锥 A-D1PC 的体积不变; ②A1P∥平面 ACD1;③ DP ? B1C ;④平面 PDB1⊥平面 ACD1.其中正确的结论的个数是 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

11. 把正奇数数列 ?2n ?1 ? 的各项从小到大依次排成如下三角形形状数表: 1 3 7 13 15 9 17 5 11 19

???

???

???

???

???


记 M(s,t)表示该表中第 s 行的第 t 个数,则表中的奇数 2007 对应于( A. M(45,14) B. M(45,24) C. M(46,14) D. M(46,15) 12.已知函数 y ? f ( x) 对任意的 x ? ( ? 是( A. )

? ?

, ) 满足 f ' ( x)cos x ? f ( x)sin x ? 0 , 则下列不等式成立 的 2 2
B.

2 f (? ) ? f (? ) 3 4

?

?

C. f (0) ? 2 f ( )

?

3

2f( )? f( ) 3 4 ? D. f (0) ? 2 f ( ) 4

?

?

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题卡相应位置上) 13.已知 {an } 是等比数列,若 a1 , a5 是方程 x
2

? px ? 4 ? 0( p ? 0) 的两个根,则 a3 =



?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 14.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 ,若 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在点(3,0)处取得 ?y ?1 ? 0 ?
最大值,则 a 的取值范围为 。
2

15.设 f ( x) ? x 3 ? x, x ? R ,当 0 ? ? ? ? 时, f (m cos? ) ? f (sin? ? 2m) ? 0 恒成立,则实数 m 的 取值范围是 。

2 y2 16.已知椭圆 C: x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为椭圆 C 上的任意一点,若以

a

b

F1 , F2 , P 三点为顶点的三角形一定不可能为等腰钝角三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围
是 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的 制定区域内.) 17.( 本小题满分 10 分) 已知 a ? 0, a ? 1 ,设 p:函数 y ? log a ( x ? 1) 在(0,+∞)上单调递减;q:曲线 y ? x 2 ? (2a ? 3) x ? 1 与

x 轴交于不同的两点,如果 p 且 q 为假命题,p 或 q 为真命题,求 a 的 取值范围. 18.( 本小题满分 12 分)
已知抛物线 C: x 2 ? 8 y . AB 是抛物线 C 的动弦,且 AB 过 F(0,2),分别以 A、B 为切点作轨迹 C 的切线,设两切线交点为 Q ,证明: AQ ? BQ .

19.( 本小题满分 12 分) 已知二次函数 y ? f ( x) 的图 像过坐标原点,其导函数 f '( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 前 n 项和为

Sn ,点 (n, Sn )(n ? N*) 均在 y ? f ( x) 的图像上。
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 b ? n 围。
3 , T 是数列 {b } 的前 n 项和,求当 T ? m 对所有 n ? N * 都成立 m 取值范 n n n 20 an an?1

3

20.(本小题满分 12 分) 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 6,点 E,F 分别在边 AB,AD 上,AE=AF=4,现将△AEF 沿线 段 EF 折起到△A′EF 位置,使得 A′C=2 6. (1)求五棱锥 A′-BCDFE 的体积; (2)求平面 A′EF 与平面 A′BC 的夹角.

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 中心在原点,焦点在坐标轴上,且该椭圆经过点 ( 1 , 6 ) 和点 ( 2 ,?1) 2 2 2 求(1)椭圆 C 的方程 (2) P, Q, M , N 四点在椭圆 C 上, F1 为负半轴上的焦点,直线 PQ, MN 都过 F1 且 MF1 ? QF1 ? 0 ,求四边形 PMQN 的面积最小值和最大值.

22. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ( x 2 ? 2ax)ebx , x 为自变量 (1) 函数 f ( x ) 分别在 x ? ?1 和 x ? 1 处取得极小值和极大值,求 a , b . (2)若 a ? 0 且 b ? 1 , f ( x ) 在 [?1,1] 上是单调函数,求 a 的取值范围

4

孟津一高 2015-----2016 学年上期期末考试 一.选择题 AABDC 一.填空题 13. DBBCC AA

?2

14. a ?

1 2

15. (

3 ,??) 3

16. (0, ] ? [ 2 ? 1,

1 3

2 ] 2

三 解答题 17. 解:若 P 为真,则 0<a<1

…………(2 分)

若 q 为真,曲线 y ? x 2 ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴交于不同两点等价于 (2a ? 3) 2 ? 4 ? 0又a ? 0且a ? 1 解 得0 ? a ?

1 5 或a ? 2 2

…………(4 分)

? p ? q 为真, p ? q 为假 ? p与q有且只有一个为真命题(a ? 0且a ? 1)

?0 ? a ? 1 1 ? 若 P 真 q 假, 则 ? 1 5 ? ? a ?1 2 ? a ? 1或1<a ? ? ?2 2 ?a ? 1 ? 若 P 假 q 真 ,则 ? 1 5 0 ? a ? 或a ? ? ? 2 2
综上,a 的取值范围为 ? ,1? ? ?

…………(6 分)

?a ?

5 2

…………(8 分)

?1 ? ? 5 ? , ?? ? ?2 ? ? 2 ?

…………(10 分)

18.证明 因为直线 AB 与 x 轴不垂直, 设直线 AB 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).

y=kx+2, ? ? 由? 1 2 y= x , ? ? 8
可得 x -8kx-16=0,x 1+x2=8k,x1x2=-16 1 2 1 抛物线方程为 y= x ,求导得 y′= x. 8 4 所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是 1 4 1 4 1 4 1 4 1 16
2

…………(4 分) ……………(7 分)

k1= x1,k2= x2,k1k2= x1· x2= x1·x2=-1
所以 AQ⊥BQ.

…………(10 分) ……………(12 分)

2 x) ? 2a x b? , ? a ? 3, b ? ?2 , 19. (1) 设二次函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) , 则 f ?( 由于 f ?( x) ? 6 x ? 2 ,

? f ( x) ? 3x2 ? 2 x ,

…………(2 分)

又?点(n,sn )(n ? N? )均在 y ? f ( x) 的图像上,? sn ? 3n2 ? 2n
5

当 n ? 2 时,

an ? sn ? sn?1 ? (3n2 ? 2n) ? [3(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 6n ? 5 ………(4 分)
当 n ? 1 时, a1 ? s1 ? 3 ?12 ? 2 ? 6 ?1 ? 5 , …………(5 分) …………(6 分)

? an ? 6n ? 5,(n ? N ? )
(2)由(1)知 bn ? 故 Tn ?

3 3 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ……(8 分) an an?1 (6n ? 5)[6( n ?1) ? 5] 2 ? 6 n ?5 6 n ?1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? )] ? (1 ? ) 2 7 7 13 6n ? 5 6n ? 1 2 6n ? 1
…………(10 分)

1? 1 ? ? Tn ? ? 1 ? ? 单调递增 2 ? 6n ? 1 ?
? Tn ? T1 ?
因此,要使 即m ? 20.

3 7

…………(11 分)

m 3 1? 1 ? m ? ?1 ? ? ? ,(n ? N ) 成立的 m 必须且仅须满足 20 ? 7 , 2 ? 6n ? 1 ? 20
…………(12 分)

60 7

(1)如图,连接 AC,设 AC∩EF=H,连接 A′H. 由四边形 ABCD 是正方形,AE=AF=4,得 H 是 EF 的中点,且 EF⊥AC. 从而有 A′H⊥EF,CH⊥EF, 所以 EF⊥平面 A′HC,从而平面 A′HC⊥平面 ABCD …………(2 分) 过点 A′作 A′O 垂直于 HC 且垂足为点 O, 则 A′O⊥平面 ABCD. ……………(4 分) 因为正方形 ABCD 的边长为 6,AE=AF=4, 所以 A′H=2 2,CH=4 2. A′H2+CH2-A′C2 8+32-24 1 所以 cos∠A′HC= = = . 2A′H×CH 2×2 2×4 2 2 所以 HO=A′H·cos∠A′HC= 2,A′O= 6. 1 1 28 6 2 所以五棱锥 A′-BCDFE 的体积 V= ×(6 - ×4×4)× 6= . ………(6 分) 3 2 3 (2)由(1)知 A′O⊥平面 ABCD,且 CO=3 2,
6

连接 BD,则点 O 是 AC,BD 的交点. 如图, 以点 O 为原点, 以 OA, OB, OA′所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 则 A′(0,0, 6),B(0,3 2,0),C(-3 2,0,0),D(0,-3 2,0), E( 2,2 2,0),F( 2,-2 2,0). ………………(7 分)

设平面 A′EF 的法向量为 m=(x,y,z), 则 m· FE =0? (x,y,z)·(0,4 2,0)=0? y=0,

??? ?

???? m· A' E =0? (x,y,z)·( 2,2 2,- 6)=0? x= 3z.
令 z=1,得平面 A′EF 的一个法向量 m=( 3,0,1). …………….(9 分) 设平面 A′BC 的法向量为 n=(x′,y′,z′). 则 n· CB =0? (x′,y′,z′)·(3 2,3 2, 0)=0? y′=-x′,

??? ?

n· A' B =0? (x′,y′,z′)·(0,3 2,- 6)=0? z′= 3y′. 令 y′=1,则 x′=-1,z′= 3, 得平面 A′BC 的一个法向量 n=(-1,1, 3). …………( 11 分) 所以 cos〈m,n〉=0,即平面 A′EF 与平面 A′BC 的夹角为 ? ……………(12 分)
2

????

21.解:(1)设椭圆 C 方程为 mx2 ? ny2 ? 1, 其中 m ? 0, n ? 0 且 m ? n 。

6 ?1 m? n ?1 ? 1 6 2 ?4 4 将点 ( , )和( ,?1) 代入方程得 ? 1 2 2 2 ? m?n ?1 ?2 ?

?m ? 1 ? 解得 ? 1 n? ? ? 2

y2 ?1 所以椭圆 C 的方程是 x ? 2
2

…………(4 分)

(2)由(1)知: F1 (0,?1)

7

若 PQ 斜率存在且不为 0,设为 k ,则 PQ 方程: y ? kx ? 1

? y ? kx ? 1 ? 联立得 ? 2 y 2 ,消去 y 得 (k 2 ? 2) x 2 ? 2kx ? 1 ? 0 x ? ?1 ? ? 2
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

2k 1 , x1 x2 ? ? 2 k ?2 k ?2
2

? PQ ?

2

8(k 2 ? 1) 2 2 2 (k 2 ? 1) , ? PQ ? (k 2 ? 2) 2 k2 ? 2
1 k

…………(6 分)

? MF1 ? QF1 ? 0,? MN 斜率为 ?
同理: MN ?

2 2 (k 2 ? 1) 2k 2 ? 1

所以,四边形面积 S ?

1 4(k 2 ? 1) 2 PQ ? MN ? 2 2 (k ? 2)(2k 2 ? 1)

…………(8 分)

2 设 k ? 1 ? u ? 1, S ?

4u 2 4 ? 2 2u ? u ? 1 ? ( 1 ) 2 ? 1 ? 2 u u
…………(10 分) …………(11 分)

? u ? 1,? 0 ?

1 16 ? 1? ? S ? 2 u 9

若 PQ 斜率不存在或为 0 时, S ? 2 综上所述,四边形面积最大值为 2 ,最小值为 22.(1)解 f ' ? [bx2 ? (2 ? 2ab) x ? 2a]ebx

16 9

…………(12 分) …………(1 分)

? f ( x) 的极值点为 1,-1

?2 ? 2ab ? 0 ? ?1,?1 是 f ( x) ? 0 的二根,故 ? 2a ? ? ?1 ? ? b
'

? 2 ? 2 ?a ? ?a ? ? 解得: ? 2 或? 2 ?b ? 2 ?b ? ? 2 ? ?

…………(3 分)

? ? 2 2 ?a ? ?a ? ? 当? 2 时 ,易判断与已知矛盾。? ? 2 ?b ? 2 ?b ? ? 2 ? ?

…………(5 分)

8

(2)当 b ? 1 时, f ' ? [ x 2 ? (2 ? 2a) x ? 2a]e x 令 f ' ? 0 即 x 2 ? (2 ? 2a) x ? 2a ? 0

? ? ? 4(a 2 ? 1) ? 0

? x1 ? a ? 1 ? a 2 ? 1 , x2 ? a ? 1 ? a 2 ? 1, x1 ? x2 …………(7 分)
?a ? 0

? x1 ? ?1, x2 ? 0

…………(9 分)

? f ( x ) 在 [?1,1] 上单调的充要条件是 [?1,1] ? [ x1 , x2 ] …………(10 分)
设 g ( x) ? x 2 ? (2 ? 2a) x ? 2a ,只需要 g (1) ? 0

?a ?

3 4

…………(12 分)

9


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