nbhkdz.com冰点文库

数学竞赛专题培训:因式分解


数学竞赛专题培训:因式分解
1.双十字相乘法 分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二 次六项式(ax +bxy+cy +dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法 分解因式. 例如,分解因式 2x -7xy-22y -5x+35y-3.我们将上式按 x 降 幂排列,并把 y 当作常数,于是上式可变形为 2x -(5+7y)x-(22y -35y+3), 可以

看作是关于 x 的二次三项式. 对于常数项而言,它是关于 y 的二次三项式,也可以用十字 相乘法,分解为
2 2 2 2 2 2

(1)用十字相乘法分解 ax +bxy+cy ,得到一个十字相乘图(有 两列); (2)把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上, 要求第二、第 三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 ey,第一、第三 列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 dx. 例 1 分解因式: (1)x -3xy-10y +x+9y-2; (2)x -y +5x+3y+4; (3)xy+y +x-y-2; (4)6x -7xy-3y -xz+7yz-2z . 解 (1)
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

即:-22y +35y-3=(2y-3)(-11y+1). 再利用十字相乘法对关于 x 的二次三项式分解 原式=(x-5y+2)(x+2y-1). (2)

2

所以,原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)] =(x+2y-3)(2x-11y+1). 上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两 个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:

原式=(x+y+1)(x-y+4). (3)原式中缺 x 项,可把这一项的系数看成 0 来分解.
2

原式=(y+1)(x+y-2). (4) 它表示的是下面三个关系式: (x+2y)(2x-11y)=2x -7xy-22y ; (x-3)(2x+1)=2x -5x-3; (2y-3)(-11y+1)=-22y +35y-3. 这就是所谓的双十字相乘法. 用双十字相乘法对多项式 ax +bxy+cy +dx+ey+f 进行因式分 解的步骤是:
2 2 2 2 2 2

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).

1

2.求根法 我们把形如 anx +an-1x +…+a1x+a0(n 为非负整数)的代数式称为关 于 x 的一元多项式,并用 f(x),g(x),…等记号表示,如 f(x)=x -3x+2,g(x)=x +x +6,…, 当 x=a 时,多项式 f(x)的值用 f(a)表示. 如对上面的多项式 f(x) f(1)=1 -3×1+2=0; f(-2)=(-2) -3×(-2)+2=12. 若 f(a)=0,则称 a 为多项式 f(x)的一个根. 定理 1(因式定理) 若 a 是一元多项式 f(x)的根,即 f(a)=0 成立,则多项式 f(x)有一个因式 x-a. 根据因式定理,找出一元多项式 f(x)的一次因式的关键是求 多项式 f(x)的根.对于任意多项式 f(x), 要求出它的根是没 有一般方法的,然而当多项式 f(x)的系数都是整数时,即整 系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.
2 2 2 5 2 n n-1

例 3 分解因式:9x -3x +7x -3x-2. 分析 因为 9 的约数有±1,±3,±9;-2 的约数有±1,±

4

3

2

为:

所以,原式有因式 9x -3x-2. 解 9x -3x +7x -3x-2 =9x -3x -2x +9x -3x-2 =x (9x -3x-2)+9x -3x-2 =(9x -3x-2)(x +1) =(3x+1)(3x-2)(x +1) 说明 若整系数多项式有分数根, 可将所得出的含有分数的因 式化为整系数因式,如上题中的因式
2 2 2 2 3 2 4 3 2 2 4 3 2

2

定理 2 的根, 则必有 p 是 a0 的约数, 是 an 的约数. q 特别地, a0=1 当 时,整系数多项式 f(x)的整数根均为 an 的约数. 我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因 式,从而对多项式进行因式分解. 例 2 分解因式:x -4x +6x-4. 分析 这是一个整系数一元多项式, 原式若有整数根, 必是-4 的约数,逐个检验-4 的约数:±1,±2,±4,只有 f(2)=2 -4×2 +6×2-4=0, 即 x=2 是原式的一个根, 所以根据定理 1, 原式必有因式 x-2. 解法 1 用分组分解法,使每组都有因式(x-2). 原式=(x -2x )-(2x -4x)+(2x-4) =x (x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x -2x+2). 解法 2 用多项式除法,将原式除以(x-2),
2 2 3 2 2 3 2 3 2 2

可以化为 9x -3x-2,这样可以简化分解过程. 总之,对一元高次多项式 f(x),如果能找到一个一次因式 (x-a), 那么 f(x)就可以分解为(x-a)g(x), g(x)是比 f(x) 而 低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对 g(x)进行分 解了. 3.待定系数法 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛, 这里介绍它在因式分解中的应用. 在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成 某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可 以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个 因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该 相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定 系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式 分解的方法叫作待定系数法. 例 4 分解因式:x +3xy+2y +4x+5y+3. 分析 由于 (x +3xy+2y )=(x+2y)(x+y), 若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是 x+2y+m 和 x+y+n 的形式,应用待定系数法即可求出 m 和 n,使问
2 2 2 2

所以原式=(x-2)(x -2x+2). 说明 在上述解法中, 特别要注意的是多项式的有理根一定是 -4 的约数, 反之不成立, 即-4 的约数不一定是多项式的根. 因 此,必须对-4 的约数逐个代入多项式进行验证.

2

题得到解决. 解 设 x +3xy+2y +4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n)
2 2

2

=x +3xy+2y +(m+n)x+(m+2n)y+mn, 比较两边对应项的系数,则有 (3)3x -11xy+6y -xz-4yz-2z .
2 2 2

2

2

解之得 m=3,n=1.所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1). 说明 本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下. 例 5 分解因式:x -2x -27x -44x+7. 分析 本题所给的是一元整系数多项式, 根据前面讲过的求根 法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7 的约数),经 检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没 有一次因式. 如果原式能分解, 只能分解为(x +ax+b)(x +cx+d) 的形式. 解 设 原式=(x +ax+b)(x +cx+d) =x +(a+c)x +(b+d+ac)x +(ad+bc)x+bd, 所以有 3.用待定系数法分解因式: (1)2x +3xy-9y +14x-3y+20;
2 2 4 3 2 2 2 2 2 4 3 2

2.用求根法分解因式: (1)x +x -10x-6;
3 2

(2)x +3x -3x -12x-4;

4

3

2

(3)4x +4x -9x -x+2.

4

3

2

(2)x +5x +15x-9.

4

3

由 bd=7,先考虑 b=1,d=7 有

所以 原式=(x -7x+1)(x +5x+7). 说明 由于因式分解的唯一性,所以对 b=-1,d=-7 等可以不 加以考虑.本题如果 b=1,d=7 代入方程组后,无法确定 a, c 的值,就必须将 bd=7 的其他解代入方程组,直到求出待定 系数为止. 本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式.但利用 待定系数法,使我们找到了二次因式.由此可见,待定系数 法在因式分解中也有用武之地. 练习二 1.用双十字相乘法分解因式: (1)x -8xy+15y +2x-4y-3;
2 2 2 2

(2)x -xy+2x+y-3;

2

3


数学竞赛专题培训:因式分解

数学竞赛专题培训:因式分解 1.双十字相乘法 分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二 次六项式(ax +bxy+cy +dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法...

人教版高中数学竞赛讲座:因式分解

人教版高中数学竞赛讲座:因式分解_学科竞赛_高中教育_教育专区。竞赛讲座 22 -因式分解 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,具有一定的灵活性和技巧性,下面...

初中数学竞赛专题培训(1):因式分解(1)

初中数学竞赛专题培训(1):因式分解(1)_学科竞赛_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 初中数学竞赛专题培训(1):因式分解(1)_学科竞赛_初中...

初中数学竞赛专题培训

初中数学竞赛专题培训讲练 主讲人:蒋老师 初中数学竞赛专题培训第一讲:因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广 泛地应用于初等数学...

初中数学竞赛专题培训(1):因式分解(1)

初中数学竞赛专题培训(1):因式分解(1)_学科竞赛_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 初中数学竞赛专题培训(1):因式分解(1)_学科竞赛_初中...

初中数学竞赛专题培训(2):因式分解(2)

初中数学竞赛专题培训(2):因式分解(2)_学科竞赛_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 初中数学竞赛专题培训(2):因式分解(2)_学科竞赛_初中...

初中数学竞赛专题培训(2):因式分解(2)

成为数学尖子生的四大要求:认真,踏实,坚持,自律 初中数学竞赛专题培训第二讲:因式分解(二) 1.双十字相乘法 分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二...

初中数学竞赛专题培训

初中数学竞赛专题培训_数学_小学教育_教育专区。初中数学竞赛专题培训 数学事业部 第一讲:因式分解(一) ... 1 第 二讲:因式分解(二) ... 4 第三 讲实数的...

初中数学竞赛专题培训

初中数学竞赛专题培训_初三数学_数学_初中教育_教育专区。竞赛辅导与学习资料数学...(2)把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上, 要求 第二、第三列构成的...

初中数学竞赛专题培训第一讲:因式分解(一)

初中数学竞赛专题培训第一讲:因式分解(一)_初一数学_数学_初中教育_教育专区。初中数学竞赛专题培训第一讲:因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形...