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2011年北京市中学生数学竞赛复赛(高一)


2 0 1 2年第 4期 

2 7  

2 0 1   1 年北 京 市中 学 生 数 学 竞赛 复 赛 ( 高一 )  
中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 : 1 0 0 5 — 6 4 1 6 ( 2 0 1 2 ) 0 4- 0 0 2 7 一 o 4  

/>一



填空题 ( 每 小题 8分 , 共4 0分 )  

径 为 l的圆纸 片对任 意标 准 r t 点组都 能 至少  盖住其 中的 2 5个点 , 试求 r t 的最小值 .  

1 . 二 次i 项式 
+n  +b ( a、 b∈ N)  

的根 是 实 数 , 且a b=2   州 ’ .则这 样 的二 次 三 

五、 ( 1 5 分) 已知函数 R —R, 使得对任  意实数 、 Y 、   都 有 
x y )+   材)   ) ≥   1
.  

项式共有 

个.  

2 . 在 半 径 为 1的 o  0 中 内 接 有 锐 角  △A B C, H是 △ A B C的垂 心 , 角平 分 线 A L垂 
直于 O H .则 B C=   .   3 . 已知定 义在 R上 的 函数 
) =  和 g (  ) =2 x+ 2 m .  

求[ 1   ( 1 ) ] + [  ( 2 ) 1 + . . ? + [ 2 0 1 1 ] ' ( 2 0 1 1 ) ]   的值( [ a ] 表示不超过实数 a的最大整数) .  

参 考 答 案 




1 . 1   3 41 .  

若r ( x ) = 厂( g(   ) ) 一 g  
为  1


) ) 的最小值 

则m =  
. 
— —

易知 , 数a 、 b 是 2的非负整数指数的幂 ,   即  = 2   , b =2   叭   - k . 于是 , 由 
A =口  一4 b ≥O  

4? t a " n   3 7 . 5。=

5 ? 设  ) =  
(  )=   ) ) ,  

. 定义 

2 k ≥ 2   0 1 3 一 k   ≥ 半 : 6 7 1 .  
但 ≤2   0 1 1 , 故k 能够取 
2   0 1 l一6 7 l+l=1   3 41  

(  )=   一 . (  ) )( t= I 2 , 3 , …) .  

则  o 。 。 ( 2   0 l 1 )=


个不 同的整数值.  
而每个 k恰 对 应 一 个 所 求 的二 次 三 项  式, 故这样 的二次 三项 式共有 l   3 4 1个.  
2.  

. 


二、 ( 1 5分 ) 已知 D是正△ A B C边 BC上 

点, 设△ A B D、 △A C D的内心分别为 , I 、 , 2 ,   外 心分 别 为 0 。 、 0 : . 证明I  


I t 0  +1 2 0  =, .  .  

如图 1 , 延长 A O与 0 D交 于 点  , 联 结  A H并 延长 与 B C交于点  , 联结 C N .  

三、 ( 1 5分 ) 设 I t是正 整数 , 记 
! = 1×2 ×… ×  .  

求方 程 
+  + . - 。+

[ 击】 = 2   0 1 1  

的所有正整数解 ( [ a ] 表示不超过实数 a的  最大整数) .   四、 ( 1 5分 ) 平面上的 n 个 点, 若其 中任 
三个点 中必 有 两 个 点 的距 离 不 大 于 1 , 则 称  这样 的 n个点 为 “ 标 准 n点 组 ” . 要 使 一个 半 
图 1  

在R t △C A N和 R t △A Ht B中 ,  

万方数据

中 等 数 学 
A NC =   A B C .  
:   :   一2 +   一   .  

于是 ,   C A N=   B A H p  .  

由A L 是A A B C的角平分线得 
OAP =   P.  

i  ̄ t a n   3 7 . 5 。 =  = 旱 =  一 2 +  一  .  
暑 

由A P上 O H, 得A H= A O=1 .   延长 B O与 oD交于 点 M, 联结A M、 C M、  
CH.  

。 3   0 1 7。  

记  )= f o ( x )=   l +   x


则 

易知, 四边形 A MC H为 平行 四边形.  
则C M= A H= A O=1 .  

又B M= 2 , 故在 R t   AM B C中, 由勾股定 
理得 
BC :  =  .  



 

薏 l 一 3 ?   一   …   ,  
1 一  = 

(   ) =   (   ) )   = -   1   +   3 x= 戈 ,  
(   ) = , (  ) ; , 0 (   )   .   于是 ,  (  ) 的表达式 是周期 为 3的循 环  重 复的。  
则  o l 1 (  )=   6 7 0 +   ( x )  
=  

3 ?一  

注意到,   F (   ) =f( g (   ) ) - g ( 厂 (   ) )  


( 2  + 2 m)  一( 2 x   +2 m)  

=2   +8mx+4m 一2 m 

= z ( x+ 2 m)  一 4 m   一 2 m.  

(  ):   x-1  
. 

则一 4 m 2 — 2 m=   1  
A.   一2   一   .  

m=


一  

.  

故  . ( 2   0 1 1 )=  

=  

.  

二、 如图 3 , 作 以 A为 中心 、 逆 时 针 旋 转 

如图 2 , 作等腰 R t   AA B C , 使 
G =9 0。.   AC =BC =1.  

则A B=   .   作  C A D=3 0 。 .  

则 ∞ 每  竽.   C  




, D 

D  E   B 

1 

/  

图2  

B  

作  B A D的平分线 A E记 C E- - - X . 则 
BE =l- -X, 加 =  _  

l 冬 I   3  

因  A D C+   A D, C  
=  

A DC +   A DB =1 8 0 。 。  

所以, A、 D、 C、 D。 四点 共 圆.  
√ 3  

因此 , D 2 是△A D   C的外 心 , 即 
0.   D, .  

故 

=  

丁  

从而 , A O l = D Ol = A O 2 = D O 2 =0 l 0 2 .  

万方数据

2 0 1 2年第 4期 

故 点 0。 在△ A C D的外 接 圆  0 2 上, 且 
0l AO2:   0l DO2=6 0。 .  

设  = 6 口+   : 6 口 + 6 +   , 其中, O <r  ̄ 2  
<5   1 , O≤6 ≤5, b∈ N。  

由   A , 1 D= 9 0 。 + LA B D= 1 2 0 。 , 知点 
,   在q ) o 2 上.   则/0 l , l D=1 8 0 。 一   0 1 A D  
=1 8 0。一3 0 。=1 5 0 。 .  
l l 01 D+   , J DOI=1 8 0 。一1 5 0。=3 0。 .  

因 此 , 【   】 = 6 a + b .  

蕲: 3 0 口 + 5 b +   r 2 = 3 0 口 + 5 6 + c 喑,  
其中 , 0 ≤r 3 < 4   1 , 0 ≤ c ≤ 4 , c ∈N .  
因此 ,   = 3 0 。+ 5 b+c .  

同理 , 点, 2 在△ A B D 的外 接 圆o D  上 ,  
DI 2 02=1 5 0。 .  

又   , l D , 2 = 寺 × 1 8 0 。 = 9 0 。 , 则  
I 2 DO2+  
=  

设  =1 2 o 口+ 2 0 6 + 4 c+  
1 2 0 ¨ 2 0 b+ 4 c+   ,  

, l DOl   0, DO 



, ,  

一  

=9 0。一6 0 。=3 0 。 .  

其 中, 0 ≤r 4 < 3   1 , 0 ≤d ≤3 , d∈ N .  
因此 ,   =1 2 0 口+ 2 0 b+ 4 c  

比较得  I i 0   D=   I 2 o o 2 .  

故△ 01 , 。 J D  △% 0 2  
j, 1 0 1 = D, 2 , D I l =ho 2 .   设  = 3 6 0   6 0 b +1 2 c + 3  
_3 6 o¨ 6 06+1 2 c+3d+¨   ,  

注 意到 ,   J r 。   = 9 0 。 .   由勾 股定理 得 

+   : 1 1 丘 .   因此, , 。 0   + , 2 0 ; = I i  .  
三、 对 正整 数解 有 
x] >x-1
=   ,   :


其 中, 0  ̄r < 5 < 2, e = 0 , 1 , 2 .  

眦, [ 者 】 = 3 6 0 口 + 6 0 b + 1 2 c  + e .  
,  

设 卉 = 7 2 0 口 + l 2 0 6 + 2 4 c + 6 d + 2 e + 罱  
= 7 2 0 a  1 2 0 b  2 4 c  6 d+ 2 e  f 。  

【  】 = 【 詈 】 > 詈一 , .  
 ̄ l J l   x +   + 詈 _ l < 2   0 1 1  

其 中, ,= 0, 1?  

则式①等价于 
1   2 3 7 a+ 2 0 6 b+ 4 1 c  1 0 d+3 e  l  


挚 < 2   o 1 2   1  
:  <1   2 0 7. 5  

2   0l 1 .  

由口 , b , …, , 的取值范围依次得 
a:1 , b= c= d= 3 , e =1 , f = o .  

【   】 = 【 爵 】 一 一 = 【 击】 = 0  

故所求为 
=l×7 2 0 +3× 1 2 0+3 ×2 4+   3×6+l×2+0×1  


【 青 】 + 【 者 】 + … + 【 者 】 = 2   o ? ? . ①  
设 亩 = 口 + 丽 r 1 ( 0 ≤   < 6   1 ’ 0 ≤ 口 ≤ 6 , 口 ∈ N ) ?  
因 此 , [ 舂 】 = m  
万方数据

1  1 7 2 .  

四、 首先 证 明 : n   i   > 4 8 .  

在平面上作长为 5的线段 A B, 分别 以A   和 B为 圆  、 0 . 5为半径 作 两个 圆. 在 每 一个 

中 等 数 学 

圆内, 取2 4个点. 则平 面上有 4 8个点 满 足题 

没条件 ( 任意三 点 中必有 两点 的距离 不大 
于 1 ) .  

厂 ( 1 ) : 喜  
又令 y =  = 0 . 则 

显然 , 不 可能作 出一个半 径 为 1 的圆, 其 
包 含有 2 5个所 选的点.  
因此 , 凡  > 4 8 .  

o ) +  0 ) 一   0 ) ≥ ÷ .  
将   o ) : 丢 代 人 得 , 对 任 意 实 数   都 有  
) ≤   ..  
又 令 Y= z =1 . 贝 0  

其次证明: n   ;   = 4 9 .   若n = 4 9 , 设 A是其中的一点. 作半径为  l 的  . 若所有的点都在  4 中, 则满足题设 
条件.  

① 

否则 , 至少有一 点  不在 oA 中. 再 作半  径为 1的 0露 . 则 点 A、 B的距离大 于 l ( 如 
图 4) .  

戈 ) +   ) 一 , (  1 ) ≥ ÷ .  
将  1 ) :   代入得 , 对任意实数 都有 

) ≥ ÷.  
综合式① 、 ②, 对任意实数 都有 
): 了 1
. 

②  

经 验 证 ,  ) = 告 满 足 题 设 条 件 .  
故[ 1   1 ) ] + e 2 f ( 2 ) ] + . . ? + [ 2 0 1 l , ( 2 0 1 1 ) ]  
1 冬 { 4  
=  +  ?+

【   】  

于是 , 除A 、  外, 余下的 4 7 个点 中每一 
点 P都与 A、 B组 成三点 组 , 必 有  ≤l 或P  ≤l ,   即点 P或 在 0A中 , 或在 0曰中.  
根据抽 屉原 理 , 必 有 一 个 圆 至少 包 含 了 

=0 +1+l+… +l   0 o 5+l   0 0 5  

= 2 ( 1+ 2+… +1   0 0 5 )  


( 1+1   0 0 5 )×1   0 0 5  

=l   0 l 1   0 3 0 .  

( 牵延 林

提供 )  

这4 7个 点 中的 2 4个 点 ( 不 妨设 为 0A) , 再 

加上圆心点 A , 就有不少于 2 5个点在这个半  径为 1 的0A中( 圆内或圆周上) .  
因此 , n的最小 值 是 4 9 .   五、 令  = y= : = 0 . 则 

0 ) +   0 ) 一 广( 0 ) ≥  

( J f ( 0 ) 一 寺 ) ‘ ≤ 0  
j, ( 0 ) =   1
。 

再令 ; ) , = :   1 . 同样有 

万方数据

2011年北京市中学生数学竞赛复赛(高一)
刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 中等数学 High-School Mathematics 2012(4)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx201204009.aspx


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