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2.1.1-平面


§2.1.1 平 面

问题提出
1.点、直线、平面是构成空间图形的 三个基本 元素,在长方体中,顶点, 棱所在的直线,以及侧面、底面之间存在哪些位 置关系? D′ C′ B ′ A′ D A B C

2.空间中,点、直线、平面之间有哪些基本位置 关系?我们将从理论进行分析和探究.

1. 平面的概念:<

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光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象,数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.

1、平面的概念
桌面

黑板面 平静的水面

平面的形象

几何里的平面是无限延展的.

2. 平面的特征:

平展性

无限延展性 没有厚度

3. 平面的画法: (1)水平放置的平面: (2)垂直放置的平面:

? ?
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成45o.

3、平面的画法
如果一个平面被另一个平面挡住,则这遮挡的部 分用虚线画出来.

? ?

? ?

4、平面的表示法
平面通常用一个希腊字母α、β、γ等来表示, 也可用表示平行四边形的四个顶点或两个相对顶 点的字母来表示,如平面ABCD或平面AC、平面BD.

?
?

D
A B

C

平面?

平面?

平面ABCD 平面AC 平面BD

5、点、线、面的基本位置关系
图形 符号语言 文字语言(读法) 点在直线上 点不在直线上

A
A

a
a

A? a
A? a

? A
? A
A b a

A ??

点在平面内
点不在平面内 直线

A ?? a?b ? A

a、 b 交于点

图形

符号语言

文字语言(读法)
直线 a 在平面? 内 直线 a与平面 ? 无公共点

?
?

a
a

a ??
a?? ? ?

?

a

A

a?? ? A 直线与 a平面? 交于点A
? ?? ? l
平面 ? 与? 相交于直线l

例2. 把下列语句用集合符号表示,并画 出直观图. (1) 点A在平面?内,点B不在平面?内, 点A,B都在直线a上; (2) 平面?与平面?相交于直线m,直线a 在平面?内且平行于直线m.

例2. 把下列语句用集合符号表示,并画 出直观图. (1) 点A在平面?内,点B不在平面?内, 点A,B都在直线a上; (2) 平面?与平面?相交于直线m,直线a 在平面?内且平行于直线m. B

? A
a

例2. 把下列语句用集合符号表示,并画 出直观图. (1) 点A在平面?内,点B不在平面?内, 点A,B都在直线a上; (2) 平面?与平面?相交于直线m,直线a 在平面?内且平行于直线m. B

?
a

? A

a m

?

例3. 把下列图形中的点、线、面关系用
集合符号表示出来. l a A B l a A B l

?

A
a

?
?

?
?

观察下图,你能得到什么结论?
桌面? A B

观察下图,你能得到什么结论?
桌面? A B

?

A

B

l

观察下图,你能得到什么结论?
桌面? A 公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内). B A l B

?

文字语言 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内. 图形语言

?

A

.·l · .·
B

符号语言

A?l ? B ?l ? ? ??l ?? A ?? ? B ?? ? ?

作用?

公理1是判断直线是否在平面内的依据.

为什么三脚架可以牢固支撑照相机或测量用 的经纬仪?

观察下图,你能得到什么结论?

B A C

观察下图,你能得到什么结论?

B A C A

B C

观察下图,你能得到什么结论?

B A C A

B C

文字语言 公理2:过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面.
· B

图形语言

α

· A

· C

符号语言

作用?

公理2是确定一个平面的依据.

把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平面 与桌面所在平面是否只相交于一点?为什么?

?

B

平面公理

把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么?

?

B

文字语言

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

?
图形语言

?

P

l

?? ? ? ? l 符号语言 p ?? , 且P ? ? ? ? 作用? ? p ?l

公理3是判定两个平面是否相交的依据.

回顾:平面的基本性质
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.

公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一 个平面.
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共 直线.

【例5】如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1 棱BB1的中点. (1)作出由A1,C1,M三点所确定的平面 与正方体表面的交线; (2)试作出平面A1C1M与 平面ABCD的交 线.
分析:因为点M既在平面 ?
内又在平面AB1内,所以点 M在平面?与平面AB1 的交线 上.同理,点A1在平面 ? 与平面 AB1的交线上,因此,MA1就是平 面? 与平面AB1的交线.

4.如图,已知△ABC的各顶点在平面α外,

直线AB、AC、BC分别交平面α于P、Q、R,
求证: P、Q、R三点共线
A C B

R α

Q

P

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