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等差数列公开课教学设计


《等差数列》教案
教材:人教版必修五 2.2 教学目标 知识与技能目标: 理解等差数列的定义; 会根据等差数列的通项公式求某一项的 值;会根据等差数列的前几项求数列的通项公式。 过程与方法目标:通过启发、讨论、引导、边教边练边反馈的方法提高学生思考 问题、解决问题的能力。 情感、态度、价值观目标:培养学生的逻辑推理能力;培养学生在探索中学习知 识的精神,增强学生相互合作

交流的意识。 教学重点:会求等差数列的通项公式。 教学难点:等差数列的通项公式的推导。 教学准备:课件 教学过程: 一、创设情境,引入课题 ① 如图 1 所示:一个堆放铅笔的 V 形架的最下面 一层放 1 支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放 1 支,这个 V 形架的铅笔从最下面一层往上面排起的 铅笔支数组成数列:1,2,3,4,……

图 1 面 自 动 ②某个电影院设置了 20 排座位, 这个电影院从第 1 排起各排的座位数组成数列: 注

38,40,42,44,46,……

③全国统一鞋号中,成年女鞋的各种尺码(表示以 cm 为单位的鞋底的长度)由 大到小可排列为:25,24.5,24,23.5,23,22.5,22,21.5. 二、 师生互动,探索新知 教师:请同学们仔细观察,你发现这三组数列有什么变化规律? 生:数列①从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于 ; 数列②从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于 ; 数列③从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于 ; [设计说明:采用边教学边反馈的方式,有利于教师及时了解学生理解新知识的 程度,增强学生学好数学的信心] 教师引导学生观察上面的数列①、②、③的特点。 提出问题 1:上面三个数列的共同特点是什么? 学生:从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。 教师:这样我们就得到了等差数列的定义。
1

<一>等差数列的定义:如果一个数列从它的第 2 项起每一项与它的前一项的差都 等于同一个常数,则这个数列叫做等差数列;这个常数叫做等差数列的公差,公 差通常用字母 d 表示。等差数列的公差 d 的数学表达式为:

an ? an?1 ? d (n ? N , 且N ? 1) 。
基础训练:1、上面数列①的公差 d= ; 数列②的公差 d= ; 数列③的公差 d= [设计说明:有利于学生扫除语言与符号转换的障碍] 2、下面的数列中,哪些是等差数列?若是,求出它的公差;若不是,则说明 理由。 (1) 6,10,14,18,22,……;(2)9,8,7,6,5,4,3,2;(3)3,3,3,3,3,3;(4)1,0,1,0,1,0,1,0. 提出问题 2:任何一个数列一定是等差数列吗?如果是等差数列,公差一定是正数 吗? 师生讨论得出结论: (1)、一个数列是等差数列必须具有这样的特点: 从第 2 项起,每一项与它的前 一项的差都等于同一个常数; (2)(2)等差数列的公差 d 可能是正数、负数、零。 [设计说明:从具体数列入手,有利于较多基础差的学生理解等差数的定义,判 断数列是否为等差数列转换成具体的步骤:求后面一项与前面一项的差,看这 些差是否相等] 提出问题 3: 等差数列 {an } 的公差 d 的数学表达式为: an ? an?1 ? d (n ? N , 且N ? 1) , 揭示了求公差 d 可以用哪些式子表示? 师生共同活动: d ? a2 ? a1 , d ? a3 ? a2 , d ? a4 ? a3 , ???, d ? an?1 ? an?2 , d ? an ? an?1 等, 变式: a2 ? a1 ? d , a3 ? a2 ? d , a4 ? a3 ? d , ???, an?1 ? an?2 ? d , an ? an?1 ? d

提出问题 4:如果等差数列 {an } 只知道首项 a1 ,公差 d,那么这个数列的其他项 如何表示?
? 师生共同活动: a2 ? a1 ? d ,
2( 个 ) ? ? a3 ? a2 ? d ? a1 ? d ? d ? a1 ? 2d , 1( 个 )

1( 个 )

2

3( 个 ) 2( 个 ) ? ? ?? ? ? ? a4 ? a3 ? d ? a2 ? d ? d ? a1 ? d ? d ? d ? a1 ? 3d , …, 1( 个 )

3( 个 ) n ?1( 个 ) 2( 个 ) ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? an ? an ?1 ? d ? an ?2 ? d ? d ? an ?3 ? d ? d ? d ? ??? ? a1 ? d ? d ? ??? ? d ? a1 ? (n ? 1)d 1( 个 )

[设计说明:问题 3、问题 4 的提出训练学生的变形思想、递归思想,从而引出等 差数列的通项公式及学生容易理解通项公式的变形公式] <二>等差数列的通项公式: 等差数列 {an } 的任一项为 an ,则它可以表示为: an

? a1 ? (n ?1)d ,这就

是等差数列的通项公式。 (说明:通项公式即对于等差数列的每一项都适用的公式,包括第一项:

a1 )
提出问题 5: d ? a2 ? a1 , d ? a3 ? a2 , d ? a4 ? a3 , ???, d ? an?1 ? an?2 , d ? an ? an?1 有个等 式? 如果将上述等式相加会得到等式:

(n ?1)d ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ???? ? (an?1 ? an?2 ) ? (an ? an?1 ) ,

(n ?1)d ? an ? a1 ,可求出等差数列的通项公式: an
由提出问题 4 的师生活动可知通项公式的变形: 1( 个 ) 2( 个 ) ? ? an ? an ?1 ? d ? an ? 2 ? d ? d ? an ? 2 ? 2d ,

? a1 ? (n ?1)d

(叠加法)

3( 个 ) 2( 个 ) ? ? ?? ? ? ? an ? an ?1 ? d ? an ?2 ? d ? d ? an ?3 ? d ? d ? d ? an ?3 ? 3d , ???, an ? am ? (n ? m)d 1( 个 )

小结:等差数列的通项公式: an

? a1 ? (n ?1)d

①,

变形公式: an ? am ? (n ? m)d ( n 、 m ? N ) ②(注意 n 不一定大于 m ) 公式的认识与理解: 1、通项公式含有四个量,根据公式之间的联系,由方程的思想,知三可求一; 2、与 a1 , an 两项直接相关时一般用公式①,与 am , an 两项直接相关时一般用公式 ② 三、 合作交流,熟练技能 例 1 求等差数列 5,7,9,11,……的通项公式与第 10 项。

3

[分析] 这个数列第一项(首项 a1 )是 5,知第一、二、三、四项,易求公差 d, 写出通项公式,再利用通项公求出第 10 项。 解:因为 a1 ? 5, d ? 7 ? 5 ? 2 ,所以这个等差数列的通项公式是

an ? 5 ? 2 ? (n ?1), 即 an ? 2n ? 3, a10 ? 2 ?10 ? 3 ? 23 。
例 2 数列 {an } 是等差数列. (1) 已知 d ? ?2, a16 ? 1, 求a1 ; (2)已知 a3 ? 5, a10 ? 47, 求d 。 [分析] 第(1)题与 a1 , a16 两项直接相关用公式①, 第(2)题与 a3 , a10 两项直接相关用公式② 解: (1) a16 ? a1 ? 15d , 1 ? a1 ? 15 ? (?2) ,解方程得 (2) a10 ? a3 ? 7d , 47 ? 5 ? 7d ,解方程得

a1 ? 31 。

d ?6 。

[设计说明:例 1 列出等差数列的前面四项,让学生学会观察数列的首项,学会直 接求出等差数列的公差, 增强感性认识;例 2 的分析是理性认识等差数列的通项 公式及其变形公式]

四、迁移应用,深化提高 1、等差数列 {an } 中,已知 a5 ? 10, a12 ? 31, 求a1 、 d 。 2、在 12 和 60 之间插入 3 个数,使它们与这两个数成等差数列,求这 3 个数。 [分析] 第 1 题:与 a5 , a12 两项直接相关用公式②求出 d ,与 a1 , a5 两项直接相关 或与 a1 , a12 两项直接相关用公式①求出 a1 。 第 2 题:插入 3 个数,这个等差数列共有 5 个数,已知 a1 ? 12, a5 ? 60, n ? 5 ,求 这 3 个数即是求 a2 , a3 , a4 ,由等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d 中的 a1 , d , n, an 四个量,将 a1 ? 12, a5 ? 60, n ? 5 代入公式看成方程,先求出公差 d,再代入通项 公式可求得这 3 个数。 解: (略) 补充练习:P119 练习 A 1、2 [设计说明:目的是使学生灵活运用等差数列通项公式及其变形公式。尤其是第 2 题,不少学生不会分析 60 是第几项,所求的 3 个数是第几项,即将语言转换成 符号的能力是学生的弱项]

4

五、积累与总结 1、知识梳理 (1)等差数列的定义,公差 d 的数学表达式为: an ? an?1 ? d (n ? N , 且N ? 1) ; (2)等差数列的通项公式: an

? a1 ? (n ?1)d

①,

变形公式: (注意 n 不一定大于 m ) . m? N) ② an ? am ? (n ? m)d ( n 、 2、方法、技巧现规律总结 如果等差数列的前面几项已列出,学会观察数列的首项,学会直接求出等差 数列的公差;与 a1 , an 两项直接相关时用通项公式,与 am , an 两项直接相关时用通 项公式的变形公式;如果有关等差数列的题目语言文字或数字时,学会把语言 转化为符号。 六、作业 七、 【教学反思】

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