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山东省济南市第一中学2010年高三12月阶段考试(数学理)


济南市第一中学 2010 年 12 月阶段考试 高三数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分。考试时间 120 分 钟。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,把答案填涂在答题卡上 1 已知集合 M=

?x | ?2 ? x ? 2, x ? R?,N= ?x | x ? 1, x ? R? ,则 M∩N 等于( A. (1,2) B. (-2,1) 2.下列命题是真命题的为 C. ? D. (-∞,2) D.若 )

2 A.若 x ? y ,则 x2 ? y 2 B.若 x ? 1 ,则 x ? 1 C.若 x ? y ,则 x ? y

1 1 ? , x y

则x ? y
2 3.命题: “若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是





,或 x ? ?1 A.若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

2 B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1

,或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 C.若 x ? 1

,或 x ? ?1 ,则 x ? 1 D.若 x ? 1
2

4.已知向量 AB ? (6,1), BC ? ( x, y), CD ? (?2,?3), 则AD等于 A. (4 ? x, y ? 2) 5.定义运算 a ? b ? ?
?a ?b

( D. (4 ? x, y ? 2) ( )



B. (4 ? x, y ? 2)

C. (?4 ? x,? y ? 2)

(a ? b) x , 则函数 f(x)= 1? 2 的图象是 (a ? b)

6.设 f ( x ) , g ( x) 是定义在 R 上的函数,h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则“ f ( x ) , g ( x) 均为偶函数” 是“ h( x) 为偶函数”的 ( A.充要条件 C.必要而不充分的条件 7. 已知等差数列 ) B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件 )

?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? (
5 4 ?7 D.


A.138 B.135 C.95 D.23 ? 3 ? 8. 已知? ? ( , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) 等于 (

2

A.

1 7

B. 7

C.

?

1 7

9.函数 y=log 1 x 2 ? 3x ? 2 的递增区间是
2

?

?


3 2

)? D.( ,+∞)
3 2

? A.(-∞,1)?

B.(2,+∞)?? C.(-∞, )

10.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则 ( A.0 ) B.1 C.2 D. 4

?a ? b?2 的最小值是
cd

11.已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 0 ,设圆中过点 (2,5) 的最长弦与最短弦分别为 AB 、

CD ,则直线 AB 与 CD 的斜率之和为( A. ?1 B. 0

) C. 1 D. ?2
? 4?

? 12.设 P 为曲线 C: ? x 2 ? 2 x ? 3 上的点, 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是 ?0, ? , y ? ?

则点 P 横坐标的取值范围为
1 ? A. ?? 1,? ? ? ? ? 2?



)? C.[0,1] ? D. ? ,1? ?2 ?
1 ? ?

B.[-1,0]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题纸相应题中横线上 13.函数 f(x)=

3x 2 1? x

+lg(3x+1)的定义域是

14.在Δ ABC 中,已知 sin A ? cos A ? 15. 1+

7 ,则Δ ABC 的形状是___________. 13

1 1 1 + +?+ = 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n

16.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、 右焦点分别是 F1 、F2 , 其一条渐近线方程为 y ? x , 2 b2

点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF · PF2 = 1 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 把答 案填在答题纸相应题中位置 17. (本小题满分12分) (1) 解下列不等式: (2) x ? x ? a ? a ? 0 、
2 2

x ?1 1 ? x?2 2

18. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos (1)求 a ? b 及 a ? b ;

?

? ?

? ?

3x 3x ? x x ? ,sin ) ,b ? (cos , ? sin ) ,且 x ? [ , ? . ] 2 2 2 2 2

(2)求函数 f ( x) ? a ? b ? a ? b 的最大值,并求使函数取得最大值时 x 的值.

? ?

? ?

19. (本小题满分 12 分)数列{an}的前 n 项和记为 Sn, a1 ? 1, an ?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1? (1)求{an}的通项公式; (2) 等差数列{bn}的各项为正, 其前 n 项和为 Tn, T3 且 成等比数列,求 Tn 20. (本小题满分 12 分)已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 为奇函数,且满足 f ?x ? 2? ? ? f ?x ? , 当 x∈[0,1]时, f ?x? ? 2 x ? 1 .? (1)求 f ?x ? 在[-1,0)上的解析式;? (2)求 f ? log 1 24? .?
2

b 2 ?3 3 ? 15 , a1 ? 1 , a 2 b , a ? b 又

? ? ?

? ? ?

21.已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在 且右顶点为 D(2,0).设点 A 的坐标是(1,

原点,左焦点为 F1 ? 3,0 ,

?

?

1 ). 2

(1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; (3)过原点 O 的直线交椭圆于点 B、C,求△ABC 面积的最大值.

22.已知函数 f ?x? ? x ? ax ? 3x ?
3 2

(1)若 f ?x ? 在区间[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围;? (2)若 x=- 是 f ?x ? 的极值点,求 f ?x ? 在[1,a]上的最大值;?
1 3

(3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g ?x ? =bx 的图象与函数 f ?x ? 的图象恰 有 3 个交点,若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由.?

答案
1 已知集合 M= ?x | ?2 ? x ? 2, x ? R?,N= ?x | x ? 1, x ? R? ,则 M∩N 等于( A. (1,2) 答案 B B. (-2,1) C. ? D. (-∞,2) )

2.下列命题是真命题的为
2 A.若 x ? y ,则 x2 ? y 2 B.若 x ? 1 ,则 x ? 1 C.若 x ? y ,则 x ? y

D.若

1 1 ? , x y

则x ? y 答案:D 解析
x? y



1 1 ? 得 x ? y ,而由 x2 ? 1 得 x ? ?1 ,由 x ? y , x , y 不一定有意义,而 x y

得不到 x2 ? y 2 故选 D. ( )

2 3.命题: “若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是

,或 x ? ?1 A.若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

2 B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1

,或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 C.若 x ? 1
答案 D

,或 x ? ?1 ,则 x ? 1 D.若 x ? 1
2

4.已知向量 AB ? (6,1), BC ? ( x, y), CD ? (?2,?3), 则AD等于 A. (4 ? x, y ? 2) B 5.定义运算 a ? b ? ?
?a ?b (a ? b) x , 则函数 f(x)= 1? 2 的图象是 (a ? b)

( D. (4 ? x, y ? 2)



B. (4 ? x, y ? 2)

C. (?4 ? x,? y ? 2)

(

)

答案? A 6.设 f ( x ) , g ( x) 是定义在 R 上的函数,h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则“ f ( x ) , g ( x) 均为偶函数” 是“ h( x) 为偶函数”的 ( A.充要条件 C.必要而不充分的条件 答案 B 7. 已知等差数列 ) B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件

?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? (
5 4



A.138 B.135 C.95 D.23 ?答案 C ? 3 ? ? ? ( , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) 等于 ( ) 8. 已知

2

A.

答案 A
2

1 7

B. 7

C.

?

1 7

D. ?7

9.函数 y=log 1 x 2 ? 3x ? 2 的递增区间是 ? A.(-∞,1)? ?答案? A ??

?

?


3 2

)? D.( ,+∞)
3 2

B.(2,+∞)?? C.(-∞, )

10.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则 ( A.0 答案 D ) B.1 C.2 D. 4

?a ? b?2 的最小值是
cd

11.已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 0 ,设圆中过点 (2,5) 的最长弦与最短弦分别为 AB 、

CD ,则直线 AB 与 CD 的斜率之和为( A. ?1 B. 0
答案 B

) C. 1 D. ?2

? 12.设 P 为曲线 C: ? x 2 ? 2 x ? 3 上的点, 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是 ?0, ? , y ? ?
? 4?

则点 P 横坐标的取值范围为
1 ? A. ?? 1,? ? ? ? ? 2?



)? C.[0,1] ? D. ? ,1? ?2 ?
1 ? ?

B.[-1,0]

答案? A ?? 13.函数 f(x)=

3x 2 1? x

+lg(3x+1)的定义域是

(- ,1)

1 3

14.在Δ ABC 中,已知 sin A ? cos A ? 15. 1+

7 ,则Δ ABC 的形状是___________.钝角三角形 13

1 1 1 + +?+ = 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 = =2( - )∴ Sn=2(1- + - +?+ - ) 2 2 1? 2 ? 3 ??? n n n n ?1 3 n ?1 n(n ? 1)

解:∵ an= =
2n n ?1

16.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、 右焦点分别是 F1 、F2 , 其一条渐近线方程为 y ? x , 2 b2
0

点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF · PF2 = 1

2 2 【解析】由渐近线方程为 y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 x ? y ? 2 ,于是

两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0) ,且 P( 3,1) 或 P( 3,?1) .不妨去 P( 3,1) ,则

PF1 ? (?2 ? 3,?1)



PF2 ? (2 ? 3,?1)

.



PF 1

·

PF2



(?2 ? 3,?1)(2 ? 3,?1) ? ?(2 ? 3)(2 ? 3) ? 1 ? 0
17. (本小题满分12分) 解下列不等式: (1) 17/18为11月份月考原题 抓下落实

x ?1 1 ? x?2 2

(2) x ? x ? a ? a ? 0 、
2 2

17、解:(1)由题意得

x ?0 2( x ? 2)
(5 分)

(3 分)

解集为 (??,0) ? (2,??)

(2)由题意得 ( x ? a)(x ? 1 ? a) ? 0

(6 分) (8 分)

? 当 a ? 1 ? a 时,即 a ?
当 a ? 1 ? a 时,即 a ?

1 时,解集为 (a,1 ? a) 2

1 时,解集为 (1 ? a, a) (10 分) 2 1 当 a ? 1 ? a 时,即 a ? 时,解集为 ? (12 分) 2
18.(本小题满分 12 分)

? 3x 3x x x ? ,sin ) , b ? (cos , ? sin ) ,且 x ? [ , ? ] . 2 2 2 2 2 ? ? ? ? (1)求 a ? b 及 a ? b ;
已知向量 a ? (cos (2)求函数 f ( x) ? a ? b ? a ? b 的最大值,并求使函数取得最大值时 x 的值.

?

? ?

? ?

b 18、解: (1) a ? ? cos

? ?

3x x 3x x cos ? sin sin ? cos 2 x , ????????(2 分) 2 2 2 2
?????????(4 分)

? ? 3x x 3x x a ? b ? (cos ? cos )2 ? (sin ? sin )2 2 2 2 2 ? 2 ? 2(cos
∵ x ?[

3x x 3x x cos ? sin sin ) 2 2 2 2
∴ cos x ? 0

? 2 ? 2cos 2 x ? 2 cos x
∴ a ? b ? ?2 cos x .

????? (7 分)

?

2 ? ? ? ? 2 b (2) f ( x) ? a? ? a ? b ? cos 2 x ? 2cos x ? 2cos x ? 2cos x ? 1 1 3 ? 2(cos x ? ) 2 ? 2 2
∵ x ?[

,? ] ,

? ?

?????(8 分)

???????????????????(10 分) ??????????????(11 分) ????????????(12 分)

?

2

,? ] ,

∴ ?1 ? cos x ? 0 ,

∴当 cos x ? ?1 ,即 x ? ? 时 f max ( x) ? 3 .

19.数列{an}的前 n 项和记为 Sn, a1 ? 1, an ?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1? (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比 数列,求 Tn 19.(I)由 an ?1 ? 2Sn ? 1 可得 an

? 2Sn ?1 ? 1? n ? 2? ,两式相减得

an?1 ? an ? 2an , an ?1 ? 3an ? n ? 2?
又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 ,故{an}是首项为 1,公比为 3 得等比数列 ∴ an (II)设{bn}的公差为 d,由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 , 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得
2 ?5 ? d ?1??5 ? d ? 9? ? ?5 ? 3? 解得 d1 ? 2, d 2 ? ?10

? 3n ?1 .

∵等差数列{bn}的各项为正,∴ d ? 0 ,∴ d ? 2 ∴ Tn ? 3n ? ? (1)求 f(x)在[-1,0)上的解析式;? (2)求 f( log1 24 ).?
2

? 2 ? n2 ? 2n 2 x 20.已知定义域为 R 的函数 f (x) 为奇函数, 且满足 f(x+2)=-f(x), x∈ 当 [0, 时, 1] f(x)=2 -1.

n ? n ? 1?

20 解 (1)令 x∈[-1,0) ,则-x∈(0,1] ,∴f(-x)=2 -1.? -x 又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x) ,∴-f(x)=f(-x)=2 -1,? ∴f(x)=-( ) +1.? (2)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是以 4 为周期的周期函数,? ∵log 24=-log224∈(-5,-4),∴log 24+4∈(-1,0),?
1 2 1 2

-x

1 2

x

∴f(log 24)=f(log 24+4)=-( )
1 2 1 2

1 2

log 1 24? 4
2

+1=-24×

1 1 +1=- . 2 16

21.已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F1 ? 3,0 ,且右 顶点为 D(2,0).设点 A 的坐标是(1,

?

?

1 ). 2

(1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; (3)过原点 O 的直线交椭圆于点 B、C,求△ABC 面积的最大值. 创新 8.9 椭圆 A 本变 3 原题 22.已知函数 f ?x? ? x ? ax ? 3x ?
3 2

(1)若 f ?x ? 在区间[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围;?

(2)若 x=- 是 f ?x ? 的极值点,求 f ?x ? 在[1,a]上的最大值;?
1 3

(3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g ?x ? =bx 的图象与函数 f ?x ? 的图象恰 有 3 个交点,若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由.? 2 22 解 (1) f ?(x) =3x -2ax-3,∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,?∴ f ?(x) 在[1,+∞)上恒 有 f ?(x) ≥0,? 即 3x -2ax-3≥0 在[1,+∞)上恒成立.则必有
1 3
2

a ≤1 且 f ?(1) =-2a≥0,∴a≤0.? 3

3 2 2 (2)依题意, f ?(? ) =0,即 + a-3=0,∴a=4,∴f(x)=x -4x -3x.令 f ?(x) =3x -8x-3=0,得

1 3

2 3

x1=- ,x2=3. 则当 x 变化时, f ?(x) ,f(x)的变化情况如下表:? x
f ?(x )

1 3

1

(1,3) -

3 0 -18

(3,4) + ↗

4

f(x)

-6



-12

∴f(x)在[1,4]上的最大值是 f(1)=-6.? 3 2 (3)函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点,即方程 x -4x -3x=bx 恰有 3 个 不等实根? 3 2 2 ∴x -4x -3x-bx=0,∴x=0 是其中一个根,∴方程 x -4x-3-b=0 有两个非零不等实根, ∴?
?? ? 16 ? 4(3 ? b) ? 0 ,?b ? ?7且b ? ?3. ∴存在符合条件的实数 b,b 的范围为 b>-7 且 b≠-3. ?? 3 ? b ? 0


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