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6高三二轮 圆锥曲线


高三二轮 圆锥曲线 1.已知方程 x +2ax +3bx+c=0(a,b,c∈R)的三个实根可分别作为一椭圆,一双曲线、 一抛物线的离心率,则 的取值范围是( )
3 2

A .

B .
2

? 10 ? , ?? ? ? ? ? 3 ?

C .
2
<

br />D .

2.函数的图象与方程的曲线有着密切的联系,如把抛物线 y =x 的图象绕原点沿逆时针方 向旋转 90°就得到函数 y=x 的图象.若把双曲线 绕原点按逆时针方向旋转一定

角度 θ 后,能得到某一个函数的图象,则旋转角 θ 可以是( ) A 30° B 45° C 60° D 90° . . . . 3.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在棱 AB 上,且 AM= ,点 P 是平 面 ABCD 上的动点,且动点 P 到直线 A1D1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1,则 动点 P 的轨迹是( ) A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线

4.设椭圆

+y =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,M 为椭圆上异于长轴端点的一点, ) D . )

2

∠F1MF2=2θ,△ MF1F2 的内心为 I,则|MI|cosθ=( A B C 2﹣ . . . 5.双曲线

关于直线 x+y+2=0 对称的曲线方程是(

A.

B.

C.
2 2

D.
2

6.已知直线 y=x﹣2 与圆 x +y ﹣4x+3=0 及抛物线 y =8x 的四个交点从上到下依次为 A、 B、C、D 四点,则|AB|+|CD|=( ) A 12 B 14 C 16 D 18 . . . . 7.抛物线 C1:x =2y 的焦点为 F,以 F 为圆心 C2 交 C1 于 A,B 两点,交 C1 准线于 C, D 两点,若四边形 ABCD 是矩形,则 C2 的标准方程为( ) A x+ (y﹣ ) =4
2 2 2

B

(x﹣ )+y =4

2

2

C

x+ (y﹣ ) =2

2

2

D

(x﹣ )+y =2

2

2

1









8. 过双曲线

的左焦点 F (﹣c, 0) , (c>0) , 作圆: x +y =

2

2

的切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 为( A . ) B . C .

= (

+

) ,则双曲线的离心率

D .
2

9.设双曲线 实根分别为 x1,x2,则 P(x1,x2) ( A. 必在圆 x2+y2=2 内 C. 必在圆 x2+y2=2 上
2

的右焦点为 F(c,0) ,方程 ax +bx﹣c=0 的两 ) B. 必在圆 x +y =2 外
2 2

D. 以上三种情况都有可能
2 2

10.如图,过抛物线 y =4x 焦点的直线依次交抛物线与圆(x﹣1) +y =1 于 A,B,C,D, 则| |?| A.4 C.1 |=( ) B.2 D.

11.设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线 段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( ) A . C . B . D .

2

2

12.动点 P 为椭圆

上异于椭圆顶点(±a,0)的一点,F1、F2 为椭

圆的两个焦点,动圆 C 与线段 F1P、F1F2 的延长线及线段 PF2 相切,则圆心 C 的轨迹为除 去坐标轴上的点的( ) A 一条直线 B 双曲线的右 C 抛物线 D 椭圆 . . 支 . .

2

13.已知点 M 是抛物线 y =4x 的一点,F 为抛物线的焦点,A 在圆 C: (x﹣4) +(y﹣1) 2 =1 上,则|MA|+|MF|的最小值为( ) A 2 B 3 C 4 D 5 . . . . 14.过椭圆 上一点 H 作圆 x +y =2 的两条切线,点 A,B 为切点,过 A,B 的
2 2

2

2

直线 l 与 x 轴,y 轴分布交于点 P,Q 两点,则△ POQ 面积的最小值为( ) A B C D 1 . . . . l 为半圆外一直线, 15. 如图, 已知半圆的直径|AB|=20, 且与 BA 的延长线交于点 T, |AT|=4, 半圆上相异两点 M、N 与直线 l 的距离|MP|、|NQ|满足条件 的值为( A.22 C.18 ) B.20 D.16 ,则|AM|+|AN|

16.F1,F2 是椭圆

=1(a>b>0)的两焦点,P 是椭圆上任意一点,从任一焦点引

∠F1PF2 的外角平分线的垂线,垂足为 Q,则点 Q 的轨迹为( ) A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 . . . . 17. 已知椭圆的焦点是 F1, F2, P 是椭圆上的一个动点, 如果延长 F1P 到 Q, 使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( ) A 椭圆 B 双曲线的一 C 抛物线 D 圆 . . 支 . . 18.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是 x =2y(0≤y≤20) .在杯内放入一个 玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径 r 的范围是( ) A 0<r≤1 B 0<r<1 C 0<r≤2 D 0<r<2 . . . . 19.过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作一条直线 l 交抛物线于 A、B 两点,以 AB 为直 径的圆和该抛物线的准线 l 的位置关系是( ) A 相切 B 相离 C 相交 D 不能确定 . . . . 20.设 P 是椭圆 + =1 上一点,M、N 分别是两圆: (x+4) +y =1 和(x﹣4) + ) D 10,12 .
2 2 2 2 2

y 2 =1

上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为( A 9,12 B 8,11 C 8,12 . . .

3

21.如图,过双曲线

的左焦点 F 引圆 x +y =16 的切线,切点为 T,延长 FT )

2

2

交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO|﹣|MT|=( A. 1 C.
2

B. D. 2
2

22.如图,⊙O:x +y =16,A(﹣2,0) ,B(2,0)为两定 l 点, 是⊙O 的一条动切线,若过 A,B 两点的抛物线以直线 l 为准线,则抛物线焦点所在的轨迹是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆

23.曲线 C1:x +(y﹣4) =1,曲线 C2:x =2y,EF 是曲线 C1 的任意一条直径,P 是曲 线 C2 上任一点,则 A. 5 C. 7 24.P 是双曲线
2 2

2

2

2

?

的最小值为(



B. 6 D. 8 的右支上一点,点 M,N 分别是圆(x+5) +y =4 和 ) D 4 .
2 2

(x﹣5) +y =1 上的动点,则|PM|﹣|PN|的最小值为( A 1 B 2 C 3 . . .
2

25.已知函数 f(x)=x ﹣2x,集合 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0},集合 N={(x,y)|f (x)﹣f(y)≥0},则集合 M∩N 的面积是( ) A B C D π 2π . . . . 26. 如图, 圆 O 的半径为定长 r, A 是圆 O 外一定点, P 是圆上任意一点. 线 段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹是( ) A.椭圆 B.圆 C.双曲线 D.直线

27.已知圆 C:x +y =r (r>0)与抛物线 y =40x 的准线相切,若直 线l : 与圆 C 有公共点,且公共点都为整点(整点是指横坐标.纵坐标都是整数的

2

2

2

2

点) ,那么直线 l 共有( ) A 60 条 B 66 条

C 72 条
4

D 78 条







. 的四个顶点 A,B,C,D 构成的 )

28. (2012 秋?保定期末)椭圆

四边形为菱形,若菱形 ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( A B C D . . . . 29.已知椭圆

的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 为椭圆上一点,若以 )

(1,0)为圆心的圆 C 与直线 PF1,PF2 均相切,则点 P 的横坐标为( A B 2 C D 1 . . . . 30.如图,从双曲线
2 2 2

的左焦点 F 引圆 x +y =a 的切线,切

点为 T,延长 FT 交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO| ﹣|MT|与 b﹣a 的大小关系为( ) A . C . |MO|﹣|MT|>b ﹣a |MO|﹣|MT|=b﹣ a B . D . |MO|﹣|MT|<b ﹣a 以上三种可能都 有

5

答案 1.答案:A 3 2 解:设 f(x)=x +2ax +3bx+c,由抛物线的离心率为 1,可知 f(1)=1+2a+3b+c=0,故 c= ﹣1﹣2a﹣3b, 2 所以 f(x)=(x﹣1)[x +(2a+1)x+(2a+3b+1)]的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲 线的离心率, 2 故 g(x)=x +(2a+1)x+(2a+3b+1) ,有两个分别属于(0,1) , (1,+∞)的零点, 故有 g(0)>0,g(1)<0,即 2a+3b+1>0 且 4a+3b+3<0, 则 a,b 满足的可行域如图所示, 由于 ,则 P(﹣1, ) ,而 表示(a,b)到(0,0)的距离,

且(0,0)到 P(﹣1, )的距离为 d= 可确定 的取值范围是( ,+∞) .故答案为:A.

2.答案:C 解:双曲线 在双曲线 的渐近线方程为 上取点(m,n) ,关于 ,其倾斜角为 30°或 150° 对称点的坐标为(x,y) ,则

,∴



,∴

此时,是一个函数的图象

故把双曲线 近线方程为 x=0,与 3.答案:B

绕原点按逆时针方向旋转 60°时,双曲线方程为 ,故选 C.

,双曲线的渐

解:如图所示:正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 作 PQ⊥AD,Q 为垂足,则 PQ⊥面 ADD1A1, 过点 Q 作 QR⊥D1A1,则 D1A1⊥面 PQR, PR 即为点 P 到直线 A1D1 的距离, 2 2 2 由题意可得 PR ﹣PQ =RQ =1. 2 2 又已知 PR ﹣PM =1,
6

∴PM=PQ, 即 P 到点 M 的距离等于 P 到 AD 的距离, 根据抛物线的定义可得,点 P 的轨迹是抛物线, 故选 B. 4.答案:A 解:由题意,|MF1|+|MF2|=4,而|F1F2|=2 , 设圆与 MF1、MF2,分别切于点 A,B,根据切线长定理就有|F1F2|=|F1A|+|F2B|=2 所以|MI|cosθ=|MA|=|MB|= =2﹣ ,故选 A. ,

5.答案:A 解:在所求曲线上取点(x,y) ,其关于直线 x+y+2=0 对称的点的坐标为(m,n) ,则

∴n=﹣x﹣2,m=﹣y﹣2∵(m,n)在双曲线









∴双曲线 故选 A. 6.答案:B

关于直线 x+y+2=0 对称的曲线方程是

解:由已知圆的方程为(x﹣2) +y =1,抛物线 y =8x 的焦点为(2,0) , 直线 y=x﹣2 过(2,0)点,则|AB|+|CD|=|AD|﹣2, 因为 ,有 x ﹣12x+4=0,设 A(x1,y1) ,D(x2,y2) ,则 x1+x2=12,则有|AD|=
2

2

2

2

(x1+x2)+4=16,故|AB|+|CD|=16﹣2=14,故选 B. 7.答案:A 解:依题意,抛物线 C1:x =2y 的焦点为
2

,∴圆 C2 的圆心坐标为 为圆 C2 的圆心



∵四边形 ABCD 是矩形,且 BD 为直径,AC 为直径,

∴点 F 为该矩形的两条对角线的交点, ∴点 F 到直线 CD 的距离与点 F 到 AB 的距离相等, 又点 F 到直线 CD 的距离为 p=1∴直线 AB 的方程为:y= ∴

∴圆 C2 的半径 r=|AF|= ∴圆 C2 的方程为: 8.答案:C
7

=2

=4

解:∵|OF|=c,|OE|= ,∴|EF|=

,∵

,∴|PF|=2



|PF'|=a,∵|PF|﹣|PF′|=2a,∴2 9.答案:B 解:∵ ,

﹣a=2a,∴

,故选 C.

,∴x1 +x2 =(x1+x2) ﹣2x1x2=

2

2

2

=



=

=1+e >2.∴P(x1,x2)必在圆 x +y =2 外.

2

2

2

故选 B.

10.答案:C 解:由特殊化原则,当直线过焦点 F 且垂直于 x 轴时,|AD|=2p=4,|BC|=2r=2, 由抛物线与圆的对称性知:|AB|=|CD|=1,所以|AB|?|CD|=1;故选 C. 11.答案:D 解:由圆的方程可知,圆心 C(﹣1,0) ,半径等于 5,设点 M 的坐标为(x,y ) ,∵AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M, ∴|MA|=|MQ|. 又|MQ|+|MC|=半径 5,∴|MC|+|MA|=5>|AC|.依据椭圆的定 义可得, 点 M 的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆,且 2a=5,c=1,∴b= 故椭圆方程为 故选 D. 12.答案:A 解:如图画出圆 M,切点分别为 E、D、G,由切线长相等定理知 F1G=F1E,PD=PE,F2D=F2G,根据椭圆的定义 知 PF1+PF2=2a, ∴PF1+PF2=F1E+DF( 2 PD=PE) =F1G+F2D(F1G=F1E)=F1G+F2G=2a, ∴2F2G=2a﹣2c,F2G=a﹣c,即点 G 与点 A 重 合,∴点 M 在 x 轴上的射影是长轴端点 A,M 点的轨迹是垂直于 x 轴的一条直线 (除去 A 点) ; 故选 A. 13.答案;C 解:抛物线 y =4x 的准线方程为:x=﹣1 过点 M 2 作 MN⊥准线,垂足为 N∵点 M 是抛物线 y =4x 的一点,F 为抛物线的焦点 ∴|MN|=|MF|∴|MA|+|MF|=|MA|+|MN| ∵A 在圆 C: (x﹣4) +(y﹣1) =1,圆心 C(4,1) ,半径 r=1∴当 N,M,C 三点共线 时,|MA|+|MF|最小∴(|MA|+|MF|)min=(|MA|+|MN|)min=|CN|﹣r=5﹣1=4 ∴(|MA|+|MF|)min=4 故选 C.
8
2 2 2



=1,即



14.答案:D 解:∵点 H 在椭圆 上,∴H(3cosθ,2sinθ) ,

∵过椭圆

上一点 H(3cosθ,2sinθ)作圆 x +y =2 的两条切线,点 A,B 为切点,

2

2

∴直线 AB 的方程为: (3cosθ)x+(2sinθ)y=2,∵过 A,B 的直线 l 与 x 轴,y 轴分布交 于点 P,Q 两点,∴P( ∴△POQ 面积 S= △ POQ 面积取最小值 . 15.答案:B 解:以 AT 的中点 O 为坐标原点,AT 的中垂线为 y 轴, 可得半圆方程为(x﹣12) +y =100 又 ,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,
2 2

,0) ,Q(0, = ×

) , ,∵﹣1≤sin2θ≤1,∴当 sin2θ=1 时,

M,N 在以 A 为焦点,PT 为准线的抛物线上; 以 AT 的垂直平分线为 y 轴,TA 方向为 x 轴建立坐标系, 则有 物线方程为 y =8x(y≥0) ,联立半圆方程和抛物线方程, 2 消去 y 得:x ﹣16x+44=0∴x1+x2=16, |AM|+|AN|=|MP|+|NQ|=x1+x2+4=20.故选:B. 16.答案:A 解:由题意,延长 F2P,与 F1Q 的延长线交于 M 点,连接 QO, ∵MP 是∠F1MB 的平分线,且 PQ⊥MF1 ∴△F1MP 中,|PF1|=|PM|且 Q 为 MF1 的中点 由三角形中位线定理,得|OQ|= |MF2|= (|MP|+|PF2|) ∵由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a, (2a 是椭圆的长轴) 可得|MP|+|PF2|=2a, ∴|OQ|= (|MP|+|PF2|)=a,可得动点 Q 的轨迹方程为 x +y =a ∴点 Q 的轨迹为以原点为圆心半径为 a 的圆. 故选 A. 17.答案:D 解:∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a. ∴|F1Q|=2a. ∴动点 Q 到定点 F1 的距离等于定长 2a, ∴动点 Q 的轨迹是圆. 故选 D.
9
2 2 2 2

18.答案:A 解:设小球圆心(0,y0) ,抛物线上点(x,y) ,则 2 2 2 2 2 2 点到圆心距离平方 r =x +(y﹣y0) =2y+(y﹣y0) =r +2(1﹣y0)y+y0 . 2 若 r 最小值在(0,0)时取到,则小球触及杯底,故此二次函数的对称轴位置应在 y 轴的 左侧,所以 1﹣y0≥0,所以 0<y0≤1,所以 0<r≤1.故选 A. 19.答案:A 解:设 AB 为过抛物线焦点 F 的弦,P 为 AB 中点,A、B、P 在准线 l 上射影分别为 M、N、 Q,∵AP+BP=AM+BN∴ 20。答案:C 解:∵两圆圆心 F1(﹣4,0) ,F2(4,0)恰好是椭圆 + =1 的焦点, ,∴以 AB 为直径作圆则此圆与准线 l 相切,故选 A.

∴|PF1|+|PF2|=10,两圆半径相等,都是 1,即 r=1,∴(|PM|+|PN|)min=|PF1|+|PF2|﹣2r=10 ﹣2=8. (|PM|+|PN|)max=|PF1|+|PF2|+2r=10+2=12.故选:C. 21.答案:A 解:设 F'是双曲线的右焦点,连接 PF'. ∵M、O 分别为 FP、FF'的中点,∴|MO|= |PF'|. |FT|= =5,由双曲线定义得,|PF|﹣|PF'|=8,

故|MO|﹣|MT|= |PF'|﹣|MF|+|FT|= (|PF'|﹣|PF|)+|FT|=﹣4+5=1.故选 A. 22.答案:B 解:由题设知,焦点到 A 和 B 的距离之和等于 A 和 B 分别到准线 的距离和. 而距离之和为 A 和 B 的中点 O 到准线的距离的二倍,即为 2r=8, 根据椭圆的定义得, 所以焦点的轨迹方程 C 是以 A 和 B 为焦点的椭圆: 故选 B. 23.答案:B 解:①当 EF 的斜率不存在时,对于曲线 C1:x +(y﹣4) =1,令 x=0,得(y﹣4) =1, 解得 y=3 或 5. 取 E(0,3) ,F(0,5) ,设 P = ≥6,当且仅当 m =6,即 m=
2 2 2 2

,则 = 时取等号. =

此时 P . ②当 EF 的斜率存在时,设直线 EF 的斜率为 k,则方程为 y=kx+4. 联立 ,化为 ,

10

取E

,F



设P =

.则

=

+

=

≥6. 当且仅当 m =6, 即 m=

2

时取等号.此时 P 24.答案:C 解:双曲线

.综上可知:

?

的最小值为 6.故选 B.

的两个焦点分别是 F1(﹣5,0)与 F2(5,0) ,
2 2 2 2 2 2

则这两点正好是两圆(x+5) +y =4 和(x﹣5) +y =1 的圆心,两圆(x+5) +y =4 和(x 2 2 ﹣5) +y =1 的半径分别是 r1=2,r2=1,∴|PM|min=|PF1|﹣2,|PN|max=|PF2|+1, ∴|PM|﹣|PN|的最小值=(|PF1|﹣2)﹣(|PF2|+1)=6﹣3=3,故选 C. 25.答案:C 解:∵f(x)=x ﹣2x,∴集合 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0}={(x,y)|x +y ﹣2x﹣2y≤0}, 集合 M 的图形是圆心为(1,1) ,半径为 的圆.N={(x,y)|f(x)﹣f(y)≥0}={(x, 2 2 y)|x ﹣y ﹣2(x﹣y)≥0}={(x,y)|(x﹣y) (x+y﹣2)≥0}, 集合 N 的图形是直线 x﹣y=0 和直线 x+y﹣2=0 之间的平面区域. ∴集合 M∩N 的区域是如图所示的阴影部分.它的面积是半径为 的圆的面积的一半. ∴集合 M∩N 的面积 S= =π.故选 C.
2 2 2

26.答案:C 解:∵A 为⊙O 外一定点,P 为⊙O 上一动点 线段 AP 的垂直平分线交直线 OP 于点 Q, 则 QA=QP,则 QA﹣Q0=QP﹣QO=OP=R 即动点 Q 到两定点 O、A 的距离差为定值, 根据双曲线的定义,可知点 Q 的轨迹是:以 O,A 为焦点,OA 为实轴长的双曲线 故选 C. 27.答案:A 解:∵圆 C:x +y =r (r>0)与抛物线 y =40x 的准线 x=﹣10 相切,∴r=10, 2 2 ∴圆 C 的方程为:x +y =100. 2 2 ∴圆 x +y =100 上的整点为(0,±10) , (±6,±8) , (±8,±6) , (±10,0) ,共 12 个点,
2 2 2 2

11

∵直线

=1(a,b 为非零实数) ,

∴直线与 x,y 轴不平行,不经过原点, ①过每个整点都有一条圆的切线,共 12 条,不符合要求的 4 条,分别是过与坐标轴的交点的切线; ②又任意两点连线有 条,

过圆上两整点与 x, y 轴平行的有 8 条 (x=±6, ±8, y=±6, ±8) , 暂不包括 x 轴与 y 轴; 经过原点的有 6 条(包括 x 轴与 y 轴) , 综①②知, 符合条件的直线共有 选 A. 28。答案:C 解:由题意,不妨设点 A(a,0) ,B(0,b) ,则直线 AB 的方程为: 即 bx+ay﹣ab=0∵菱形 ABCD 的内切圆恰好过焦点∴原点到直线 AB 的距离为 ∴a b =c (a +b )∴a (a ﹣c )=c (2a ﹣c )∴a ﹣3a c +c =0 ∴e ﹣3e +1=0∴ 29.答案:B 解:设 P(m,n) ,因为 P 在椭圆上所以 PF1 的方程为 y= PF2,的方程为 y= …①,
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4

+ (12﹣4) ﹣8﹣6=60. 故

∵0<e<1∴

故选 C.

,即 nx﹣(m+2)y+2n=0, ,即 nx﹣(m﹣2)y﹣2n=0,

因为以(1,0)为圆心的圆 C 与直线 PF1,PF2 均相切, 所以 解①②得,m=2,n= 30.答案:C ,即 3n +3(m﹣2) =n +(m+2) …② ,所求点 P 的横坐标为 2.故选 B.
2 2 2 2

解: 将点 P 置于第一象限. 设 F1 是双曲线的右焦点, 连接 PF1∵M、 O 分别为 FP、FF1 的中点,∴|MO|= |PF1|.又由双曲线定义得, |PF|﹣|PF1|=2a,|FT|= |MT|= =b.故|MO|﹣

﹣|MF|+|FT|= (|PF1|﹣|PF|) +|FT|=b﹣a. 故选 C.

12

13

14


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