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推出与充分条件、必要条件


命题及其关系,充分条件与必要条件 ★ 知 识 梳理 ★ 1.用语言、符号或式子表达的,可以判断真假、的陈述句称为命题. 其中判断为真的语句称为真命题,判断为假的语句称为假命题 2. (1)如果第一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论_ 和条件_,那么这两个命题叫互逆命题. (2)如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定 和结论的否定,那么这两个命题叫互否命题.

(3)如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定_ 和_条件的否定_____,那么这两个命题叫互否命题. 3.一般地,把条件 p 的否定和结论 q 的否定,分别记为“┐ p ”和“┐ q ” ,则命题的四种 形式可写为: 原命题: “若 p 若 q ” 逆命题: “若 q 若 p ” 否命题: “若 ┐ p 是 ┐ q ” 逆否命题: “若 ┐ q 是 ┐ p ”

特别提醒:可以发现:

(1)原命题、逆命题、否命题、逆否命题的关系如下图所示: 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非 p 则非 q 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非 q 则非 p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

互逆

(2)互为逆否命题的真假性是一致的, 互逆命题或互否命题真假性没有关系.

4. 用反证法证明的一般步骤是: (1) 反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; (2) 归谬:从假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3) 结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
特别提醒:

1、适宜用反证法证明的数学命题: (1) 结论本身以否定形式出现的命题. (2)关于唯一性、存在性的的命题. (3)结论以“至多” , “至少”等形式出现的命题. (4)结论的反面比原结论更具体或更易于研究的命题. 2. 用反证法证明引出矛盾的四种常见形式: (1)与定义、公理、定理矛盾. (2)与已知条件矛盾. (3)与假设矛盾. (4)自相矛盾. 5. 如果“若 p 则 q ”为真, 记为 p ? q , , 如果“若 p 则 q ”为假, 记为 p ? ? q. 6.若 p ? q , 则 p 是 q 的充分, q 是 p 的必要___ 7.判断方法: (1)定义法: ① p 是 q 的充分不必要条件 ? ?

?p ? q ? q ?p ?

② p 是 q 的必要不充分条件 ? ?

?p ? ? q ?p ? q ?p ? ? q ? q ?p ?

③ p 是 q 的充要条件 ? ?

?p ? q ?q ? p

④ p 是 q 的既不充分也不必要条件 ? ?

(2)集合法: 设 P={p}, Q={q}, ① ② ③ 若__ P Q, 则 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件.

若___ P=Q _______,则 p 是 q 的充要条件(q 也是 p 的充要条件). 若______ P Q且Q P _______, 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

(3) 逆否命题法: ① ? q 是 ? p 的充分条件不必要条件 ? p 是 q 的______充分条件不必要条件_ ② ? q 是 ? p 的必要条件不充分条件 ? p 是 q 的___充分条件不必要条件 ③ ? q 是 ? p 的充分要条件 ? p 是 q 的__________充要条件_____ ④ ? q 是 ? p 的既不充分条件与不必要条件 ? p 是 q 的__既不充分条件与不必要条件_
特别提醒:

1、解决充要条件的逆向问题时, 往往从集合角度考虑, 会更文便快捷, 设 P={p}, Q={q}, ① 若 p 是 q 的充分不必要条件,则 P ② 若 q 是 p 的必要不充分条件,则 P Q Q

③ 若 P=Q ,则 p 是 q 的充要条件(q 也是 p 的充要条件). ④ 若P Q且Q P, 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

2、 证明 p 是 q 的充要条件,既要证“ p ? q ” ,又要证“ q ? p ” ,前者证明的是充分性; , 后者证明的必要性. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点:初步掌握四种命题的关系,并能判断四种命题的真假;初步掌握利用反证法证明一 些问题;正确理解三个概念,并在分析中正确判断.正确理解充分条件、必要条件和充要条 件三个概念,并能用定义法、集合法和逆否命题法来判断命题 p 是命题 q 的什么条件. 2.难点:利用反证法证题;充要条件的证明. 3.重难点:.
(1) 与命题相关的判析

问题 1:下列语句中哪些是命题?其中哪些是真命题? ①“等边三角形难道不是等腰三角形吗?” ; ②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?” ; ③“一个数不是正数就是负数” ; ④“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊! ” ; ⑤“ x ? y 为有理数,则 x 、 y 也都是有理数” ; ⑥ “作 ?ABC ∽ ?A 1B 1C1 ”.

问题 2:你能将把下列命题写成“若 p 若 q ”的形式,并判断其真假吗? (1) (2) (3) (4) 实数的平方是非负数. 等底等高的两个三角形是全等三角形. 能被 6 整除的数既能被 3 整除也能被 2 整除. 弦的垂直平分线经过圆心, 并平分弦所对的弧.

(2)能掌握判断充要条件的三种基本方法,并能根据具体问题选择使用.

问题 3: 下列四个命题中真命题有哪几个? ①“若 xy=1,则 x、y 互为倒数”的逆命题 ②“面积相等的三角形全等”的否命题 ③“若 m≤1,则方程 x2-2x+m=0 有实根”的逆否命题 ④“若 A∩B=B,则 A ? B” 的逆否命题

问题 4.你能判断下列命题的真假吗? (1)已知 a, b, c, d ? R, 若 a ? c, 或b ? d , 则a ? b ? c ? d . (2)若 m ? 1, 则方程x2 ? 2x ? m ? 0 无实数根。

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点一:命题及其相互关系 题型 1. 判断命题及真假
[例 1] 陈述句“在 2016 年,法国巴黎将举办第 31 届夏季奥林匹克运动会”是命题吗?

[例 2] 广东省深圳外国语学校 2009 届高三上学期第二次统测)

下列四个命题中,真命题的个数为( )A (1)若两平面有三个公共点,则这两个平面重合; (2)两条直线可以确定一个平面; (3)若 M ? ?,M ? ? , ? ? ? ? l , 则M ? l ; (4)空间中,相交与同一点的三条直线在同一平面内。 A.1 B.2 C.3 D.4
题型 2。写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题
[例 3] 写出下述命题逆命题、否命题、逆否命题.

(1)若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x , y 全为 0 . (2)若 a ? b 是偶数,则 a , b 都是偶数. (3)若 x ? 3 或 x ? 7 ,则 ( x ? 3)( x ? 7) ? 0

题型 3。四种命题间的关系与反证法 2 [例 4]若 a、b、c∈R,写出命题“若 ac<0,则 ax +bx+c=0 有两个不相等的实数根”的逆命 题、否命题、逆否命题,并判断这三个命题的真假

[例 5] 用反证法证明:

设三个正实数 a、b、c 满足条件

1 1 1 ? ? =2 求证:a、b、c 中至少有两上不小于 1. a b c

考点二: 充要条件及其判定 题型 1:利用定义作判断
[例 6] (2008 学年中山市一中高三年级统测试题)

i s A n i s? 在 ?ABC 中, “n A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B ”是“ A ? B ”的
B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

题型 2: 从集合思想或利用逆否命题判定
[例 7] (广东省四会中学 2009 届高三上学期第一次质量检测)

“ x ? 1 ? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[例 8](广东省普宁市城东中学 2009 届高三上学期第三次月考)

若 a, b ? R ,则

1 1 ? 3 成立的一个充分不必要的条件是( 3 a b
C. a ? b ? 0 D. ab(a ? b) ? 0



A. ab ? 0 B. b ? a


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