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浙江省杭高2012学年第一学期期末考试高一数学试卷


杭高 2012 学年第一学期期末考试高一数学试卷
注意事项: 1.本卷考试时间为 90 分钟,满分为 100 分。 2.本卷不得使用计算器,答案一律做在答卷页上。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。将答案填在答题卷相应的答题栏内。 1.若集合 A ? {1 2,4} , B ? {2,7

,,C ? {0,1,3,4,5} ,则集合 ( A ? B) ? C 等于( , 3, 4,8} A. {2, 4} B. {1,3, 4} C. {2, 4,7,8} D. {0,1,2,3,4,5} ( ) )

2.若 tan ? ? 3 , tan ? ? 5 ,则 tan(? ? ? ) 的值为 A. ?

1 1 D. ? 2 7 ??? ???? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ? 3.若 四边形ABCD 满足 AB ? CD ? 0 , ( AB ? AD) ? AC ? 0 ,则该四边形一定是(
B. ?

1 8

4 7

C.



A.直角梯形

B.矩形

C.菱形

D.正方形 ( )

? 2 x ( x ? 0) 4.已知函数 f ( x) ? ? 那么 ?log3 x( x ? 0),
A.

? ? 1 ?? f ? f ? ?? 的值为 ? ? 9 ??
D. ?

1 4

B. 4
b ?b

C. ?4

1 4
( D. 2 )

5.若 a ? 1 , b ? 0 ,且 a ? a A. 6

? 2 2 ,则 ab ? a ?b 的值等于
C. ?2

B. 2 或 ?2

|? 6.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0, |? ? ) 的部分图像如图
所示,当 x ?[0, ] 时,满足 f ( x) ? 1 的 x 的值为 (

?

2



A.
[来源:学§科§网]

?
6

B.

?
4

C.

5? 24

D.

?
3


7. 要得到函数 y ? 2sin(2 x ?

2? 2? ) 的图像, 需要将 函数 y ? 2sin(2 x ? ) 的图像( 3 3 2? 2? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 3 3 4? 4? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3
2 2 2

8.在 ?ABC 中, a , b, c 分别为角 A, B, C 的对边,若 b ? c ? a ? bc ,且

2 sin 2

B C ? 2 sin 2 ? 1 ,则 ?ABC 的形状是 2 2
B.等腰三角形 D.钝角三角形





A.直角三角形 C.等边三角形

9.已知函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数,它在 [0, ?? ) 上是减函数,若 f (ln x ) ? f (1), 则 x 的取 值范围是 ( )

A. (e ?1 ,1)

B. (0, e ?1 ) ? (1, ??)

C. (e ?1 , e )

D. (0,1) ? (e, ??)

10.如图,O 为△ ABC 的外心, AB ? 4, AC ? 2, ?BAC 为钝角, M 是边 BC 的中点,则 AM ? AO 的值为 ( A.4 C.7 ) B.5
M A C B O

???? ???? ?

D.6

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。将答案填写在答题卷相应的答题线上。 11.(cos

?
12

? sin

?
12
2

) cos ?(

?
12

? sin

?
12

= )

. .

12.函数 y ?

log 1 ( x 2 ? 1) 的定义域是

13.若关于 x 的方程 cos x ? sin x ? a ? 0 有解,则实数 a 的取值范围是
2



14.在等边 ?ABC 中,边长为 2 , D 为边 BC 中点,点 E 在边 AC 上,且 CE ? 2 EA ,则 AD ?BE 的 值为 .

??? ??? ? ?

15.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对 边分别为 a , b, c ,若 cos A ? 则 tan C ? 16.已知函数 f ( x) ? ? .

2 , sin B ? 5 cosC , 3

?(3a ? 1) x ? 5a ? loga x

x ?1 x ?1

,现给出下列命题:

①当图象是一条连 续不断的曲线时,则 a=

1 ; 8

②当图象是一条连续不断的曲线时,能找到一个非零实数 a,使得 f (x)在 R 上是增函数; ③当 a ?{m|

1 1 < m < , m?R}时,不等式 f (1 + a ) ? f(1 – a ) <0 恒成立; 8 3

④函数 y = f ( | x + 1| ) 是偶函数 . 其中正确的命题是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 46 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin x cos x ? 1 . (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若 f (? ) ?

5 π 2π , ? ? ( , ) ,求 sin 2? 的值. 3 3 6

18. 本题满分 12 分) ( 已知 a, b, c 是同一平面内的三个向量,其中 a ? (1, ?2) . (1)若 c ? 2 5 ,且 c / / a ,求向量 c 的坐标; (2)若 b ? 1,且 a ? b 与 a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? 的余弦值.

19. (本题满分 10 分) 在 ?ABC 中, a , b, c 分别为角 A, B, C 的对边,满足 c ? ? a cos B (? ? R) ,
? (1)若 ? ? 2 , A ? 30 ,求 B 的值; ? (2)若 a ? 2 , B ? 60 ,且角 C 为钝角,求实数 ? 的取值范围。

20. (本题满分 12 分)

设函数 f ? x ? ? a x ? ? k ?1? a? x ? a ? 0且a ? 1? 是定义域为 R 的奇函数.

(1)求 k 值;
2 (2)若 f ?1? ? 0 ,试判断函数 f ( x ) 的单调性.并求使不等式 f x ? tx ? f ? 4 ? x ? ? 0

?

?

对一切 x ? R 恒成立的 t 的取值范围; (3)若 f ?1? ?

3 , g ? x ? ? a2 x ? a?2 x ? 2mf ? x ? 且 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 ?2 , 2

求 m 的值.

杭高 2012 学年第一学期期末考试高一数学答卷页
一.选择题:(每小题 3 分,共 30 分) ………………………………装……………………………………订………………………线……………………………………… 题号 答案 二.填空题:(每小题 4 分,共 24 分) 11.____________________; 13.___________________; 15.____________________; 三.解答题:(46 分) 12.____________________; 14.____________________; 16. ____________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

17.

18. 座位号

19.

20.

高一期末考试数学参考答案
一、选择题 题号 选项 1 B 2 A 3 C 4 A 5 D 6 B 7 A 8 C 9 C 10 B

二、填空题 11.

3 2

12. [? 2, ? 1) ? (1, 2]

13. a ? [ ?

5 ,1] 4

14. ?2

15. 5

16.①③

三、解答题 17.解: (Ⅰ) f ( x) ? cos2 x ? 3 sin x cos x ? 1
? 1 ? cos 2 x 3 ? 3 ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? . 2 2 3 2

由 2k? ? ? ? 2 x ?

?
3

? 2k? ,得 k? ?

2? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ) . 3 6

∴函数 f ( x ) 的单调递增区间是 [ k? ? (Ⅱ)∵ f (? ) ?

2? ? , k? ? ] ( k ? Z ) .………… 6 分 3 6

? 3 5 5 ? 2 ,∴ cos(2? ? ) ? ? , cos(2? ? ) ? ? . 3 2 6 3 3 6

? ? 5 ? 5? ? ? 2? ? ∵ ? ? ? , ? ,∴ 2? ? ? (? , ) , sin( 2? ? ) ? ? 1 ? cos2 ( 2? ? ) ? ? . 3 3 3 3 3 ?3 3 ?
∴ sin 2? ? sin(2? ?

?
3

?

?
3

)?

2 3? 5 1 ? 3 ? sin(2? ? ) ? cos(2? ? ) ? …12 分 2 3 2 3 6

18.解: (1)设 c ? ( x, y) ,由 c // a 和 | c | ? 2 5 可得:

? 1? y ? 2 ? x ? 0 ? x ? ?2 ? x?2 , ∴ ? 或 ? ? 2 2 ? x ? y ? 20 ? y?4 ? y ? ?4 ? ? ∴ c ? (?2, 4) ,或 c ? (2, ?4) ……………………………………6 分 ? ? ? ? ? ? ? ? (2)? (a ? b) ? (a ? 2b), ∴ (a ? b) ? (a ? 2b) ? 0 , ? 2 ? ? ?2 ? ? ? ? 即 a ? a ? b ? 2b ? 0, ∴ | a |2 ?a ? b ? 2 | b |2 ? 0 , ? ? ? ? ? ? a ?b 3 5 ? ? ∴ 5 ? a ? b ? 2 ? 0 ,所以 a ? b ? 3 ,∴ cos ? ? ? …………12 分 5 | a |?| b |
a 2 ? c 2 ? b2 2 2 ? 19. (1) ? ? 2 时, c ? 2a cos B ? 2a ? ,可得 a ? b ,故 B ? A ? 30 2ac
…………4 分 (2)法 1:因为 C ? 90 ,所以 A ? 180 ? B ? C ? 30 ,
?

?

?

于是由 b sin A ? a sin B ,得 b ?

3 ?2 3 sin A

2 2 又此时 c ? ? ,从而由 b ? 4 ? ? ? 2? ? 12 ,又 ? ? 0 ,所以 ? ? 4 …………10 分

法 2: c ? 2? cos 60 ? ? ,由 c sin A ? a sin C ,得 c ?
?

2 sin C sin A

因为 C ? 90 ,所以 A ? 180 ? B ? C ? 30 ,
?

?

?

将 C ? 120 ? A 代人, c ?
?

2sin(120? ? A) 3 cos A ? sin A 3 ? ? ?1 ? 4 sin A sin A tan A
…………10 分

20.解:(1)∵f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴f(0)=0,…… 1 分 ∴1-(k-1)=0,∴k=2,…… 2 分 (2) f ( x) ? a x ? a ? x (a ? 0且a ? 1),

? f (1) ? 0,? a ?

1 ? 0, 又a ? 0, 且a ? 1,? 0 ? a ? 1 ……3 分 a

? a x 单调递减, a ? x 单调递增,故 f(x)在 R 上单调递减。……4 分
2 不等式化为 f x ? tx ? f ? x ? 4 ? ,

?

?

? x2 ? tx ? x ? 4,即x2 ? t ?1) x ? 4 ? 0恒成立 ……5 分 (
?? = ? t ? 1? ? 16 ? 0 ,解得 ?3 ? t ? 5
2

……6 分

(3) ? f (1) ?

3 1 3 1 ,? a ? ? , 即2a 2 ? 3a ? 2 ? 0, ? a ? 2或a ? ? (舍去) ……7 分 2 a 2 2
2

? g ? x ? ? 22 x ? 2?2 x ? 2m ? 2 x ? 2? x ? ? ? 2 x ? 2? x ? ? 2m ? 2 x ? 2? x ? ? 2

令t ? f ? x ? ? 2x ? 2? x ,由(1)可知 f ? x ? ? 2x ? 2? x 为增函数
3 ? x ? 1,? t ? f ?1? ? , 2
令 h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 3 (t≥ )………9 分 2

3 若 m≥ ,当 t=m 时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2………… 10 分 2 3 3 17 25 3 若 m< ,当 t= 时,h(t)min= -3m=-2,解得 m= > ,舍去…………11 分 2 2 4 12 2 综上可知 m=2.…………12 分


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