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2.3幂函数2

时间:2018-01-16


第二课时

一、幂函数定义:

一般地, 函数 y ? x 叫做幂函数, 其中 是自变量, 是常数 ? . (1)底数为自变量; (2)指数为常数; (3)系数为1.

?

x

幂函数中的
幂函数:

?

可以为任意实数.

y?x
指数函数:

?

自变量在底数位置;指数为常数. 自变量在指数位置;底数为常数.

y?a

x

二、比较幂值的大小
例1 (1) (3) 比较下列各组数的大小:
1 2 1 2

1.5 ,1.7

(2) (4)

?8 , ?( )
1 9

?7 8
1 4

7 8

0.7 ,( )

?

2 ? 3

3 ,5

1 2

例2
(1)

比较下列各组数的大小:

( ) ,( )
1 2 2 3
2 5

1 3

1 3

(2)

?( ) , ?( )
3 4

2 ? 5 3 2

2 3

(3)

6 ,( )

5 ? 1 6 7

(1)

( ) ,( )
1 2 2 3
∵幂函数
且 1 2 ∴

1 3

1 3

解:

y?x
2 3

1 3在(0, ﹢∞)上单调递增,

? ,
1 1 3 2 1 2 3 3

( ) ?( )

(2)

?( ) , ?( )
3 4
2 ( ) ? (5 ) ,
2 ? 5 3 2 2 3

2 ? 5 3 2

2 3

解:



又∵幂函数 且
2 5

? ,
3 4

y?x

2 3在(0,

﹢∞)上单调递增,




( ) ?( )
2 ? 5 3 2

2 2 3 5

2 3 3 4
2 3

?( ) ? ?( 3 4)

(3)

6 ,( )

2 5

5 ? 1 6 7

解:



( )
1 7
2 5

?5 6

?7

5 6

又∵


2 5 < 7 6 <      6 5 6 7 5 2 ? 1 5 6 6 ? (7)

5 6

三、练习巩固
例3 如果函数

f ( x) ? (m ? m ? 1) x
2

m 2 ? 2 m ?3

是幂函数,求满足条件的实数m的集合。 解:m2-m-1=1 m2-m-2=0 解得:m=2,或m=-1

变式:
如果函数

f ( x) ? (m ? m ? 1) x
2

m 2 ? 2 m ?3

是幂函数,且在区间(0,+∞)内是减函数,求
满足条件的实数m的集合。

m?2
舍去m ? ?1

例4: 如图所示,曲线是幂函数 y = xα 在第一象限 1 内的图象,已知 α分别取 四个值, ?1,1, , 2 2 C4 C2 C3 C1 则相应图象依次为:____________

一般地,幂函数的图象在直线x=1
的右侧,大指数在上,小指数在下。
1

[解析] (1)∵f(x)在(0,+∞)上是减函数, ∴m2-2m-3<0,∴-1<m<3. 又∵m∈Z,∴m=0,1,2. 而m=0,2时,f(x)=x-3不为偶函数;m= 1时,适合. ? ∴m=1,f(x)=x-4. ? ? ? ?

四、幂函数的图象变换:

?x 即可得到函数 y ?
(1)将函数 y

1 2

向右平移7个单位 , 的图象________________

x?7

的图象,

再____________________ 向上平移2个单位 ,即可得到函数

y ? 2?

x?7

的图象.

变式:
(2)将函数

y ? 2?
x?7
1 2

x?7

的图象

________________________ 向下平移2个单位 ,即可得到
函数

y?

的图象,

向左平移7个单位 再_________________________ ,即可得
到函数

y?x

的图象.

五、幂函数的应用
练习:若 ( x ? 1) ? (3 ? 2 x) , 求x的范围.
解: 在[0,+∞)上为增函数 y?x x ?1 ? 0 ? ∴由条件有 ? ? 3 ? 2x ? 0 ?x ?1 <3 ? 2 x ? 函数
1 2

1 2

1 2

2 解得: ? 1 ? x ? 3

课堂小结: (1)幂值大小的比较方法

(2)幂函数图象的平移变换 (3)利用幂函数的性质解题


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