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贵州省遵义航天高级中学2015届高三上学期第三次模拟考试数学(文)试题含解析


贵州省遵义航天高级中学 2015 届高三上学期第三次模拟考 试数学(文)试题(解析版)
【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度, 体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习 方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思 辨性、灵活性,基础性充分体现

了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能. 一、 选择题: (共 60 分,每小题 5 分) 【题文】1.已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1<x≤1},则 A∩B= A{0} B{-1,,0} 【知识点】集合运算. A1 C {0,1} D{1}

【答案解析】C 解析:因为集合 A={-1,0,1},B={x|-1<x≤1},所以 A∩B={0,1}, 故选 C. 【思路点拨】由交集的意义求结果. 【题文】2. 对于非零向量 a,b,“a∥b”是“a+b=0”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【知识点】充分条件;必要条件. A2 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ).

【答案解析】B 解析:因为:若“a∥b”则“a+b=0”是假命题;若“a+b=0”则 “a∥b”是真命题.所以“a∥b”是“a+b=0”的必要不充分条件.故选 B. 【思路点拨】根据原命题、逆命题的真假判定充分性与必要性. 【题文】3.已知正项等比数列{ a n }中 a 2 ? a 6 ? 4 ,则 log 2 a1 ? log 2 a 2 ? ? ? log 2 a 7 ? ( ) B.6 D3 C.7 D.8

A.5 【知识点】等比数列.

【答案解析】C 解析:因为正项等比数列{ a n }中 a 2 ? a 6 ? 4 ,所以 a42 ? 4 ? a4 ? 2 , 所以,所求= log 2 (a1a2 故选 C. 【思路点拨】利用等比数列的性质及对数的运算性质求解. 【题文】4.下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( ) 1 2 3 -x A.f(x)= 2 B.f(x)=x +1 C.f(x)=x D.f(x)=2 x 【知识点】函数的奇偶性与单调性. B3 B4
7 a7 ) ? log 2 ? ?? a1a7 ?? a2 a6 ?? a3a5 ? a4 ? ? = log2 a4 ? 7log2 a4 ? 7 ,

1

【答案解析】A 解析:由偶函数排除选项 C,D,由单调性排除选项 B,故选 A. 【思路点拨】根据函数奇偶性、单调性的意义确定结论. 【题文】5.已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm ,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 或 4 B.1 C1 C.4 D.8
2

)

【知识点】扇形面积公式;弧度的意义.

? 2r ? l ? 6 ?r ? 1 ?r ? 2 ? ?? 或? 【答案解析】A 解析:设扇形弧长 l ,半径 r,则 ? 1 ,所以 lr ? 2 ?l ? 4 ?l ? 2 ? ?2
扇形的圆心角的弧度数=

l =4 或 1.故选 A. r

【思路点拨】根据题意得关于弧长与半径的方程组,确定弧长和半径,再利用弧长与半径的 比为弧度数得结论. 【题文】6.对于任意的直线 l 与平面 α,在平面 α 内必有直线 m,使 m 与 l( A.平行 B.相交 G3 C.垂直 )

D.互为异面直线

【知识点】空间直线位置关系情况分析.

【答案解析】C 解析:当直线 l 与平面 α 相交时 A 不成立;当直线 l 与平面 α 平行时 B 不成 立;当直线 l 在平面 α 内时 D 不成立.故选 D. 【思路点拨】采用排除法确定结论. 【题文】7. 某几何体的三视图如右图所示,则其体积为 ( A. )

2? 3

B.

?
3

C. ? 【知识点】几何体的三视图. G2

D.

?
5

【答案解析】B 解析:由三视图可知此几何体是底面半径 1,高 2 的半圆锥,所以其体积为

1 1 ? ? ? ?12 ? 2 ? ,故选 B. 2 3 3
【思路点拨】由几何体的三视图,分析此几何体的结构,从而求得此几何体的体积. 【题文】8.若 sin ( A. ?

?

3 ? ? ? ) =5,则 cos ( ? ? ) =( 6 3
B. ?

). C. ?

4 5

4 5

3 5

D.

3 5

【知识点】诱导公式. C2

2

【答案解析】D 解析:因为 sin (

?

3 ?? ? ? ? ?? ? ? ) =5,所以 cos ( ? ? ) =sin ? ? ? ? ? ?? 6 3 ?? ?2 ? 6

?? ? 3 ? sin ? ? ? ? ? ,故选 D. ?3 ? 5
【思路点拨】利用诱导公式求解. 【题文】9.设 a>0,b>0.若 4a+b=ab,则 a+b 的最小值是 ( A. 1 B.5 E6 C. 7 ). D. 9

【知识点】基本不等式求最值.

【答案解析】D 解析:由 4a+b=ab 得 b ? a+b= a ? 故选 D.

4a ,又 a>0,b>0,所以 a>1,所以 a ?1

4 ? a ? 1? ? 4 4a 4 ?a? ? ? a ? 1? ? ? 5 ? 9 ,当且仅当 a=3 时等号成立. a ?1 a ?1 a ?1

【思路点拨】 将已知等式化为用 b 表示 a, 并求得 a 范围, 代入 a+b 得, a+b= ? a ? 1? ? 再用基本不等式求解.

4 ?5, a ?1

?x ? y ? 3 ? 0 ? y?a 【题文】10.若不等式组 ? ? 0? x?3 ?
范围是( ) B. [0,3) A. [0,3]

表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值

C. [3,6)

D. [3,6]

【知识点】简单的线性规划. E5 【答案解析】C 解析:画出图形如下,可得 a 的取值范围是 [3,6) .

3

【思路点拨】画出描述性图形,易得 a 范围. 【题文】11.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数是 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小 值,则函数 y=xf′(x)的图像可能是( )

【知识点】函数的极值点与该点两边导函数值的符号的关系. B12 【答案解析】 C 解析: 因为函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值, 所以 x ? ? ??, ?2? 时 f ? ? x ? ? 0 ,

x ? ? ?2, ?? ? 时 f ? ? x ? ? 0 ,所以 x ? ? ??, ?2? 时 y ? xf ?( x) >0, x ? ? ?2,0? 时
y ? xf ?( x) <0, x ? ? 0, ??? 时 y ? xf ?( x) >0,故选 C.
【思路点拨】由已知分析 f ? ? x ? 的取值符号,进一步分析 xf ? ? x ? 的取值符号. 【题文】12. 已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈ [0,3)时,

f ( x) ? x 2 ? 2 x ?

1 .若函数 y= f ( x) -a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实 2
) B. [0, ]

数 a 的取值范围是( A. (0, ) 【知识点】函数的零点. B9

1 2

1 2

C. [0, )

2 3

D. [0, ]

2 3

4

【答案解析】A 解析:画出函数 y ? f ? x ? 在[-3,4]上 的图像,分析它与直线 y=a 有 10 个不同交点的条件为 a ? ? 0, ? .故选 A. 【思路点拨】画出图像分析结果. 二、 填空题: (共 20 分,每个小题 5 分)
? ?log2x,x>0, ? ?1?? 【题文】13. 已知函数 f(x)=? x 则 f f 4 的值是_________. ? ? ?? ?3 ,x≤0, ?

? ?

1? 2?

【知识点】分段函数的函数值. 【答案解析】

B1

1 1 ?1? 解析:因为 f ? ? ? log 2 ? ?2 ,所以 9 4 ?4?

? f? ?

1 ? 1 ?? f ? ? ? ? f ? ?2 ? ? 3?2 ? 9 ? 4 ??

【思路点拨】先求 f ?

?1? ? ?1?? ? ,再求 f?f?4??的值. ?4?

【题文】14. 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图像如右图 所示,则 f (0) ? ________. 【知识点】由所给图像求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的解析式. C4

【答案解析】

6 ? 7? ? ? 解析: T ? 4 ? ? ? ?? ?? ? 2, 2 ? 12 3 ?
7? 3? ? ? ? ? 2 k? ? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z , 12 2 3

A=

2 ,由 2 ?

取? ?

?
3

,则 f ? x ? ?

? 6 2 sin(2 x ? ) ,所以 f ? 0 ? ? . 3 2
? 6 2 sin(2 x ? ) ,所以 f ? 0 ? ? . 3 2

【思路点拨】由所给图像求得 A, ? , ? ,得 f ? x ? ?

【题文】 15. 设数列{an}的通项公式为 an=2n-11(n∈N*), 则|a1|+|a2|+?+|an|=______. 【知识点】等差数列前 n 项绝对值的和. D4 【答案解析】 S n ? ?
2 * ? ??n ? 10n, (1 ? n ? 5, n ? N ) 解析:由 an ? 2n ?11 ? 0, n ? N ? 得 2 * ? ?n ? 10n ? 50, (n ? 6, n ? N )

数列{an}的前 5 项是负数,第 6 项以后都是正数,所以 S n ? ? 【思路点拨】先求出此等差数列的正负转换项,进而得结论.

??n 2 ? 10n, (1 ? n ? 5, n ? N * ) ? 2 * ? ?n ? 10n ? 50, (n ? 6, n ? N )

【题文】16. 已知 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长
5

为 2 2 的正方形,若 PA= 2 7 ,则三棱锥 B-AOP 的体积 V B ? AOP? ________. 【知识点】几何体的结构;锥体体积. G1

【答案解析】

4 7 解析:如图,易知 O 为线段 PC 中点,O 到平面 PAB 的距离为 2 , 3 1 1 4 7 . ? ?2 2?2 7 ? 2 ? 3 2 3

所以 VB ? AOP ? VO ? PAB ?

【思路点拨】利用等体积转化法求解. 三、解答题: 【题文】17 (本题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若向量 m=(2 b - c, a),n=(cosA,-cosC) 且 m⊥n (1)求角 A 的大小; 3 3 (2)若 a= 3,S△ABC= ,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 4 【知识点】正弦定理;余弦定理的应用. 【答案解析】(1) 解析:(1) C8

? ; (2)等边三角形,理由:见解析. 3

向量 m=(2 b - c, a) ,n=(cosA,-cosC) 且 m⊥n ,

? (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0 ,由正弦定理得: (2sin B ? sin C) cos A ? sin A cos C ? 0 , ? 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? 0 ?sin B(2cos A ? 1) ? 0 ,
0 ? A ? ? ,? A ? 1 0 ? B ? ? ,? sin B ? 0,? cos A ? , 2

?
3

.

(本小题还可以用余弦定理求解)

6

(2)△ABC 为等边三角形.

1 3 3 1 ? 3 3 S?ABC ? bc sin A ? , 即 bc sin ? ? bc ? 3 ① 2 4 2 3 4

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, a ? 3, A ?

?
3

,?b2 ? c2 ? 6, ②

由①②得 b ? c ? 3 ,? △ABC 为等边三角形. 【思路点拨】 (1)由已知得 (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0 ,再把正弦定理或余弦定理代入此 等式求得∠A; (2)由面积公式得 bc=3,由余弦定理得 b ? c ? 6 ,解得 b ? c ? 3 ,又∠
2 2

A=

? ,所以△ABC 为等边三角形. 3

【题文】18.(本题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 Sn=a1+3a2+?+(2n-1)an,求 Sn. 【知识点】已知递推公式求通项;数列前 n 项和求法. 【答案解析】(1) 2n; (2)(2n-3)·2
n+ 1

D1 D4

+6. 解析:(1)∵Sn=2an-2,

∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2), an 即 an=2an-2an-1,∵an≠0,∴ =2(n≥2,n∈N*). an-1 ∵a1=S1,∴a1=2a1-2,即 a1=2. 数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. ∴an=2n. (2)Sn=a1+3a2+…+(2n-1)an =1× 2+3× 22+5× 23+…+(2n-1)2n, ① ∴2Sn=1× 22+3× 23+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n 1, ②


①-②得-Sn=1× 2+(2× 22+2× 23+…+2× 2n)-(2n-1)2n 1,


即-Sn=1× 2+(23+24+…+2n 1)-(2n-1)2n


+1

∴Sn=(2n-3)·2

n+1

+6.

【思路点拨】(1) 利用公式 an ? ?

? S1 , n ? 1 变形已知递推公式,从 ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2

而求得数列 {an } 的通项公式; (2)由(1)求得 an ? 2n ,则 Sn 是一个等 差数列通项,与一个等比数列通项的积,构成的新数列的前 n 项和,所以用错位相减法求 Sn.
7

【题文】19.(本题满分 12 分) 如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,点 D 在边 BC 上,AD⊥C1D. (1)求证:平面 ADC1⊥平面 BCC1B1; B1E (2)设 E 是 B1C1 上的一点,当 的值为多少时,A1E∥平面 ADC1? 请给出证明. EC1 【知识点】面面垂直的判定;线面平行的条件. G4 G5 B1E 【答案解析】(1)证明:见解析; (2)当 的值为 1 时,A1E∥平面 ADC1, EC1 证明:见解析. 解析: (1)证明:在正三棱柱中, CC1 ? 平面 ABC,AD ? 平面 ABC ,

? AD ? C C1 ,
又 AD ? C1D , CC1

C1D ? C1 , CC1 ? 平面 BCC1B1 , C1D ? 平面 BCC1B1 ,
AD ? 平面 ADC1 , ? 平面 ADC1 ? 平面 BCC1B1 .

? AD ? 平面 BCC1B1 . 又

(2)由(1)得, AD ? BC ,在正三角形 ABC 中,D 是 BC 的中点, 当

B1 E ? 1 ,即 E 为 B1C1 得中点时, A1 E 平面 ADC1 . EC1

证明如下: (如图)四边形 BCC1B1 是矩形,且 D,E 分别是 BC, B1C1 的中点,所以

BB1 DE, BB1 ? DE



BB1 AA1 , BB1 ? AA1 ,? DE AA1,DE ? AA1 ,

? 四边形 ADEA1 为平行四边形,? EA1 AD.
而 A1E ? 平面 ADC1 , AD ? 平面 ADC1 , 故 A1 E 平面 ADC1 .

【思路点拨】 (1)根据面面垂直的判定定理,只需在平面 ADC1 找到直线与平面 BCC1B1 垂 直即可,此直线为 AD; (2)由(1)得 D 是线段 BC 的中点,所以 E 为 B1C1 得中点时,有

EA1 AD ,进而得 A1E∥平面 ADC1.
8

【题文】20.(本题满分 12 分) 函数 f(x)=m+logax(a>0 且 a≠1)的图象过点(16,3)和(1,-1). (1)求函数 f(x)的解析式; (2)令 g(x)=2f(x)-f(x-1),求 g(x)的最小值及取得最小值时 x 的值. 【知识点】待定系数法求函数解析式;基本不等式法求最值. B1 E6

【答案解析】(1) f(x)=-1+log2x; (2)当 x=2 时,函数 g(x)取得最小值 1. 解析: (1)由 ?

? f (16) ? 3 ?m ? log a 16 ? 3 得? f ( 1 ) ? ? 1 ? ?m ? log a 1 ? ?1

解得 m=-1,a=2, 故函数解析式为 f(x)=-1+log2x. x2 (2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]=log2 -1(x>1). x-1

? x ? 1? ? 2 ? x ? 1? ? 1 =(x-1)+ 1 +2≥2 x2 ∵ = x-1 x-1 x ?1
2

x-

1 +2=4. x -1

1 当且仅当 x-1= ,即 x=2 时,等号成立. x-1 而函数 y=log2x 在(0,+∞)上单调递增, 则 log2 x2 -1≥log24-1=1, x-1

故当 x=2 时,函数 g(x)取得最小值 1. 【思路点拨】(1)把已知两点的坐标,代入函数解析式,得关于 a,m 的方程组,解得 a,m 值 即可; (2)由(1)得函数 g ? x ? ? log 2 ≥2 x-

x2 x2 1 ? x ? 1? ,因为 x-1=(x-1)+x-1+2 x ?1

1 +2=4,所以 g ? x ? ? 1 ,当且仅当 x=2 时等号成立. x-1 【题文】21. (本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax2-ex(a∈R,e 为自然对数的底数),f′(x)是 f(x)的导函数. (1)解关于 x 的不等式:f(x)>f′(x); (2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2,求实数 a 的取值范围. 【知识点】导数运算;导数应用. B11 B12

【答案解析】(1) 当 a=0 时,无解; 当 a>0 时,解集为{x|x<0 或 x>2};当 a<0 时,解集为 e {x|0<x<2}.(2) a> . 2 解析:(1)f′(x)=2ax-ex,f(x)-f′(x)=ax(x-2)>0. 当 a=0 时,无解; 当 a>0 时,解集为{x|x<0 或 x>2};
9

当 a<0 时,解集为{x|0<x<2}. (2)设 g(x)=f′(x)=2ax-ex,则 x1,x2 是方程 g(x)=0 的两个根.g′(x)=2a-ex, 当 a≤0 时,g′(x)<0 恒成立,g(x)单调递减,方程 g(x)=0 不可能有两个根; 当 a>0 时,由 g′(x)=0,得 x=ln 2a, 当 x∈(-∞,ln 2a)时,g′(x)>0,g(x)单调递增, 当 x∈(ln 2a,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减. e ∴当 g(x)max>0 时, 方程 g(x)=0 才有两个根, ∴g(x)max=g(ln 2a)=2aln 2a-2a>0, 得 a> . 2 【思路点拨】(1)求得函数 f ? x ? 的导函数后,代入不等式 f(x)>f′(x),整理得 ax(x-2)>0. 再由 a 的取值条件得不等式的解; (2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2,则 f ? ? x ? ? 0 有两个不 等实根 x1,x2,然后利用导数确定此方程有两个不等实根的条件. 四、选做题(从 22~24 题中任选一题,在答题卡相应的位置涂上标志,多涂、少涂以 22 题计分) 【题文】22、选修 41:几何证明选讲 如图,EP 交圆于 E,C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG=PD,连接 DG 并延长 交圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB=ED.

【知识点】直径所对圆周角是直角;全等三角形的判定与性质.

N1

【答案解析】 解析:(1)证明:因为 PD=PG,所以 ?PDG ? ?PGD . 由于 PD 为切线,故 ?PDA ? ?DBA . 又由于 ?PGD ? ?EGA ,故 ?DBA ? ?EGA , 所以 ?DBA ? ?BAD ? ?EGA ? ?BAD ,从而 ?BAD ? ?PFA 因为 AF ? EP ,所以 ?PFA ? 90 , 所以 ?BDA ? 90 ,故 AB 为圆的直径.

10

(2)连接 BC、DC. 由于 AB 是直径,故 ?BDA ? ?ACB ? 90 在 Rt ?BDA 与 Rt ?ACB 中,AB=BA, AC=BD,所以 Rt ?BDA ≌ Rt ?ACB , 所以 ?DAB ? ?CBA . 又因为 ?DCB ? ?DAB ,所以 ?DCB ? ?CBA , 故 DC

AB .

因为 AB ? EP ,所以 DC ? EP , ?DCE 为直角. 所以 ED 为直径. 又由(1)知 AB 为圆的直径,所以 ED=AB. 【思路点拨】(1)证明∠BDA 是直角,或者用垂径定理证明结论; (2)利用证明三角形全等 证明结论. 【题文】23.选修 4-4:坐标系与参数方程
?x=2+t, ? x2 y2 已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ?

(1)写出曲线 C 的参数方程、直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最 小值. 【知识点】参数方程与普通方程的互化;点到直线的距离;三角函数式的最值. N3 2 5 22 5 【答案解析】 (1)见解析; (2)最大值为 ,最小值为 . 5 5
?x=2cos θ, ? 解析:(1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数), ? ?y=3sin θ

直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ)到直线 l 的距离 d= 则|PA|= d 2 5 = |5sin(θ+α)-6|, sin 30° 5 5 |4cos θ+3sin θ-6|, 5

4 其中 α 为锐角,且 tan α= . 3 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值,
11

22 5 最大值为 . 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值, 2 5 最小值为 . 5 【思路点拨】 (1)由椭圆参数方程公式写出椭圆参数方程,把直线参数方程中的参数消去得 其普通方程; (2)设出)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ),利用点到直线的距离公式, Rt 三角形的边角关系得|PA|关于 ? 的三角函数式,再用三角函数的最值求结论. 【题文】24、选修 45:不等式选讲 1? 设函数 f(x)=? ?x+a?+|x-a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. 【知识点】绝对值不等式的性质;基本不等式;绝对值不等式的解法. 【答案解析】 (1)证明:见解析; (2) ?

N4

?1 ? 5 5 ? 21 ? , ? . 解析:(1)证明:因为 a>0, 2 ? ? 2

所以 f ( x) ? x ?

1 1 1 ? x ? a ? x ? ? ( x ? a) ? ? a ? 2 , 所以 f ( x) ? 2 . a a a

(2) F (3) ? 3 ?

1 ? 3? a 。 a
1 5 ? 21 ,由 f(3)<5 得 3 ? a ? , a 2 1 1? 5 ,由 f(3)<5 得 ? a ? 3, a 2

=a ? 当 a>3 时, f (3)

当 0 ? a ? 3 时, f (3) ? 6 ? a ?

综上,a 的取值范围是 ?

?1 ? 5 5 ? 21 ? , ?. 2 2 ? ?

【思路点拨】 (1)利用绝对值不等式的性质及均值不等式证明结论; (2)对 a 分类讨论去掉 绝对值,求得 a 范围.

12


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