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山西省忻州市2013届高三上学期期末联考数学理试题 Word版含答案


忻州市 2013 届高三上学期期末联考数学(理)试题
命题人:杨爱正 高世军 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题. (选择题,共 60 分) 一、选择题(每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确.每小题 5 分,共 60 分) 1. i 是虚数单位,复数 z ? A.0

/>




3 ? 4i 的虚部是 ? 4 ? 3i
? 6

B.1

C.-1

2. 设a 、 是两个单位向量,其夹角为 ? ,则“ ? ? ? ”是“| a ? b |? 1 ”的 b A.充分不必要条件 C.充要条件 3. 双曲线 方程为 A. y ? ? 3 x C. y ? ?2 x B. y ? ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? 3

D.2

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的一个焦点为 (2,0) ,则其渐近线 a2
3 x 3 1 D. y ? ? x 2

?x ? 0 ? x y 4. 变量 x, y 满足条件 ? y ? 1 ,则 z ? 4 ? 2 的最大值为 ?x? y?0 ?
A.2 B.3 C.4 D. 8

5. 执行右图所给的程序框图,则运行后输出的结果是 A. 3 B. ? 3 C. ? 4 D. 4 6. 如图,为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,

俯视图中曲线部分为半圆,尺寸如图,则该几何体的体积为 A. ? ? 2 B. 2? ? 2 C. ? ? 4 D. 2? ? 4 7. 设集合 A ? {x |

1 ? 2 x ? 16} , B ? {x | y ? ln( x 2 ? 3 x)} ,从集合 A 中任取一个元素,则这个元素也是集合 4

B 中元素的概率是 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3 x 8. 已知函数 f ( x) ? 2 ,等差数列 {a n } 的公差为 2 ,且 f (a 2 ? a 4 ? a 6 ? a8 ? a10 ) ? 4 ,若

log 2 [ f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a n )] ? ?6(n ? N *) ,则 n ?
A. 10 B. 8 C. 6
?0.3

D. 5

9. 已知函数 f ( x) ? ( ) |x| , 设 a ? f (2

A. a ? c ? b B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. a ? b ? c 10. 如图,不规则四边形 ABCD 中:AB 和 CD 是线段,AD 和 BC 是圆弧,直线 l⊥ 于 E,当 l 从左至右移动(与线 AB 段 AB 有公共点)时,把四边形 ABCD 分成两部分,设 AE=x,左侧部分的面积为 y,则 y 关于 x 的大致图象是

1 2

) , b ? f (log 2 0.3) , c ? f (ln 10) ,则 a, b, c 的大小关系是

11. 已知函数 f ( x) ?

(1)当 x ? [0, ] 时, f (x) 的最小值为 ? 1 ;

? 2

? 2 sin(?x ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,下列四个判断: 4

(2)函数 f (x) 的图象可由 y ?

2 cos 2 x 的图象向右平移

(3)函数 f (x) 的图象关于直线 x ? (4)函数 f (x) 在区间 [ , A.1

? 3? ] 上是减函数.则正确判断的个数是 8 8
B.2 C.3 D.4

? 对称; 8

? 个单位长度得到; 4

12. 定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (2 ? x) ? f ( x) ,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 数 y ? f ( x) ? g ( x)? x ? (?1,9) ? 的零点个数为 A.4 B.5 C.6

x .又 g ( x) ? cos

?x ,则函 2

D.7


13. 若 a ?



卷(非选择题,共 90 分)

二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上)

?

?

0

sin xdx ,则二项式 (a x ?

1 6 ) 展开式中常数项是____________. x

14. 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, 侧棱 AA1 垂直于底面

ABC 且 AA1 =4,则此三棱柱外接球的表面积为___________. a ? an?2 1 ? 2 .数列 {bn } 满足: b1 ? 1, bn ?1 ? bn ? 15. 数列 {a n } 满足: a1 ? 1 , n ?1 (以上 n ? N * ),则 a n ? a n ?1 a n ?1 {bn } 的通项公式是____________.
16. 已知 F1、F2 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 a 2 b2

PF2 与圆 x 2 ? y 2 ? b 2 相切于点 Q,且点 Q 为线段 PF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为________. 三.解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷纸 的相应位置上.只写最终结果的不得分) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , A ? 2 B , sin B ? (1) 求 cos A 及 cos C 的值. (2) 若 b ? 2 ,求 c . 18. (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PA ? 面 ABCD ,且 PA ? AD ? 2 ,点 M , N

3 . 3

分别在 PD, PC 上, PN ?

????

(1) 求证: PC ? 面 AMN ; (2) 求二面角 A ? MN ? B 的余弦值. 19. (本小题满分 12 分)

1 ???? NC , PM ? MD. 2

某单位举行趣味知识有奖竞赛,比赛分初赛和决赛两部分,初赛采取选手选一题答一题的方式,每位选 手最多有 5 次答题机会,累计答对 3 题者直接进入决赛,答错 3 题者则被淘汰. 已知选手甲答题的正确率为

2 . 3

(1) 求选手甲答题次数不超过 4 次可进入决赛的概率; (2) 设选手甲在初赛中答题的个数为随机变量 X ,求 X 的分布列及数学期望. 20. (本小题满分 12 分) 设抛物线 C 的方程为: y ? 2 px( p ? 0) ,焦点为 F .
2

(1) 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A、B 两点,若 AF ? 2FB, 线段 AB 的中点到准线的距离为

9 ,求 C 的 4

方程; (2) 设 P ( x 0 , y 0 )( x 0 ? 2) 是(1)中所求抛物线 C 上的动点,定点 Q (2,0) ,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于 点 M (m,0) ,求实数 m 的最小值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ?

? ? x 3 ? x 2 ? bx ? c, x ? 1 的图象过坐标原点 O ,且在点 (?1, f (?1)) 处的切线的斜 x ?1 ?a ln x,

率是 ? 5 . (1) 求 f (x) 在区间 ?? 1,2? 上的最大值; (2) 对 a ? R ,在曲线 y ? f (x) 上是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边 的中点在 y 轴上?若存在,求出满足条件的 a 的范围,若不存在,说明理由. 请考生在(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答时用 2B . . 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明与选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,经过点 O 的 割线 PBC 交圆 O 于点 B 、 C , ?APC 的平分线 分别交 AB 、 AC 于点 D 、 E .

求证:(1) ?ADE ? ?AED . (2) 若 AC ? AP, 求

PC 的值. PA

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t cos ? (t 为参数,α 为直线 l 的倾斜角),以原点 O 为 ? y ? t sin ?
2

极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 8 ? cos ? ? 12 ? 0 . (1) 若直线 l 与圆 C 相切,求 ? 的值; (2) 若 tan ? ?

1 , 直线 l 与圆 C 交与 A,B 两点,求 | OA | ? | OB | 的值. 2

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? m | ? m . (1) 若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 {x | ?1 ? x ? 3} ,求实数 m 的值; (2) 在(1)的条件下, ?x ? R, 使 f ( x) ? a ? f (? x) 能成立,求实数 a 的取值范围.

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