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课题:函数模型的应用实例

时间:2012-09-11


函数模型的应用实例

y ? kx ? b(k ? 0) 直 1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条____线,
当________时,一次函数在 ( ??,??) 上为增函数,当_______时, 一次函数在 上为减函数。 (??,??)
2

y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 ) 2.二次函数的解析式为_______________________, 其图像是一条

4 ac ? b 4 ac ? b
2

2

抛物 a ? 0 a ? 0 4a ________线,当______时,函数有最小值为___________,当______
4a 时,函数有最大值为____________。

问题

某学生早上起床太晚,为避免迟 到,不得不跑步到教室,但由于 平时不注意锻炼身体,结果跑了 一段就累了,不得不走完余下的 路程。

如果用纵轴表示家到教室的距离,横轴表 示出发后的时间,则下列四个图象比较符 合此人走法的是()

d d

0

d d

0

d d

0

d d

0

0

(A)

t

0

t0

t (B)

0

t 0

t t 0 (D)t (C)
0

0

例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示: (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004 km,试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时 v 间t h的函数解析式,并作出相应的图象
解(1)阴影部分的面积为 50 ? 1 ? 80 ? 1 ? 90 ? 1 ? 75 ? 1 ? 65 ? 1 ? 360
90 80 70 60 50 40 30 20 10
1 2 3 4 5

阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km
(2)根据图形可得:
? ? ? ? S ? ? ? ? ? ?

50 t ? 2004
80 ( t ? 1) ? 2054 90 ( t ? 2 ) ? 2134 75 ( t ? 3 ) ? 2224 65 ( t ? 4 ) ? 2299

0? t ?1

1? t ? 2 2?t ?3
3? t ? 4 4? t ? 5

t

这个函数的图像如下图所示:

例2: 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份 0.20元,卖出的价格是每份0.30元,卖不完的还 可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月 (以30天计算)有20天每天可卖出400份,其余 10天只能卖250份,但每天从报社买进报纸的份 数都相同,问应该从报社买多少份才能使每月所 获得的利润最大?并计算每月最多能赚多少钱?
解析:本题所给条件较多,数量关系比较复 杂,可以列表分析:

例2一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元,卖出 的价格是每份0.30元,卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报 社.在一个月(以30天计算)有20天每天可卖出400份,其余10天 只能卖250份,但每天从报社买进报纸的份数都相同,问应该从报 社买多少份才能使每月所获得的利润最大?并计算每月最多能赚多 少钱? 数量(份) 买进 卖出 退回 30x 20x+10*250 10(x-250) 价格(元) 0.20 0.30 0.08 金额(元) 6x 6x+750 0.8x-200

则每月获利润y=[(6x+750)+(0.8x-200)]-6x=0.8x+550 (250≤x≤400). y在x [250,400]上是一次函 数. ∴x=400份时,y取得最大值870元. 答:每天从报社买进400份时,每月获的利润最大,最大利润为870元.

例3 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元, 每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如表所示:
销售单价/元 6
日均销售量/桶

7
440

8

9

10

11

12

480

400

360

320

280

240

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润? 分析:由表中信息可知①销售单价每增加1元,日均销售量就减少40 桶②销售利润怎样计算较好? 解:设在进价基础上增加x元后,日均经营利润为y元,则有日均销售量为
480 ? 40 ( x ? 1) ? 520 ? 40 x(桶)
而 x ? 0 , 且 520 ? 40 x ? 0 , 即 0 ? x ? 13
y ? ( 520 ? 40 x ) x ? 200 ? ? 40 x ? 520 x ? 200 ? ? 40 ( x ? 6 . 5 ) ? 1490
2 2

? 当 x ? 6 . 5时, y 有最大值

? 只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润。

1.一家旅社有100间相同的客房,经过一段时间的经营实践,旅社经理发现, 每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系:
每间每天房价 20元 18元 16元 住房率 65% 75% 85% 14元 95%

要使每天收入达到最高,每间定价应为( C ) A.20元 B.18元 C.16元 D.14元

2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知这种商品 每个涨价1元,其销售量就减少20个,为了取得最大利润,每个售价应定为 (A )
A.95元 B.100元 C.105元 D.110元

y=(90+x-80· (400-20x)

例4、某蔬菜菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一 日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间关系用图1的一条折线 表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示: (1)、写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式,P ? f ( t ) 写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式 Q ? g ( t ) (2)、认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿 元 纯收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位: ,时间单位:天)
P 300 150 100 100 t 0 200 300 0
1 0 kg
2

Q 250

50

150 250

300

t

100

解(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为:

?300 ? t, 0 ? t ? 200 f (t ) ? ? ? 2 t ? 3 0 0, 2 0 0 ? t ? 3 0 0
由图2可得种植成本与时间的函数关系式为:

g (t ) ?

1 200

( t ? 150) ? 100, 0 ? t ? 300
2

(2)设 t 时刻的纯收益为 h ( t ) ,则由题意得 h ( t ) ? f ( t ) ? g ( t ),
? ? ? ? h (t ) ? ? ?? ? ? 1 200 1 200 t ?
2



t ?
2

1 2 7 2

t? t?

175 2

, 0 ? t ? 200 , 200 ? t ? 300

1025 2

当 0 ? t ? 200 时,配方整理得 h ( t ) ?

?

1 200

( t ? 5 0 ) ? 1 0 0, 所以当
2

t ? 50 时, h ( t ) 取得 [0, 200] 上的最大值1 0 0
(t ? 3 5 0 ) 时,配方整理得 200 上的最大值 8 7 .5 (200, 300] h (t ) ? ? 1
2

;当 200 ? t ? 300

? 100

,所以当 t ? 3 0 0 时, h ( t ) 取得

综上,由 100 ? 87.5 可知, h ( t ) 在 [0, 300] 上可以取得最大值 100,此时 t =50,即二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益 最大.

例5某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表
身 高
体 重

60 70 80 90

100 110 120 130 140 150 160 170
17.5 20.9 26.9 31.1 38.9 47.3 55.0

6.13 7.90 9.99 12. 1 15.0

(1)根据表提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它

能比较接近地反映这个地区未成年男性体重y(kg)与

身高x(cm)的函数关系?试写出这个函数模型的解析式。
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏

胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm, 体重为78kg的在校男生的体重是否正常?
图象

例6 某工厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产 量分别为1.1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件。由 于产品质量好,款式新,前几个月的产品销售情况良 好。为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多 或过少,需要估计今后几个月的产量,厂里分析,产 量的增加是由于工人操作熟练和理顺了生产流程,厂 里也暂时不准备设备和工人,假如你是厂长,将会采 取什么办法估计今后几个月的产量?

小结
(1)认真审题,准确理解题意;
(2)抓准数量关系,运用已有的数 学知识和方法,建立函数关系式; (3)根据实际情况确定定义域。

基本步骤:

第一步:阅读理解,认真审题

读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景 中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述中的新名词、新概念, 进而把握住新信息。

第二步:引进数学符号,建立数学模型
设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根据问题已知 条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函 数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化, 即所谓建立数学模型。

第三步:利用数学的方法将得到的常规数学问 题(即数学模型)予以解答,求得结果。
第四步:再转译为具体问题作出解答。

抽象概括 实际问题

数学模型 推理 演算

实际问题 的解

还原说明

数学模型 的解

应用函数知识解应用题的方法步骤: (1)正确地将实际问题转化为函数模型,这是解应用题的关键。 转化来源于对已知条件的综合分析,归纳与抽象,并与熟 知的函数模型相比较,以确定函数模型的种类。 (2)用相关的函数知识进行合理设计,确定最佳解题方案,进 行数学上的计算求解。 (3)把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题,即对 实际问题进行总结做答。

布置作业 1 . (必做)课本第126页 练习1,2
2.(选做)甲乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查, 提供了两个方面的信息,如下图:

甲调查表明:每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只 乙调查表明:甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个 请你根据提供的信息说明: ①第2年甲鱼池的个数及全县甲鱼总数 ②到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了?说明理由。


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