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高2017级高一下期半期考试数学试题


高 2017 级高一下期半期考试数学试题
考试时间:120 分钟 总分:150 分

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1、设平面向量 a ? (3,5), b ? (?2,1), 则a ? 2b ? ( A ) A. (7,3)
0 0

r />B.(7,7)
0

C.(1,7)
0

D.(1,3) B )

本题考查:向量坐标的运算(减法、数乘向量) 2、 sin 45 cos15 ? cos45 sin 15 的值为( ( A)?

3 2

(B)

1 2

(C ) ?

1 2

(D)

3 2

本题考查:两角和、差的正弦、余弦正切公式的逆运用(两角差的正弦公式的逆运用) 3、在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 2, a3 ? 4, 则 a10 ? ( D A.12 B.14 C.16 D.18
?



本题考查:等差数列的基本量的计算(等差通项公式的应用) 4.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 B ? 45 , A ? 60 , b ? 1 ,则 a 为(A) ( A)

6 2

(B)

3 2

(C ) 1

(D) 2

本题考查:正弦定理的应用(两角及其中一角的对边解三解形) 5. 已知数列 an

(n为奇数) ?3n ? 1, ?? ,则 a2015 ? a2016 等于( C ) 2 n ? 1 , (n 为偶数) ?
D. 2016 ( ) ( D )-

A.2013 B.2014 C.2015 本题考查:数列通项公式的应用

6.若 tan(? ? ? ) ? 3 , tan(? ? ? ) ? 5 ,则 tan 2? ? ( A)

B

4 7

( B )-

4 7

(C )

1 2


1 2

本题考查:两角和、差的正弦、余弦正切公式的逆运用(两角差的正切公式的逆运用) 7、已知 AB ? a ? 5b, BC ? ?2a ? 8b, CD ? 3(a ? b) ,则 ( A A.A、B、D 三点共线 B. A、B、C 三点共线 C、B、C、D 三点共线 D、A、C、D 三点共线 本题考查:共线向量的基本定理(三点共线)

8、在△ ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 1:1: 3 ,则此三角形的最大内角的度数是( C ) A. 600 B.900 C.1200 本题考查:余弦定理的应用(已知三边解三角形) D.1350

9、设等比数列{an } 各项均为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18, 则 log3 a1 ? log3 a2 ?
1

? log3 a10 ?



D

) (B) 2 ? log3 5 (C)8 (D)10

(A)12

本题考查:等比数列通项式(等比数列性质的运用) 、对数算律的逆用。 10、 在△ ABC 中,关于 x 的方程 (1 ? x ) sin A ? 2 x sin B ? (1 ? x ) sin C ? 0 有两个不同的
2 2

实根,则 A 为( A ) A.锐角 B.直角 C.钝角 D. 不存在 本题考查:一元二次方程根的判别式、正弦定理、余弦定理的应用 二、填空题(每个 5 分,共 25 分) 11、 sin15 cos15 ? 本题考查:二倍角正弦公式的应用 .答案:

1 4

,, 2) b ? (2, 3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, ? 7) 共线,则 12.设向量 a ? (1
.答案:2 本题考查:向量和坐标运算、向量共线 13、已知等差数列 {an } 中, a1 , a99 是函数 f ( x) ? x ? 10 x ? 16 的两个零点,则
2

??

1 25 a50 ? a20 ? a80 =________.答案: 2 2
本题考查:一元二次方程根与系数的关系,等差数列通项公式性质的应用 14、在 ?ABC 中, a ? 14 , A ? 60 , b : c ? 8 : 5 ,则 ?ABC 的面积 S ?ABC ?
0

.

答案:40 本题考查:余弦定理、面积公式的应用 15、下列命题:

AB ? a , BC ? b , B是 △ ABC 中最大角,且 a ? b ? 0 ,则△ ABC 为钝 ① 已知△ ABC中,
角三角形; ② 若 sin A ? ③ 若 sin ? ?

?

?

?

?

4 5sinA ? 8 ,则 ? 6; 5 15cos A ? 7
5 10 ? , sin ? ? 且 ? 、 ? 为锐角,则 ? ? ? ? ; 5 10 4
n

④ 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? aq (a ? 0, q ? 1, q 为非零常数),则数列 ?a n ? 为等比数 列. 其中正确的命题序号________.(注:把你认为正确的序号都填上)答案:① ? 本题考查:向量的数量积(向量的夹角) ,三角函数中知一求二及两角和、差的正弦、余弦 正切公式的逆运用(两角差的正弦或余弦公式的逆运用) ,等比数列的判断。 三、解答题(6 个小题,共 75 分)

2

16. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ),? ?[0, ? ] ,向量 b ? ( 3, ?1) (1)当 a // b ,求 ? . (2)当 a ? b 时,求 ? . 解: (1)当 a // b 时,则 3 sin ? ? ? cos? 化简得:

tan? ? ?

3 5? , 又? ? ?0, ? ?,?? ? 3 6

……6 分

(2)当 a ? b 时, 3 cos? ? sin ? ? 0 化简得:

tan ? ? 3 , 又? ? ?0, ? ?,?? ?

?

3

……12 分

本题考查:向量坐标运算,向量共线、垂直的应用 17.(本小题满分 12 分)已知 ?ABC 中, a ? 3 3, c ? 2, B ? 1500 求: (1)边 b 的长;(2)求 ?ABC 的面积。 解:(1)由余弦定理

cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 3 ?? 2ac 2

b 2 ? 49, b ? 7

……6 分
3 2

?2?S?ABC ? 1 acsin B ? 3
2

……12 分

本题考查:余弦定理(两边夹角) ,面积公式 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2 cos x.
2 2

(1) 求 f ( x) 的最大值及最大值时自变量 x 的集合; (2) 求函数 f ( x) 的单调增 区间. .

解: (1)由题意得:
2 f ( x) ? s i n x ? 2s i n xc o x s ? c o 2sx ? 2 c o 2sx

?sin 2x ? c o s 2x ? 2

? 2 s i n2( x? )?2 4 ? ? 所以当 2 x ? ? 2k? ? (k ? Z ) 时, 4 2
? ? ? 即 ? x x ? k? ? , k ? Z ? 8 ? ?
f ( x) 取最大值,且 f ( x) max ? 2 ? 2.

?

…… 4 分

……6 分 ……7 分 ……8 分

(2)由2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

,k ? Z,

3

得 2k? ?

3? ? ? 2 x ? 2k? ? , k ? Z . 4 4 3? ? 所以 k? ? ? x ? k? ? , k ? Z . 8 8

3? ?? ? 所以f ( x)的单调递增区间为 k? ? , k? ? ?, k ? Z . ? 8 8? ?

……12 分

本题考查:两角和、差的正弦、余弦正切公式及倍角公式的逆用,三角函数的最大值、 单调增 区间 . 19、(本小题满分 12 分) 已知公差大于零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a3a4 ? 117, a2 ? a5 ? 22 . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)若数列 ?bn ?是等差数列,且 bn ?

Sn ,求非零常数 c . n?c

解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,且 d>0.∵a3+a4=a2+a5=22,又 a3·a4=117, 又公差 d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13 .……3 分 ∴?
? ?a1+2d=9 ?a1+3d=13 ?

,∴?

? ?a1=1 ?d=4 ?

,∴an=4n-3. ·4=2n -n,
2

……6 分 ……7 分 ……9 分

(2)由(1)知,Sn=n·1+ ∴bn=

n n-1
2

2n -n 1 6 15 = .∴b1= ,b2= ,b3= n+c n+c 1+c 2+c 3+c ∵{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3, 1 2 ∴2c +c=0,∴c=- (c=0 舍去). 2 本题考查:等差数列通项(性质、基本量) ,等差中项、前 n 项和的应用

Sn

2

…12 分

20. (本小题满分 13 分) 已知 A、 B、 C 三点的坐标分别是 A (3, 0) , B (0, 3) , C (sin ?, cos ?) , 其中

? 3 (1)若 AC ? BC ,求角 ? 的值; ? ? ? ?, 2 2
2sin 2 ? ? sin 2? 的值。 1 ? tan ?

(2)若 AC BC ? ?1 ,求

解: (1)由 AC ? (sin a ? 3, cos a ), BC ? (sin a, cos a ? 3)

AC ? BC ? (sin a ? 3) 2 ? cos 2 a ? sin 2 a ? (cos a ? 3) 2
化简得 sin a ? cos a 由于

……3 分 ……6 分

?
2

?a?

3? ,所以 a ? 5 ? 2 4

4

……13 分
本题考查:向量的模、坐标运算工、数量积、三角函数及三角恒等变形 21.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、b、c , 已知 c ? bc cos A ? ca cos B ? ab cos C .
2

(I)判断△ABC 的形状; (II)若 AB ? BC ? ?3, AB ? AC ? 9 ,求角 B 的大小. 2 解: (Ⅰ )∵ 在△ ABC 中,c =bccosA+cacosB+abcosC, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ 由余弦定理可得:2bccosA=b +c ﹣a ,2cacosB=a +c ﹣b ,2abcosC=a +b ﹣c ,…3 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ 2c =(b +c ﹣a )+(a +c ﹣b )+(a +b ﹣c ) , 2 2 2 即 a +b =c , ∴ △ ABC 为直角三角形 ……6 分 (Ⅱ )∵ ? =﹣3, ? =9,

即 accos(π﹣B)=﹣accosB=﹣3,bccosA=9 两式相除得: ∴ cosB=cos( = = ,又△ ABC 为直角三角形,C 为直角; ﹣A)=sinA, = = ,A 为锐角

……7 分 ……9 分

由正弦定理可得: ∴ tanA= ∴ A= , ,B= .

……11 分

……14 分

本题考查:余弦定理、勾股定理逆定理、向量数量积、正弦定理、诱导公式

5


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