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立体几何中的向量方法(一)


前面,我们把

平面向量

推广到

空间向量

向量 渐渐成为重要工具

立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.

为了用向量来研究空

间的线面位置关系,首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢?

一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l

? e

? 直线l上的向量 e

? 以及与 e 共线

? e
A

的向量叫做直线l的方向向量。 B

由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以,可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 ? 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂 ? 直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 n ⊥? , ? ? 如果 n⊥ ? ,那 么 向 量 n 叫做平面 ? 的法向量. ? n 给定一点 A 和一个向量 ,那么过点A, l ? 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.

二、平面的法向量

? n

?

A

几点注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行 ?? ; ? 3.向量 n是平面的法向量,向量 m 是 与平面平行或在平面内,则有

? ?? n? m ? 0

例 1:在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求 ???? ? 证: DB1 是平面 ACD1 的法向量
证:设正方体棱长为 1, ??? ? ???? ???? ? 以 DA, DC , DD1 为单位正交基底,建立如 图所示空间坐标系 D ? xyz ,则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) ??? ? ???? ? DB1 ? (1,1,1) , AC ? (?1,1,0) , ???? ? ???? ? ??? ? AD1 ? (?1,0,1) DB1 ? AC ? 0 , ???? ? ??? ? ???? ? ???? ? 所以 DB1 ? AC ,同理 DB1 ? AD1 又因为 AD1 ? AC ? A ???? ? ???? ? 所以 DB1 ? 平面 ACD , 从而 DB1 是 平面 ACD1 的一个法向量.

??? ? ??? ? 例2:已知AB ? (2, 2,1), AC ? (4,5,3), 求平面ABC的
由两个三元一次方程 ? 组成的方程组的解是 解:设平面的法向量为n ? (x,y,z), 不惟一的,为方便起 ? ??? ? ? ???? 见,取z=1较合理。 则n ? AB??, ??n ? AC 其实平面的法向量不 是惟一的。 ??? (x,y,z) ?(2, 2,1) ? 0,

单位法向量。

(x,y,z) ?(4,5,3) ? 0,

1 ? ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ?x ? 即? , 取z ? 1,得 ? 2 ?4 x ? 5 y ? 3 z ? 0 ? y ? ?1 ? ? ?

1 2 2 ? 求平面ABC的单位法向量为 ? ( , - ,) 3 3 3

1 ? n ? ( , ?1,1), 2

3 | n |? 2

问题:如何求平面的法向量?
(1)设出平面的法向量为 n ? ( x, y, z)
(2)找出(求出)平面内的 两个不共线的 向量的坐标a ? (a1, b1, c1 ),b ? (a2 , b2 , c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x , y , z的 ? ? ? a1 x ? b1 y ? c1 z ? 0 ?n ? a ? 0 方程组 ? ? ? ?? ? n ? b ? 0 ? a2 x ? b2 y ? c2 z ? 0
量不惟一, 合理取值即 可。

(4)解方程组,取其中的一 个解,即得法向量。

例3. 在空间直角坐标系内,设平面 ? 经过

点 P( x0 , y 0 , z 0 ) ,平面 ? 的法向量为 e ? ( A, B, C),
M ( x, y, z ) 为平面 ? 内任意一点,求 x, y, z

满足的关系式。 ???? 解:由题意可得 PM ? ( x ? x0 , y ? y0 , z ? z0 ), e ? PM ? 0

即( A, B, C ) ? ( x ? x0 , y ? y0 , z ? z0 ) ? 0
化简得:A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? C ( z ? z0 ) ? 0

因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置,所以我们应该可以利用直线的 方向向量与平面的法向量表示空间直线、平 面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
那么如何用直线的方向向量表示空间 两直线平行、垂直的位置关系以及它们之 间的夹角呢?如何用平面的法向量表示空 间两平面平行、垂直的位置关系以及它们 二面角的大小呢?

?? ?? ?? ?? 线线平行 l1 // l2 ? e1 // e2 ? e1 ? ? e2 ; ?? ?? ? ?? ?? ? 线面平行 l1 // ?1 ? e1 ? n1 ? e1 ? n1 ? 0 ; ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 面面平行 ?1 // ? 2 ? n1 // n2 ? n1 ? ? n2 . ? 设直线l的方向向量为e ? (a1 , b1 , c1 ), 平面?的 注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 ? 法向量为 包括线在面内,面面平行包括面面重合 . ?n ? ? (a2 , b2 , c2 ),则 l // ? ? e ? n ? 0 ? a1a2 ? b1b2 ? c1c2 ? 0;

?? ?? 设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,平面 ?? ? ?? ? ?1 ,?2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则

三、平行关系:

例4 如图,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,点 1 1 M , N 分别在对角线 BD, AE 上,且 BM ? BD, AN ? AE, 3 3 求证:MN // 平面CDE
F

z
N

E

A

D M

y

B

x

C

四、垂直关系:

?? ?? 设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,平面 ?? ? ?? ? ?1 ,?2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则
?? ?? ?? ?? 线线垂直 l1 ? l2 ? e1 ? e2 ? e1 ? e2 ? 0 ;
?? ?? ? ?? ?? ? 线面垂直 l1 ? ?1 ? e1 // n1 ? e1 ? ? n1 ;

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 面面垂直 ?1 ? ?2 ? n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? 0. ? ? 若e ? (a1, b1, c1 ), n ? (a2 , b2 , c2 ),则 ? ? ? ? l ? ? ? e // n ? e ? ? n ? a1 ? ?a2 , b1 ? ?b2 , c1 ? ?c2 .
? ? a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 ? 0时,e // n ? ? ? a2 b2 c2

例5.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别是BB1,,

CD中点,求证:D1F ? 平面ADE ??? ? ??? ? ???? ? 以DA??, ??DC??,??DD1为单位正交 证明:设正方体棱长为1, 基底,建立如图所示坐标系D-xyz,则可得:
??? ? ???? 1 DA ? (1, 0, 0), DE ? (1,1, , ) 2 设平面ADE的一个法向量 ? 为n=(x,y,z)
D1

z

C1 B1 E

A1 D A
x

? ??? ? ? ??? ? 则由n ? DA ? 0??, ??n ? DE ? 0得

F B

C y

???? ? 1 又因为D1 F ? (0, , ?1) 2 所以 D1F ? 平面ADE

?x ? 0? 0 ? 0 则x=0,不妨取y ? 1,得z ? ?2 ? ? 1 ? x ? y ? z ? 0 所以n=(0, 1, - 2) ? ? 2

???? ? ? 所以D1 F //n

巩固性训练1
1.设

a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直

列条件,判断l1,l2的位置关系.

(1)a ? (2,?1,?2), b ? (6,?3,?6) (2)a ? (1,2,?2), b ? (?2,3,2) (3)a ? (0,0,1), b ? (0,0,?3)

平行

巩固性训练2
1.设

u, v

分别是平面α,β的法向量,根据 垂直 平行

下列条件,判断α,β的位置关系.

(1)u ? (?2,2,5), v ? (6,?4,4) (2)u ? (1,2,?2), v ? (?2,?4,4) (3)u ? (2,?3,5), v ? (?3,1,?4)

相交

巩固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为 (-2,-4,k),若 ? // ? ,则k= ;若 ? ? ? 则 k= 。 2、已知 l // ? ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 ? 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 ? 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ? ? ,则m= .

l1

l2

?? e1

?? e2

?? ?? ?? ?? l1 // l2 ? e1 // e2 ? e1 ? ? e2

?? e1
?? ? n1

l1

?
?? ?? ? ?? ?? ? l1 // ?1 ? e1 ? n1 ? e1 ? n1 ? 0

?? ? n1

?1
?2

?? ? n2

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?1 // ? 2 ? n1 // n2 ? n1 ? ? n2

l1

?? e1 ?? e2

l2

?? ?? ?? ?? l1 ? l2 ? e1 ? e2 ? e1 ? e2 ? 0

l

?? e1

?? ? n1

?
?? ?? ? ?? ?? ? l1 ? ?1 ? e1 // n1 ? e1 ? ? n1

?? ? n2

?2

?? ? n1
?1

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?1 ? ?2 ? n1 ? n2 ? n1 ? n1 ? 0


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