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第1章1.2.2第二课时知能优化训练

时间:2012-12-09


1.设直线 l?平面 α,则过 l 作平面 β,使 β∥α,这样的 β( ) A.只能作一个 B.至多可作一个 C.不存在 D.至少可作一个 解析:选 B.当 l 与平面 α 相交时,平面 β 不存在,当 l∥α 时,可作一个平面. 2.两个平面平行的条件是( ) A.一个平面内一条直线平行于另一个平面 B.一个平面内两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 D.两个平面都平行于同一条直线 答案:C 3.若三条直线,a,b,c 满足 a∥b∥c,且 a?α,b?β,c?β,则两个平面 α、β 的位 置关系是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不能确定 答案:C 4.平面 α∥平面 β,直线 a?α,则直线 a 和平面 β 的位置关系是________. 答案:a∥β 5.过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的三顶点 A1、C1、B 的平面与底面 ABCD 所在平面的交 线为 l,则 l 与 A1C1 的位置关系是________. 解析:∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, 平面 ABCD∩平面 A1C1B=l, 平面 A1B1C1D1∩平面 A1C1B=A1C1, ∴l∥A1C1(面面平行的性质定理). 答案:平行 1.已知 m、n 是不重合的直线,α,β 是不重合的平面,有下列命题,其中正确的命题 的个数是( ) ①若 m?α,n∥α,则 m∥n ②若 m∥α,m∥β,则 α∥β ③若 α∩β=n,m∥n,则 m∥α,m∥β A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 A.①不正确,n∥α,过 n 作平面 β 与 α 相交,n 与其交线平行,m?α,m 不 一定与其交线平行; ②不正确,设 α∩β=l,m∥l,也可有 m∥α,且 m∥β; ③不正确,有 m?α 或 m?β 的可能. 2.已知 m、n 表示两条直线,α、β、γ 表示三个平面,则下列命题中正确的个数是( ) ①若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β; ②若 m、n 相交且都在平面 α、β 外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则 α∥β; ③若 m∥α,m∥β,则 α∥β; ④若 m∥α,n∥β,m∥n,则 α∥β. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 A.①错,可考虑三棱柱模型,三棱柱的三个侧面中任意两个与第三个侧面相 交,两条交线即侧棱相互平行,但这两个侧面不平行;②正确,由判定定理可知,由 m、n

两条相交直线所确定的平面既与 α 平行,也与 β 平行,因而 α∥β;③错;④错.故选 A. 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列四对截面中彼此平行的一对截面是( ) A.A1BC1 和 ACD1 B.BDC1 和 B1D1C C.B1D1D 和 BDA1 D.ADC1 和 AD1C 解析:选 A.由 A1B∥D1C,A1C1∥AC,可得平面 A1BC1∥平面 ACD1. 4.若命题“如果平面 α 内有三点到平面 β 的距离相等,那么 α∥β”是正确的,则这三 点必须满足的条件是( ) A.这三点不共线 B.这三点不共线且在 β 的同侧 C.这三点不在 β 的同侧 D.这三点不共线且在 β 的异侧 答案:B 5.若平面 α∥平面 β,直线 a∥α,点 B∈β,则在 β 内过点 B 的所有直线中( ) A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一一条与 a 平行的直线 解析:选 A.若 a 在 β 内且 B 在 a 上,则不存在直线与 a 平行. 6. 若不共线的三点到平面 α 的距离相等, 则该三点确定的平面 β 与 α 之间的关系为( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.无法确定 解析:选 C.若三点在平面 α 的同侧,则三点确定的平面与已知平面平行,若三点分别 在 α 的异侧时,则三点确定的平面与已知平面相交. 7.α、β、γ 是三个两两平行的平面,且 α 与 β 之间的距离是 3,α 与 γ 之间的距离是 4, 则 β 与 γ 之间的距离是________. 解析:β 与 γ 位于 α 的两侧时,β 与 γ 间的距离等于 7;β 与 γ 位于 α 同侧时,β 与 γ 间 的距离等于 1. 答案:1 或 7 8.几何体 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下底面的棱 A1B1、B1C1 a 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P、M、N 三点的平面交上底面于 PQ, 3 Q 在 CD 上,则 PQ 等于________. a a 解析:取 CD 上一点 Q,使 CQ= ,又由 AP= ,∴PQ∥AC.而由正方体的性质知:AC 3 3 ∥A1C1,M、N 分别为 A1B1、B1C1 的中点,∴MN∥A1C1,∴MN∥AC,∴MN∥PQ, ∴面 MNPQ 为过点 P、M、N 的平面, a 2 2 在△DAC 中,AP=CQ= ,∴PQ= 2DQ= a. 3 3 2 2 答案: a 3 9. 如图所示,α∥β,P 为 α,β 外一点,且直线 PAB,PCD 分别与 α,β 相交于 A,B, 1 C,D,若 PA=2,AB=1,AC= ,则 BD=________. 2

PA AC 解析:∵α∥β,∴AC∥BD,∴ = , PB BD 1 ×3 AC· PB 2 3 ∴BD= = = . PA 2 4 3 答案: 4 10. 如图,A、B、C 为不在同一直线上的三点,AA1 綊 BB1,CC1 綊 BB1,求证:平面 ABC∥平面 A1B1C1.

证明:∵AA1 綊 BB1, ∴四边形 ABB1A1 是平行四边形. ∴A1B1∥AB. ∴A1B1∥平面 ABC. 同理可证 B1C1∥平面 ABC. 又 A1B1?平面 A1B1C1,B1C1?平面 A1B1C1,A1B1∩B1C1=B1, ∴平面 ABC∥平面 A1B1C1.

11.如图,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1,求证:平面 A1BD∥平面 CB1D1. 证明:在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, ∵A1B∥D1C, D1C?平面 CB1D1, ∴A1B∥平面 CB1D1, 同理可证 A1D∥平面 CB1D1, 又∵A1B?平面 A1BD,A1D?平面 A1BD, A1B∩A1D=A1, ∴平面 A1BD∥平面 CB1D1. 12. 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=3,AB= 6,E、F 分别为 AB 和 A1D 的中点. 求证:AF∥平面 A1EC.

证明:如图,在长方体 AC1 中,取 A1C 的中点 O,连接 OF、OE.在△A1CD 中,因为 F、 O 分别是

1 A1D、A1C 中点,所以 FO∥DC,且 FO= DC,则 FO∥AE.又因为 E 是 AB 中点,且 2 AB=DC.所以 FO=AE.故四边形 AEOF 是平行四边形,则 AF∥OE.又 OE?平面 A1EC,AF? 平面 A1EC,于是 AF∥平面 A1EC.


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